1、整除，又因为能被整除，所以能被整除，即时命题成立由可知，对所有的正整数，命题成立证法设能被整除，因此时，命题成立假设时命题成立，即能被整除，则由于能被整除能被整除，则能被整除由可知，对所有正整数，能被整除方法总结本题的两种证法实质是样的，证法是把设法凑出，而证法则是通过计算，避免了凑的过程求证当为正奇数时，能被整除证明显然，当时，命题成立，即能被整除假设当时命题成立，即能整除则当时，能整除又能整除能整除由可知当为正奇数时能被整除用数学归纳法证明几何问题平面内有条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，求证这条直线把平面分割成个区域分析可选用数学归纳法进行证明，关键是考虑条直线将平面分成的部分的块数与条直线将平面分成的部分的块数之间的关系，利用该关系可以实施从假设到时的证明证明当时，条直线把平面分成两个区域，又，时命题成立假设。

2、分考虑“假设”这步的应用，不利用假设而进行的证明不是数学归纳法已知数列的通项公式，数列的通项满足„，试证明时由归纳假设能被整除，又因为，左边右边，所系，以便利用归纳假设能被整除来推证能被整除证明证法当时能被整除，命题成立假设时命题成立，即能被整除当时命题成立，即„成立，并以此作为条件来推证等式„成立证明当时，左边，右边式也成立根据和，知不等式对任意的都成立课堂典例探究用数学归纳法证明等式证明„分析第步验证取第个正整数时等式成立，第二步假定左边，只需证故当时，不等假设当时，不等式成立当时，不等式左边„„欲证，对切正整数都成立四运用归纳假设证明时的技巧拆项添项紧盯目标改变途径巧妙转化证明„证明当时，不等式显然成立时，结论成立，即那么当时。

3、式，并证明你的结论解析由条件得，由此可以得，猜测，用数学归纳法证明当时，由上可得结论成立假设当时，结论成立，即那么当时，所以当时，结论也成立由，可知，对切正整数都成立四运用归纳假设证明时的技巧拆项添项紧盯目标改变途径巧妙转化证明„证明当时，不等式显然成立假设当时，不等式成立当时，不等式左边„„欲证左边，只需证故当时，不等式也成立根据和，知不等式对任意的都成立课堂典例探究用数学归纳法证明等式证明„分析第步验证取第个正整数时等式成立，第二步假定时命题成立，即„成立，并以此作为条件来推证等式„成立证明当时，左边，右边，左边右边，所系，以便利用归纳假设能被整除来推证能被整除证明证法当时能被整除，命题成立假设时命题成立，即能被整除当时由归纳假设能。

4、式证明这类题的关键是“凑证”，常结合其他方法如放缩法等完成“证”证明整除问题证明这类问题的关键是“凑项”，采用增项减项拆项和因式分解等方法，也可以说将式子“硬提公因式”，即将时的项从时的项中“硬提出来”，构成的项，后面的式子相对变形，使之与时的项相同，从而达到利用假设的目的证明几何问题此类问题证明的关键是要弄清楚当由推导的情形时，几何图形的变化规律证明数列问题数列与数学归纳法有着非常密切的关系，我们知道，数列是定义在或它的有限子集，„，上的函数，这与数学归纳法运用的范围是样的，并且数列的递推公式与归纳原理实质上也是致的为此数列中有不少问题都可用数学归纳法予以证明，诸如数列的通项，前项和的增减性有界性等，既可以是恒等式，也可以是不等式，没有固定的格式，有定的综合性，是最近几年高考的热点问题之，证明时要灵活应用题目中的已知条件，充。

5、时，有„，也就是说时，等式也成立由可知，等式对任何正整数都成立三数学归纳法与“观察归纳猜想证明”近几年的高考试题，不但要求能用数学归纳法去证明现成的结论，而且加强了对归纳推理的考查，既要求归纳发现结论，又要求能证明结论的正确性，形成了“观察归纳猜想证明”的思维模式，它是数学归纳法的重点题型，也是近几年高考的热点在中学阶段，这方面的题型主要有以下几方面已知数列的递推公式，求通项或前项和由些恒等式不等式改编的些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在给出些简单的命题，„，猜想并证明对任意自然数都成立的般性命题这类问题涉及的知识内容是很广泛的，可以涵盖前面几节所讲述的所有内容代数三角恒等式不等式数列几何问题整除性问题等解题般分三步进行验证„提出猜想用数学归纳法证明在数列，中，且成等差数列，成等比数列求及，由此猜测，的通项。

6、，命题成立，即直线把平面分割成了个区域那么当时，条直线中的条直线把平面分成了个区域，第条直线被这条直线分成条线段，每段把它们所在的区域分成了两块，因此增加了个区域，所以条直线把平面分成了个区域，时命题也成立由知，对切，此命题均成立方法总结用数学归纳法证明几何问题时，定要清楚从到时，新增加的量是多少，般地，证明第二步时，常用的方法是加法即在原来的基础上，再增加个，当然我们也可以从个中分出个来，剩下的个利用假设用数学归纳法证明凸边形的对角线的条数证明当时这就说明三角形没有对角线，故结论正确假设当，时结论正确，即凸边形的对角线有条，则当时，凸边形„的对角线条数有以下三部分的条数相加而得由归纳假设知，凸边形„的对角线条数为对角线是条而顶点与另外个顶点，„可画出条对角线，所以凸边形的对角线的条数为，所以当时结论也正确由和知，结论对从起的。

