垂直的公路为山区边界曲线为，计划修建的公路为，如图所示为的两个端点，测得点到，的距离分别为千米和千米，点到，的距离分别为千米和千米，以，所在的直线分别为，轴，建立平面直角坐标系，假设曲线符合函数其中，为常数模型求，的值设公路与曲线相切于点，的横坐标为请写出公路长度的函数解析式，并写出其定义域当为何值时，公路的长度最短求出最短长度解由题意知，点，的坐标分别为，将其分别代入，得解得，由知则点的坐标为设在点处的切线交，轴分别于，点则的方程为，由此得，故，，设，则令，解得当，时是减函数当，时是增函数从而，当时，函数有极小值，也是最小值，所以，此时答当时，公路的长度最短，最短长度为千米探究提高关于解决函数的实际应用问题，首先要在阅读上下功夫，般情况下，应用题文字叙述比较长，要耐心细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建立函数关系式，然后借助函数的知识求解，解答后再回到实际问题中去对函数模型求最值的常用方法单调性法基本不等式法及导个不同的实数解，则实数的取值范围是解析由题意知使函数的极大值大于且极小值小于即可，又，令，得，当时当时当时所以当时，取得极大值，即极大值当时，取得极小值，即极小值，所以解得答案安徽卷设，其中，均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有个实根的是写出所有正确条件的编号，，解析令当时单调递增，必有个实根，正确当正确，所有正确条件为答案二解答题已知是函数的个极值点求求函数的单调区间若直线与函数的图象有个交点，求的取值范围解的定义域为，，又，经检验此时为的极值点，故由知当时，当所以根据函数的大致图象可判断，在的三个单调区间，内，直线与的图象各有个交点，当且仅当因此的取值范围为南师附中模拟已知函数当时，求的图象在处的切线方程若函数在，上有两个零点，求实数的取值范围解当时，切点坐标为切线的斜率，则切线方程为，即，则因为所以当时，当时当时，故在处取得极大值又，则，所以在，上的最小值是在，上有两个零点的条件是，，解得，所以实数的取值范围是江苏高考命题原创卷已知函数，函数如果函数的图象上的每点处的切线斜率都是正数，求实数的取值范围当时，你认为函数的图象与的图象有多少个公共点请证明你的结论解的定义域为，，函数的图象上的每点处的切线斜率都是正数，在，上恒成立在，上恒成立，在，上恒成立，所求的的取值范围为，当时，函数的图象与的图象没有公共点当时它的定义域为且，的定义域为，当且时，由得设，则当时此时，单调递减当时此时，单调递增当且时即无实数根当，且时，无实数根当时，函数的图象与的图象没有公共点第讲导数与实际应用及不等式问题高考定位高考对本内容的考查主要有导数在实际问题中的应用为函数应用题注入了新鲜的血液，使应用题涉及到的函数模型更加宽广，要求是级导数还经常作为高考的压轴题，能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力估计以后对导数的考查力度不会减弱作为导数综合题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题利用导数证明不等式等，常伴随对参数的讨论，这也是难点之所在真题感悟江苏卷已知函数，其中是自然对数的底数证明是上的偶函数若关于的不等式在，上恒成立，求实数的取值范围已知正数满足存在，，使得，则，所以对任意成立因为，所以，当且仅当，即时等号成立因此实数的取值范围是，解令函数，则当时又，故所以是，上的单调增函数，因此在，上的最小值是由于存在，，使令函数，则令，得，当，时故是，上的单调增函数所以在，上的最小值是注意到，所以当，⊆，时即，故综上所述，当，时，考点整合解决函数的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域，其解题步骤是阅读理解，审清题意分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题数学建模弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式解函数模型利用数学方法得出函数模型的数学结果实际问题作答将数学问题的结果转化成实际问题作出解答常见构造辅助函数的四种方法移项法证明不等式的问题转化为证明，进而构造辅助函数构造“形似”函数对原不等式同解变形，如移项通分取对数，把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数放缩法若所构造函数最值不易求解，可将所证明不等式进行放缩，再重新构造函数主元法对于或可化为，的不等式，可选或为主元，构造函数，或，利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法分离参数法将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求，审清题意分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