面内，若飞机的高度为海拔，速度为，飞行员先看到山顶的俯角为，经过后又看到山顶的俯角为，则山顶的海拔高度为精确到，参考数据答案解析，航线离山顶山高为轮船和轮船在中午时同时离开海港，两船航行方向的夹角为，两船的航行速度分别为则下午时两船之间的距离是答案解析设两船之间的距离为，则即两船相距在中，已知分别为所对的边，为设计航行方案即确定航行方向和航行速度的大小，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由思维点拨利用三角形中的余弦定理，将航行距离表示为时间的函数，将原题转化为函数最值问题注意的取值范方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以海里小时的航行速度匀速行驶，经过小时与轮船相遇若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少假设小艇的最高航行速度只能达到海里小时，试取值范围是，函数思想在解三角形中的应用典例分港口要将件重要物品用小艇送到艘正在航行的轮船上在小艇出发时，轮船位于港口北偏西且与该港口相距海里的处，并正以海里小时的航行速度沿正东，，解得当且仅当时，取等号故再由任意两边之和大于第三边可得，故有，故的周长的答案，解析在中，由余弦定理可得化简可得换思想，数形结合思想，还要结合三角形中角的范围，充分利用正弦定理余弦定理解题已知中，角的对边分别为，若则的周长的取值范围是，即，的面积为思维升华三角形与三角函数的综合问题，要借助三角函数性质的整体代，或，即或又为的内角，由得，又边上的中线长为，知，联立，解得，由，∈，解得，∈，函数的单调递增区间为∈由，得分别为，且角满足若，边上的中线长为，求的面积解由题意知，与三角函数的综合问题例成都外国语学校期末已知函数求函数的单调递增区间在中，内角所对的边中，所以所以所以所以当，即时，取得最大值为题型三三角形，则的最大值是仰角为直线与平面所成角答案解析如图，过点作⊥于点，连结，则设，则在京模拟如图，人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练已知点到墙面的距离为，目标点沿墙面上的射线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小若首先应明确方位角或方向角的含义分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键最重要的步将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦余弦定理的联袂使用南中，由余弦定理得，又，所以，所以从顶端看建筑物的张角为思维升华解决测量角度问题的注意事项答案北偏西解析由已知，又，所以，所以灯塔位于灯塔的北偏西依题意可得又，所以在答案北偏西解析由已知，又，所以，所以灯塔位于灯塔的北偏西依题意可得又，所以在中，由余弦定理得，又，所以，所以从顶端看建筑物的张角为思维升华解决测量角度问题的注意事项首先应明确方位角或方向角的含义分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键最重要的步将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦余弦定理的联袂使用南京模拟如图，人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练已知点到墙面的距离为，目标点沿墙面上的射线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小若，则的最大值是仰角为直线与平面所成角答案解析如图，过点作⊥于点，连结，则设，则在中，所以所以所以所以当，即时，取得最大值为题型三三角形与三角函数的综合问题例成都外国语学校期末已知函数求函数的单调递增区间在中，内角所对的边分别为，且角满足若，边上的中线长为，求的面积解由题意知，，由，∈，解得，∈，函数的单调递增区间为∈由，得，或，即或又为的内角，由得，又边上的中线长为，知，联立，解得，即，的面积为思维升华三角形与三角函数的综合问题，要借助三角函数性质的整体代换思想，数形结合思想，还要结合三角形中角的范围，充分利用正弦定理余弦定理解题已知中，角的对边分别为，若则的周长的取值范围是答案，解析在中，由余弦定理可得化简可得，，解得当且仅当时，取等号故再由任意两边之和大于第三边可得，故有，故的周长的取值范围是，函数思想在解三角形中的应用典例分港口要将件重要物品用小艇送到艘正在航行的轮船上在小艇出发时，轮船位于港口北偏西且与该港口相距海里的处，并正以海里小时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以海里小时的航行速度匀速行驶，经过小时与轮船相遇若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少假设小艇的最