型所用知识公式表示线平行点共线等问题共线向量定理∥⇔⇔，其中≠垂直问题数量积的运算性质⊥⇔⇔，其中且，为非零向量夹角问题数量积的定义为向量，的夹角，其中，为非零向量长度问题数量积的定义，其中为非零向量用向量方法解决平面小正周期是思维升华利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数不等式结合起来，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化已知在平面直角坐标系中，过点，时所以，解得由图象可知，所以解得，所以函数的最所以，令，依题意，不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，观察图象可知，当目标函数过点，时，目标函数函数在个周期内的图象如图所示，分别是最高点最低点，为坐标原点，且，则函数的最小正周期是答案解析因为题型三向量的综合应用例已知，满足，若且的最大值是最小值的倍，则实数的值是最小值是，解析圆的圆心半径为，圆，圆心半径为故两圆相离如图所示，设直线和圆交于，两点，则次联考已知圆，圆∈，过圆上任意点作圆的两条切线切点分别为则的最小值是答案解析几何问题中出现，多用于包装，解决此类问题关键是利用向量的意义运算，脱去向量外衣工具作用，利用⊥⇔∥⇔≠，可解决垂直平行问题江西重点中学盟校第为，即，⊥，是圆的切线，设的方程为，由，得，即思维升华向量在解析几何中的作用载体作用，向量在解析且∥解得或由可知，则过点，且斜率为的直线方程为直线的斜率，则过点，的直线方程为设为坐标原点，为圆的圆心，且圆上有点，满足，则答案⇒⊥，所以平行四边形是菱形题型二向量在解析几何中的应用例已知向量且三点共线，当时，若，又≠，⇒⇒平面四边形是平行四边形，又，中，则四边形的形状是答案菱形解析在平行四边形中，取的中点，则，向量或坐标系建立向量与平面图形的联系，然后通过向量运算研究几何元素之间的关系在平行四边形中，为的中点若，则平面四边形向量或坐标系建立向量与平面图形的联系，然后通过向量运算研究几何元素之间的关系在平行四边形中，为的中点若，则平面四边形中，则四边形的形状是答案菱形解析在平行四边形中，取的中点，则又，，又≠，⇒⇒平面四边形是平行四边形，⇒⊥，所以平行四边形是菱形题型二向量在解析几何中的应用例已知向量且三点共线，当时，若为直线的斜率，则过点，的直线方程为设为坐标原点，为圆的圆心，且圆上有点，满足，则答案解析且∥解得或由可知，则过点，且斜率为的直线方程为，即，⊥，是圆的切线，设的方程为，由，得，即思维升华向量在解析几何中的作用载体作用，向量在解析几何问题中出现，多用于包装，解决此类问题关键是利用向量的意义运算，脱去向量外衣工具作用，利用⊥⇔∥⇔≠，可解决垂直平行问题江西重点中学盟校第次联考已知圆，圆∈，过圆上任意点作圆的两条切线切点分别为则的最小值是答案解析圆的圆心半径为，圆，圆心半径为故两圆相离如图所示，设直线和圆交于，两点，则最小值是，题型三向量的综合应用例已知，满足，若且的最大值是最小值的倍，则实数的值是函数在个周期内的图象如图所示，分别是最高点最低点，为坐标原点，且，则函数的最小正周期是答案解析因为所以，令，依题意，不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，观察图象可知，当目标函数过点，时，目标函数过点，时所以，解得由图象可知，所以解得，所以函数的最小正周期是思维升华利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数不等式结合起来，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化已知在平面直角坐标系中，动点，满足不等式，则的最大值为答案解析，即在，条件下，求的最大值，由线性规划知识得，当，时，三审图形抓特点典例已知，是函数，个周期内的图象上的四个点，如图所示，为轴上的点，为图象上的最低点，为该函数图象的个对称中心，与关于点对称，在轴上的投三角形答案直角解析由，得，即，⊥，又根据已知条件不能得到，故是直角三角形已知点动点，满足，则点的轨迹是答案抛物线解析，即点的轨迹是抛物线在所在平面上有点，满足，则与的面积的比值是答案解析由题意可得，所以是线段的三等分点靠近点，易知，即∶∶在中，则边的长度为答案解析由题意画示意图，作⊥，垂