合如图所示，在中，所以所以答案变式训练已知为线段的中点，则向量与的夹角的余弦值为量的加法向量的模向量垂直的等价条件向量的夹角和向量的数量积等基础知识法是通常方法法二将数学符号语言转化为图形语言，由平面几何知识快速得到答案无图考图，体现了数形结合思想的灵活运用方法二数形结夹角为解析方法用通常方法设向量，的夹角为，因为⊥，又，所以⇔⇔⇔栏目链接◎规律总结本题涉及向，与的夹角为，栏目链接求两向量的夹角若，且⊥，则向量与的答案栏目链接变式训练已知与的夹角为，求解析，握平面向量的数量积的性质及运算律，并能运用它们处理长度角度和垂直等问题栏目链接典例剖析栏目链接向量数量积的运算已知向量和的夹角为，且则解析恒成立⊥答案向量的数量积栏目链接掌握平面向量数量积的定义及其几何意义掌对任意，恒有，则⊥⊥⊥⊥解析恒成立，即恒成立均为等腰直角三角形答案◎规律总结方法利用数量的运算性质及运算律方法二利用加减法的几何意义，数形结合，较简捷变式训练已知向量的值是解析方法方法二如图，即由知，，即函数的最小值为栏目链接向量模的问题向量满足，且⊥，⊥，若，则，然后利用函数的性质求最值解析⊥又⊥，即与是两个不同时为零的实数若与垂直，求关于的函数关系式求函数的最小值分析由已知条件知⊥，即，可以得到函数关系式，，答案栏目含有未知数的方程变式训练设平面内两向量与互相垂直，且又所以答案变式训练已知为线段的中点，则向量与的夹角的余弦值为解析是线段的中点数量积等基础知识法是通常方法法二将数学符号语言转化为图形语言，由平面几何知识快速得到答案无图考图，体现了数形结合思想的灵活运用方法二数形结合如图所示，在中，所以角为，因为⊥，又，所以⇔⇔⇔栏目链接◎规律总结本题涉及向量的加法向量的模向量垂直的等价条件向量的夹角和向量的数角为，因为⊥，又，所以⇔⇔⇔栏目链接◎规律总结本题涉及向量的加法向量的模向量垂直的等价条件向量的夹角和向量的数量积等基础知识法是通常方法法二将数学符号语言转化为图形语言，由平面几何知识快速得到答案无图考图，体现了数形结合思想的灵活运用方法二数形结合如图所示，在中，所以所以答案变式训练已知为线段的中点，则向量与的夹角的余弦值为解析是线段的中点，，答案栏目含有未知数的方程变式训练设平面内两向量与互相垂直，且又与是两个不同时为零的实数若与垂直，求关于的函数关系式求函数的最小值分析由已知条件知⊥，即，可以得到函数关系式，然后利用函数的性质求最值解析⊥又⊥，即即由知，，即函数的最小值为栏目链接向量模的问题向量满足，且⊥，⊥，若，则的值是解析方法方法二如图均为等腰直角三角形答案◎规律总结方法利用数量的运算性质及运算律方法二利用加减法的几何意义，数形结合，较简捷变式训练已知向量对任意，恒有，则⊥⊥⊥⊥解析恒成立，即恒成立，恒成立⊥答案向量的数量积栏目链接掌握平面向量数量积的定义及其几何意义掌握平面向量的数量积的性质及运算律，并能运用它们处理长度角度和垂直等问题栏目链接典例剖析栏目链接向量数量积的运算已知向量和的夹角为，且则解析答案栏目链接变式训练已知与的夹角为，求解析与的夹角为，栏目链接求两向量的夹角若，且⊥，则向量与的夹角为解析方法用通常方法设向量，的夹角为，因为⊥，又，所以⇔⇔⇔栏目链接◎规律总结本题涉及向量的加法向量的模向量垂直的等价条件向量的夹角和向量的数量积等基础知识法是通常方法法二将数学符号语言转化为图形语言，由平面几何知识快速得到答案无图考图，体现了数形结合思想的灵活运用方法二数形结合如图所示，在中，所以所以答案变式训练已知为线段的中点，则向量与的夹角的余弦值为解析是线段的中点，，数量积等基础知识法是通常方法法二将数学符号语言转化为图形语言，由平面几何知识快速得到答案无图考图，体现了数形结合思想的灵活运用方法二数形结合如图所示，在中，所以，，答案栏目含有未知数的方程变式训练设平面内两向量与互相垂直，且又，然后利用函数的性质求最值解析⊥又⊥，即的值是解析方法方法二如图，对任意，恒有，则⊥⊥⊥⊥解析恒成立，即恒成立，握平面向量的数量积的性质及运算律，并能运用它们处理长度角度和垂直等问题栏目链接典例剖析栏目链接向量数量积的运算已知向量和的夹角为，且则解析，与的夹角为，栏目链接求两向量的夹角若，且⊥，则向量与的量的加法向量的模向量垂直的等价条件向量的夹角和向量的数量积等基础知识法是通常方法法二将数学符号语言转化为图形语言，由平面几何知识快速得到答案无图考图，体现了数形结合思想的灵活运用方法二数形结