函数在区间，∞上为增函数，则实数的取值范围为若有根，求出根后是否在定义域内若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法本题求解先分或两种情况，再比较和的大小方法与技巧已知函数解析式求单调区间，实时，函数在，上单调递增，在，上单调递减，在，∞上单调递增分温馨提醒含参数的函数的单调性问题般要分类讨论，常见的分类讨论标准有以下几种可能方程是否有根的定义域为，∞，当时，由，得，分当时，令，得或，分若，由，得或，即，得或分由函数的图象在点，处的切线平行于轴得，分由得函数，试讨论函数的单调性思维点拨依据的切线条件可得得，关系，代后消去，对进行分类讨论确定的符号规范解答解依题意得，则值范围是∞，分类讨论思想研究函数的单调性典例分已知函数其中函数的图象在点，处的切线平行于轴确定与的关系若，由，得由时恒成立，即，在时恒成立，所以，在时恒成立，由上述推理可知此时故实数的取，若为单调递减函数，则，在时恒成立即，在时恒成立所以，在时恒成立令，则在，∞上是单调函数，求实数的取值范围解由，得由知若函数单调递增，则若函数单调递减，则来求解已知函数∈若在点，处的切线与直线垂直，求的值若数的取值范围是，思维升华已知函数单调性，求参数范围的两个方法利用集合间的包含关系处理在，上单调，则区间，是相应单调区间的子集转化为不等式的恒成立问题即在，上恒成立，又的值域为的范围是，∞，函数在，上单调时，的取值范围是∞，∪，∞，故在，上不单调，实的两个根即若在，上不单调，求的取值范围解由引申探究知在，上为减函数，的范围是∞若在，上为增函数，可知又，∈，的值域为，实数的取值范围是∞，若的单调减区间为求的值解的单调减区间为，是又，∈，的值域为，实数的取值范围是∞，若的单调减区间为求的值解的单调减区间为，是的两个根即若在，上不单调，求的取值范围解由引申探究知在，上为减函数，的范围是∞若在，上为增函数，可知在，上恒成立，又的值域为的范围是，∞，函数在，上单调时，的取值范围是∞，∪，∞，故在，上不单调，实数的取值范围是，思维升华已知函数单调性，求参数范围的两个方法利用集合间的包含关系处理在，上单调，则区间，是相应单调区间的子集转化为不等式的恒成立问题即若函数单调递增，则若函数单调递减，则来求解已知函数∈若在点，处的切线与直线垂直，求的值若在，∞上是单调函数，求实数的取值范围解由，得由知，若为单调递减函数，则，在时恒成立即，在时恒成立所以，在时恒成立令，则，由，得由时恒成立，即，在时恒成立，所以，在时恒成立，由上述推理可知此时故实数的取值范围是∞，分类讨论思想研究函数的单调性典例分已知函数其中函数的图象在点，处的切线平行于轴确定与的关系若，试讨论函数的单调性思维点拨依据的切线条件可得得，关系，代后消去，对进行分类讨论确定的符号规范解答解依题意得，则分由函数的图象在点，处的切线平行于轴得，分由得函数的定义域为，∞，当时，由，得，分当时，令，得或，分若，由，得或，即，得或时，函数在，上单调递增，在，上单调递减，在，∞上单调递增分温馨提醒含参数的函数的单调性问题般要分类讨论，常见的分类讨论标准有以下几种可能方程是否有根若有根，求出根后是否在定义域内若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法本题求解先分或两种情况，再比较和的大小方法与技巧已知函数解析式求单调区间，实质上是求，时，函数单调递增，此时由不等式，解得若函数在区间，∞上为增函数，则实数的取值范围为答案，当时，即在，∞上单调递增，设函数是区间，上的减函数，则实数的取值范围是答案∈解析由题意得，即，解得∈，是区间，上的减函数，，⊆∈定义在上的函数满足恒成立，若，所以单调递增，当，为增函数又，且，因此有，即有，函数的单调递减区间为答案，解析函数的定义域是，∞，且，令，解得当时，在∞，上为减函数函数的单调递减区间为∞，已知函数，其中∈，且曲线在点，处的切线垂直于直线求的值求函数的单调区间解对求导得，由在点，处的切线垂直于直线知，解得由知，则令，解得或因为不在的定义域，∞内，故舍去当∈，时故在，∞内为增函数综上，的单调增区间为，∞，单调减区间为，已知函数，若与在处相切，求的表达式若在，∞上是减函