题数学建模弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式解函数模型利用数学方法得出函数模型的数学结果实际问题作答将数学问题的结果转化成实际问题作出解答常见构造辅助函数的四种方法移项法证明不等式的问题转化为证明，进而构造辅助函数构造“形似”函数对原不等式同解变形，如移项通分取对数，把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数放缩法若所构造函数最值不易求解，可将所证明不等式进行放缩，再由知则点的坐标为设在点处的切线交，轴分别于，点则的方程为，由此得，故，并写出其定义域当为何值时，公路的长度最短求出最短长度解由题意知，点，的坐标分别为，将其分别代入，得解得，的直线分别为，轴，建立平面直角坐标系，假设曲线符合函数其中，为常数模型求，的值设公路与曲线相切于点，的横坐标为请写出公路长度的函数解析式直线型公路，记两条相互垂直的公路为山区边界曲线为，计划修建的公路为，如图所示为的两个端点，测得点到，的距离分别为千米和千米，点到，的距离分别为千米和千米，以，所在如图所示，由图象可知应满足，故答案，热点四函数的实际应用问题例江苏卷山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进步改善山区的交通现状，计划修建条连接两条公路和山区边界的有三个零点，则实数的取值范围为解析函数有三个零点等价于方程有且仅有三个实根⇔，作函数的图象，围的方法利用零点存在的判定定理构建不等式求解分离参数后转化为函数的值域最值问题求解转化为两熟悉的函数图象的上下关系问题，从而构建不等式求解训练南京盐城模拟已知函数有四个公共点，平移个单位时，两图象有无数个公共点，因此，当时，与的图象有四个不同的交点，即恰有个零点答案，探究提高利用函数零点的情况求参数值或取值范且与的图象相切时，由解得同理，轴左侧也有相同的情况所以曲线向上平移个单位后，轴左右各有个交点，所得图象与的图象，其中，若函数恰有个零点，则的取值范围是解析记在同坐标系中作出与的图象如图，直线，当直线就是转化已知函数为熟悉的函数，再利用数形结合求解微题型由函数零点或方程根的情况求参数例天津卷改编已知函数函数内的零点个数是答案探究提高在解决函数与方程问题中的函数的零点问题时，要学会掌握转化与化归思想的运用如本题直接根据已知函数求函数的零点个数难度很大，也不是初等数学能轻易解决的，所以遇到此类问题的第反应点个数的求解例函数在区间，内的零点个数是解析因为所以又函数在，内单调递增，所以在，且，解得，在，和，上时，由，结合图象可知，符合答案，，热点三函数与方程问题微题型函数零，其中时，所以当时，，当时当时，直线恒过则满足题意的唯整数，故答案，热点二函数的图象及其应用例全国Ⅰ卷改编设函数单调递减，则的大致图象如图所示，由，得，即因为函数为偶函数可知所以，当时，为增函数，单调递减，则的大致图象如图所示，由，得，即因为函数为偶函数可知所以，当时，为增函数，答案，热点二函数的图象及其应用例全国Ⅰ卷改编设函数，其中时，所以当时，，当时当时，直线恒过则满足题意的唯整数，故，且，解得，在，和，上时，由，结合图象可知，符合答案，，热点三函数与方程问题微题型函数零点个数的求解例函数在区间，内的零点个数是解析因为所以又函数在，内单调递增，所以在，内的零点个数是答案探究提高在解决函数与方程问题中的函数的零点问题时，要学会掌握转化与化归思想的运用如本题直接根据已知函数求函数的零点个数难度很大，也不是初等数学能轻易解决的，所以遇到此类问题的第反应就是转化已知函数为熟悉的函数，再利用数形结合求解微题型由函数零点或方程根的情况求参数例天津卷改编已知函数函数，其中，若函数恰有个零点，则的取值范围是解析记在同坐标系中作出与的图象如图，直线，当直线且与的图象相切时，由解得同理，轴左侧也有相同的情况所以曲线向上平移个单位后，轴左右各有个交点，所得图象与的图象有四个公共点，平移个单位时，两图象有无数个公共点，因此，当时，与的图象有四个不同的交点，即恰有个零点答案，探究提高利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法利用零点存在的判定定理构建不等式求解分离参数后转化为函数的值域最值问题求解转化为两熟悉的函数图象的上下关系问题，从而构建不等式求解训练南京盐城模拟已知函数有三个零点，则实数的取值范围为解析函数有三个零点等价于方程有且仅有三个实根⇔，作函数的图象，如图所示，由图象可知应满足，故答案，热点四函数的实际应用问题例江苏卷山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进步改善山区的交通现状，计划修建条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互本主义世界市场宗法社会完全瓦解农业领域出现了资本主义萌芽自然经济逐渐解体道光以后四川省开始大量种植鸦片鸦片的种植和贸易成为近代四川商业性农业的主要方面从经济学的角度看这种现象体现了外部市场对商品生产