足为，如图表示在上的投影为，即的长为表示在上的投影为，即的长为，故边的长度为若函数在个周期内的图象如图所示分别是这段图象的最高点和最低点，且为坐标原点，则答案解析由题意知又，已知在中，则答案解析，为钝角，又，单位圆上三点满足，则向量，的夹角为答案解析为单位圆上三点又，可得，向量，的夹角为设点是的外心，则答案解析设，为平面内组基底如图所示，为的外心，设为中点，连结，则易知⊥又，其中设向量其中，∈，已知函数的最小正周期为求的值若是关于的方程的根，且∈求的值解，因为，所以，方程的两根为，因为∈所以∈所以，即又由知，所以已知向量，当∥时，求的值设函数，已知在中，内角的对边分别为若，求∈，的取值范围解因为∥，所以，所以由正弦定理，得，所以，或因为，所以因为∈所以∈所求范围是，组专项能力提升时间分钟已知平面上不共线的四点若，则答案解析由，得，所以，所以，即已知≠，且关于的函数在上有极值，则向量与的夹角的范围是答案，解析设与的夹角为函数在上有极值，方程有两个不同的实数根，即又≠即，又∈∈，已知向量若为锐角，则实数的取值范围是答案，∪，∞解析由已知得，若∥，则有，解得由题设知为锐角可得由题意知，当时，∥故当为锐角时，实数的取值范围是，∪，∞在梯形中，为梯形所在平面上点，且满足为边上的个动点，则的最小值为答案解析如图，取的中点，由得，为线段上靠近点的三等分点，由题意知，所以，则，所以的最小值为在中，设内角的对边分别为，向量向量若求内角的大小若，且，求的面积解，∈，由余弦定理知，即，解得，步步高江苏专用版高考数学轮复习第五章平面向量平面向量应用举例文向量在平面几何中的应用用向量解决常见平面几何问题的技巧问题类型所用知识公式表示线平行点共线等问题共线向量定理∥⇔⇔，其中≠垂直问题数量积的运算性质⊥⇔⇔，其中且，为非零向量夹角问题数量积的定义为向量，的夹角，其中，为非零向量长度问题数量积的定义，其中为非零向量用向量方法解决平面几何问题的步骤平面几何问题设向量向量问题运算解决向量问题还原解决几何问题平面向量与其他数学知识的交汇平面向量作为种运算工具，经常与函数不等式三角函数数列解析几何等知识结合当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式在此基础上，可以求解有关函数不等式三角函数数列的综合问题此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种是利用平面向量平行或垂直的充要条件二是利用向量数量积的公式和性质思考辨析判断下面结论是否正确请在括号中打或若∥，则三点共线向量在向量方向上的投影是向量若，则和的夹角为锐角，若，则和的夹角为钝角在中，若，则为钝角三角形已知平面直角坐标系内有三个定点若动点满足，∈，则点的轨迹方程是已知等边的边长为，则答案解析因为，所以已知在中，为边的中点，则答案解析在中，由余弦定理可得，又，所以，又为边的中点，所以，两边平方得，解得设是内部点，且，则与的面积之比为答案∶解析设为的中点，如图所示，连结，则又，所以，即为的中点，从而容易得与的面积之比为∶已知个物体在大小为的力的作用下产生的位移的大小为，且与的夹角为，则力所做的功答案解析，已知函数的部分图象如图所示，点，是该图象与轴的交点，过点的直线与该图象交于，两点，则答案解析，显然的长度为半个周期，周期所求值为题型向量在平面几何中的应用例已知是平面上的定点，是平面上不共线的三个动点，若动点满足，∈，∞，则点的轨迹定通过的填内心外心重心或垂心答案重心解析由原等式，得，即，根据平行四边形法则，知是的中线为的中点所对应向量的倍，所以点的轨迹必过的重心引申探究在本例中，若动点满足，∈，∞，则点的轨迹定通过的答案内心解析由条件，得，即，而和分别表示平行于，的单位向量，故平分，即平分，所以点的轨迹必过的内心思维升华解决向量与平面几何综合问题，可先利用基向量或坐标系建立向量与平面图形的联系，然后通过向量运算研究几何元素之间的关系在平行四边形中，为的中点若，则平面四边形中，则四边形的形状是答案菱形解析在平行四边形中，取的中点，则又，，又≠，⇒⇒平面四边形是平行四边形，⇒⊥，所以平行四边形是菱形题型二向量在解析几何中的应用例已知向量且三点共线，当时，若为直线的斜率，则过点，的直线方程为设为坐标原点，为圆的圆心，且圆上有点，满足，则答案解析且∥解得或由可知，则过点，且斜率为的直线方程为，即，⊥，是圆的切线，设的方程为，由，得，即