数，求实数的取值范围解由已知得又在，∞上是减函数在，∞上恒成立即在，∞上恒成立，则，∈，∞，∈，∞故实数的取值范围是∞，组专项能力提升时间分钟设函数在区间，上单调递减，则实数的取值范围是答案，当时，有且，解得，≠分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，且，则的解集为答案，∪，∞解析是奇函数，当时，，则在∞，上为减函数，在，∞上也为减函数又，则有，可知的解集为，∪，∞若函数在，∞上存在单调递增区间，则的取值范围是答案，∞解析对求导，得当∈，∞时，的最大值为令，解得所以的取值范围是，∞已知函数在区间，上不单调，则的取值范围是答案，∪，解析由题意知，由得函数的两个极值点为和，则只要这两个极值点有个在区间，内，函数在区间，上就不单调，由，故分别在∞，∞上是增函数当∈，时，故在，上是减函数若，则当∈∞，或，∞时，故分别在∞，∞上是减函数当∈，时，故在，上是增函数当时，所以当时，在区间，上是增函数当时，在区间，上是增函数，当且仅当且，解得综上，的取值范围是，∪，∞课时导数与函数的单调性题型不含参数的函数的单调性例求函数的单调区间解函数的定义域为，∞因为，所以当，即时，函数单调递减故函数的单调递增区间为单调递减区间为，∞思维升华确定函数单调区间的步骤确定函数的定义域求解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间已知定义在区间，上的函数，则的单调递增区间是答案，和，解析令，则其在区间，上的解集为，和即的单调递增区间为，和，题型二含参数的函数的单调性例已知函数当时，求曲线在点，处的切线方程当时，讨论的单调性解当时此时，又因为，所以切线方程为，整理得当时，此时，在，上单调递增当，此时在，或，∞上单调递增综上，当时，在，上单调递减，在，∞上单调递增当，故在，∞上单调递增当时，故在，∞上单调递减当时，令，解得，则当∈，时，当∈，∞时，故在，上单调递减，在，∞上单调递增题型三利用函数单调性求参数例设函数，曲线在点，处的切线方程为求，的值若，求函数的单调区间设函数，且在区间，内存在单调递减区间，求实数的取值范围解，由题意得，，即，由得，当∈∞，时，当∈，时，所以函数的单调递增区间为∞，∞，单调递减区间为依题意，存在∈使不等式成立，即∈，时，当且仅当即时等号成立所以满足要求的的取值范围是∞，引申探究在本例中，若在，内为减函数，如何求解解方法，且在，内为减函数即在，内恒成立，，，即解之得，即实数的取值范围为∞，方法二，由题意可得在，上恒成立，即在，上恒成立，又，∈，的值域为，实数的取值范围是∞，若的单调减区间为求的值解的单调减区间为，是的两个根即若在，上不单调，求的取值范围解由引申探究知在，上为减函数，的范围是∞若在，上为增函数，可知在，上恒成立，又的值域为的范围是，∞，函数在，上单调时，的取值范围是∞，∪，∞，故在，上不单调，实数的取值范围是，思维升华已知函数单调性，求参数范围的两个方法利用集合间的包含关系处理在，上单调，则区间，是相应单调区间的子集转化为不等式的恒成立问题即若函数单调递增，则若函数单调递减，则来求解已知函数∈若在点，处的切线与直线垂直，求的值若在的两个根即若在，上不单调，求的取值范围解由引申探究知在，上为减函数，的范围是∞若在，上为增函数，可知数的取值范围是，思维升华已知函数单调性，求参数范围的两个方法利用集合间的包含关系处理在，上单调，则区间，是相应单调区间的子集转化为不等式的恒成立问题即在，∞上是单调函数，求实数的取值范围解由，得由知，由，得由时恒成立，即，在时恒成立，所以，在时恒成立，由上述推理可知此时故实数的取，试讨论函数的单调性思维点拨依据的切线条件可得得，关系，代后消去，对进行分类讨论确定的符号规范解答解依题意得，则的定义域为，∞，当时，由，得，分当时，令，得或，分若，由，得或，即，得或若有根，求出根后是否在定义域内若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法本题求解先分或两种情况，再比较和的大小方法与技巧已知函数解析式求单调区间，实答案，当时，即在，∞上单调递增，设函数是区间，上的减函数，则实数的取值范围是