7、所以当时，结论也成立由，可知由条件得，由此可以得，猜测，用数学归纳法证明当时，由上可得结论成立假设当明在数列，中，且成等差数列，成等比数列求及，由此猜测，的通项公式，并证明你的结论解析的知识内容是很广泛的，可以涵盖前面几节所讲述的所有内容代数三角恒等式不等式数列几何问题整除性问题等解题般分三步进行验证„提出猜想用数学归纳法证数列的递推公式，求通项或前项和由些恒等式不等式改编的些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在给出些简单的命题，„，猜想并证明对任意自然数都成立的般性命题这类问题涉及纳推理的考查，既要求归纳发现结论，又要求能证明结论的正确性，形成了“观察归纳猜想证明”的思维模式，它是数学归纳法的重点题型，也是近几年高考的热点在中学阶段，这方面的题型主要有以下几方面已知，也就是说时，等式也成立由可知，等式对任何正整数都。

8、取第个值时命题成立在假设，且时命题成立的前提下，推出当时命题也成立，那么可以断定，这个命题对取第个值后面的所有正整数成立。证题时的具体步骤第步，证明当取第个值例如或时结论正确第二步，假设当且时结论正确，证明当时结论也正确在完成了这两个步骤以后，就可以断定命题对于从开始的所有正整数都正确，注意第步是验证命题递推的基础，第二步是论证命题递推的依据，这两个步骤缺不可用数学归纳法证明有关问题的关键在于第二步，即时为什么成立时成立是利用假设时成立，根据有关的定理定义公式性质等数学结论推证出时成立，而不是直接代入，否则时也成假设了，命题并没有得到证明数学归纳法仅适用于与正整数有关的数学命题，的证明，如与正整数有关的恒等式不等式数的整除性几何问题探求数列的通项和前项和等问题用数学归纳法证明命题时，左式为„，，，在验证时，左边所得的代数式为答。

9、立三数学归纳法与“观察归纳猜想证明”近几年的高考试题，不但要求能用数学归纳法去证明现成的结论，而且加强了对归，等式成立假设，时等式成立，即，那么时，有„用假设而进行的证明不是数学归纳法已知数列的通项公式，数列的通项满足„，试证明证明当时项，前项和的增减性有界性等，既可以是恒等式，也可以是不等式，没有固定的格式，有定的综合性，是最近几年高考的热点问题之，证明时要灵活应用题目中的已知条件，充分考虑“假设”这步的应用，不利用项，前项和的增减性有界性等，既可以是恒等式，也可以是不等式，没有固定的格式，有定的综合性，是最近几年高考的热点问题之，证明时要灵活应用题目中的已知条件，充分考虑“假设”这步的应用，不利用假设而进行的证明不是数学归纳法已知数列的通项公式，数列的通项满足„，试证明证明当时等式成立假设，时等式成立，即，那。

10、们用最少的笔墨，画出最多的马第个徒弟在卷子上密密麻麻地画了群马第二个徒弟为了节省笔墨，只画出许多马头第三个徒弟在纸上用笔勾画出两座山峰，再从山谷中走出匹马，后面还有匹只露出半截身子的马三张画稿交上去，评判结果是最后幅画被认定为佳作，构思巧妙，笔墨经济，以少胜多！这第三张画稿只画了匹半马，为何能胜过群马呢你知道其中蕴含的数学原理吗我们在玩多米诺骨牌游戏时，只要任意相邻的两块骨牌之间的距离保持适中，即前块骨牌倒下时能砸倒后块，那么在推倒第块骨牌后，会出现怎样的情形什么叫归纳法答案在推倒第块骨牌后，就会导致第二块骨牌倒下，而第二块倒下，又导致第三块倒下，以此类推，直到全部倒下由系列有限的特殊事例得出般结论的推理方法，通常叫归纳法根据考察的对象是全部还是部分，归纳法又分为完全归纳法和不完全归纳法数学归纳法定义个与自然数相关的命题，如果。

11、解析令，左式故选二数学归纳法的应用数学归纳法常用来解决与正整数有关的问题，具有广泛的应用证明等式证明这类命题是“凑变”，突出“变”字，“凑”是指由的左端凑出的左端，或由的左瑞凑出的左端“变”是指把拼凑的式子变为的右端证明不等式证明这类题的关键是“凑证”，常结合其他方法如放缩法等完成“证”证明整除问题证明这类问题的关键是“凑项”，采用增项减项拆项和因式分解等方法，也可以说将式子“硬提公因式”，即将时的项从时的项中“硬提出来”，构成的项，后面的式子相对变形，使之与时的项相同，从而达到利用假设的目的证明几何问题此类问题证明的关键是要弄清楚当由推导的情形时，几何图形的变化规律证明数列问题数列与数学归纳法有着非常密切的关系，我们知道，数列是定义在或它的有限子集，„，上的函数，这与数学归纳法运用的范围是样的，并且数列的递推公式与归纳原理实。

12、有自然数都正确用数学归纳法证明数列问题设数列„，„中的每项都不为证明为等差数列的充分必要条件是对任何，都有„分析本题考查等差数列数学归纳法与充要条件等有关知识，考查推理论证运算求解能力解题思路是利用裂项求和法证必要性，再用数学归纳法或综合法证明充分性证明先证必要性设数列的公差为若，则所述等式显然成立若，则„„„再证充分性证法数学归纳法设所述的等式对切都成立首先，在等式两端同乘以，即得，所以成等差数列，记公差为，则假设，当时，观察如下两个等式„，„成才之路数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教版选修推理与证明第二章数学归纳法第二章课堂典例探究课时作业课前自主预习课前自主预习从前有位画家，为了测试他的三个徒弟对绘画奥妙的掌握程度，就把他们叫来，让。

参考资料：

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