高航行速度只能达到海里小时，试设计航行方案即确定航行方向和航行速度的大小，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由思维点拨利用三角形中的余弦定理，将航行距离表示为时间的函数，将原题转化为函数最值问题注意的取值范围规范解答解设相遇时小艇航行的距离为海里，分则分故当时分即小艇以海里小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小分设小艇与轮船在处相遇则，分故分即，解得又时故时，取得最小值，且最小值等于此时，在中，有分故可设计航行方案如下航行方向为北偏东，航行速度为海里小时分温馨提醒三角形中的最值问题，可利用正弦余弦定理建立函数模型或三角函数模型，转化为函数最值问题模型要理解仰角俯角方位角方向角等概念三角函数模型中，要确定相应参数和自变量范围，最后还要检验问题的实际意义在三角形和三角函数的综合问题中，要注意边角关系相互制约，推理题中的隐含条件失误与防范不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混在实际问题中，可能会遇到空间与平面地面同时研究的问题，这时最好画两个图形，个空间图形，个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易出现组专项基础训练时间分钟在相距的，两点处测量目标点，若则，两点之间的距离为答案解析如图，在中，由已知可得艘海轮从处出发，以每小时海里的速度沿南偏东的方向直线航行，分钟后到达处，在处有座灯塔，海轮在处观察灯塔，其方向是南偏东，在处观察灯塔，其方向是北偏东，那么，两点间的距离是海里答案解析如图所示，易知，在中根据正弦定理得，解得海里如图，条河的两岸平行，河的宽度，艘客船从码头出发匀速驶往河对岸的码头已知，水的流速为，若客船从码头驶到码头所用的最短时间为，则客船在静水中的速度为答案解析设与河岸线所成的角为，客船在静水中的速度为，由题意知从而，所以由余弦定理得，解得如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，此时气球的高是，则河流的宽度等于答案解析如图在中在中如图，测量河对岸的塔高时可以选与塔底在同水平面内的两个测点与，测得，并在点测得塔顶的仰角为，则塔高等于答案解析在中，由正弦定理得，所以在中，江岸边有炮台高，江中有两条船，船与炮台底部在同水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为和，而且两条船与炮台底部的连线成角，则两条船相距答案解析如图在中，由余弦定理得在高的山顶上，测得山下塔顶和塔底的俯角分别是，则塔高为答案解析如图，由已知可得又，在中，由余弦定理得在中且内角所对的边满足，则实数的取值范围是答案，解析又∈，即∈，如图，渔船甲位于岛屿的南偏西方向的处，且与岛屿相距海里，渔船乙以海里小时的速度从岛屿出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用小时追上求渔船甲的速度求的值解依题意知在中，由余弦定理，得，解得所以渔船甲的速度为海里小时在中，因为由正弦定理，得，即如图，在中为内点，若，求若，求解由已知得，所以在中，由余弦定理得，故设，由已知得在中，由正弦定理得，化简得，所以，即组专项能力提升时间分钟个大型喷水池的中央有个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，人在喷水柱正西方向的点测得水柱顶端的仰角为，沿点向北偏东前进到达点，在点测得水柱顶端的仰角为，则水柱的高度是答案解析设水柱高度是，水柱底端为，在中在中根据余弦定理得即，即，即，故水柱的高度是如图，艘船上午∶在处测得灯塔在它的北偏东处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午∶到达处，此时又测得灯塔在它的北偏东处，且与它相距此船的航速是答案解析设航速为，在中由正弦定理得，如图，住宅小区的平面图呈圆心角为的扇形，是该小区的个出入口，且小区里有条平行于的小路已知人从沿走到用了分钟，从沿走到用了分钟若此人步行的速度为每分钟米，则该扇形的半径为米答案解析如图，连结，在中，由余弦定理得，解得如图，为了测量，两点间的距离，选取同平面上，两点，测出四边形各边的长度单位且，四点共圆，则的长为答案解析因为，四点共圆，所以在和中，由余弦定理可得代入得，故在斜度定的山坡上的点处测得山顶上建筑物顶端相对于山坡的斜度为，如图所示，向山顶前进后，又从点处测得斜度为，设建筑物的高为设此山对于地平面的斜度为，则答案解析在中，所以又，由正弦定理，得，即在中，因为由正弦定理，得，解得步步高江苏专用版高考数学轮复习第四章三角函数解三角形解三角形的综合应用文仰角和俯角与目标线在同铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角如图方向角相对于正方向的水平角，如南偏