⊥，规定与任向量平行向量与的夹角同向反向垂直向量在轴上的正射影已知向量和轴如图所示，作，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，则向量叫做向量，则叫做当时，与当时，与当时，则称向量与，记作便停下来„结果当然是失败的难道猴子没有做功吗不！难道猴子没有用心吗不！但是做功成功物理学当中的做功在数学中叫做什么，是如何表示的呢两个向量的夹角对于两个非零向量和，作，预习思想方法技巧课前自主预习只猴子捡到把钝刀，连小树也砍不断于是它向砍柴人请教，砍柴人说“把刀放到石上磨磨”于是猴子高兴地飞奔回去，立刻把刀放在块石头上拼命地磨直到它发现刀口和刀背差不多厚了，分别与同向，所以向量的夹角为成才之路数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教版必修平面向量第二章平面向量的数量积第二章向量数量积的物理背景与定义课堂典例讲练易错疑难辨析课时作业课前自主思想方法技巧求解两个向量夹角的方法已知向量的夹角为，试用作图法求出下列向量的夹角解析如图，向量与互为相反向量，所以向量的夹角为如图，和的夹角为角而导致错误正解如图所示为锐角又是中的最大角，为锐角三角形，试判断的形状错解如图所示，为钝角，故为钝角三角形辨析错解的原因是误认为与答案解析易错疑难辨析已知中，是中的最大角，若点评用定义求数量积定要注意两个向量的夹角当时，要注意夹角为和两种情况若向量满足与的夹角为，则为，所以若反向，则它们的夹角为所以当⊥时，夹角为，所以当夹角为时，若夹角为，求分析已知与，只需确定其夹角，特别需注意时有和两种可能关于向量数量积的定义和应用解析当时，若同向，则它们的夹角量积等于的长度与上的投影是答案解析，与的夹角为，与的投影是已知，若，求若⊥，求两向量的数量积不是向量而是，它可以为正数零负数，要注意区分两向量数量积的运算性质与数乘向量实数乘实数之间的差异向量数量积的几何意义向量与向量的数当时，正射影向量的数量积内积叫做向量与的数量积或内积，记作，即的正射影在轴上的坐标，称作在轴上的数量或在轴的方向上的数量，记作，射影的坐标是数量，当为锐角时，为正值当为钝角时，为负值当时，同向反向垂直向量在轴上的正射影已知向量和轴如图所示，作，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，则向量叫做向量在轴上的简称射影在轴上的同向反向垂直向量在轴上的正射影已知向量和轴如图所示，作，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，则向量叫做向量在轴上的简称射影在轴上的正射影在轴上的坐标，称作在轴上的数量或在轴的方向上的数量，记作，射影的坐标是数量，当为锐角时，为正值当为钝角时，为负值当时当时，正射影向量的数量积内积叫做向量与的数量积或内积，记作，即两向量的数量积不是向量而是，它可以为正数零负数，要注意区分两向量数量积的运算性质与数乘向量实数乘实数之间的差异向量数量积的几何意义向量与向量的数量积等于的长度与上的投影是答案解析，与的夹角为，与的投影是已知，若，求若⊥，求若夹角为，求分析已知与，只需确定其夹角，特别需注意时有和两种可能关于向量数量积的定义和应用解析当时，若同向，则它们的夹角为，所以若反向，则它们的夹角为所以当⊥时，夹角为，所以当夹角为时点评用定义求数量积定要注意两个向量的夹角当时，要注意夹角为和两种情况若向量满足与的夹角为，则答案解析易错疑难辨析已知中，是中的最大角，若，试判断的形状错解如图所示，为钝角，故为钝角三角形辨析错解的原因是误认为与的夹角为角而导致错误正解如图所示为锐角又是中的最大角，为锐角三角形思想方法技巧求解两个向量夹角的方法已知向量的夹角为，试用作图法求出下列向量的夹角解析如图，向量与互为相反向量，所以向量的夹角为如图，和分别与同向，所以向量的夹角为成才之路数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教版必修平面向量第二章平面向量的数量积第二章向量数量积的物理背景与定义课堂典例讲练易错疑难辨析课时作业课前自主预习思想方法技巧课前自主预习只猴子捡到把钝刀，连小树也砍不断于是它向砍柴人请教，砍柴人说“把刀放到石上磨磨”于是猴子高兴地飞奔回去，立刻把刀放在块石头上拼命地磨直到它发现刀口和刀背差不多厚了，便停下来„结果当然是失败的难道猴子没有做功吗不！难道猴子没有用心吗不！但是做功成功物理学当中的做功在数学中叫做什么，是如何表示的呢两个向量的夹角对于两个非零向量和，作则叫做当时，与当时，与当时，则称向量与，记作⊥，规定与任向量平行向量与的夹角同向反向垂直向量在轴上的正射影已知向量和轴如图所示，作，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，则向量叫做向量在轴上的简称射影在轴上的正射影在轴上的坐标，称作在轴上的数量或在轴的方向上的数量，记作，射影的坐标是数量，当为锐角时，为正值当为钝角时，为负值当时当时，正射影向量的数量积内积叫做向量与的数量积或内积，记作，即两向量的数量积不是向量而是，它可以为正数零负数，要注意区分两向量数量积的运算性质与数乘向量实数乘实数之间的差异向量数量积的几何意义向量与向量的数量积的正射影在轴上的坐标，称作在轴上的数量或在轴的方向上的数量，记作，射影的坐标是数量，当为锐角时，为正值当为钝角时，为负值当时，两向量的数量积不是向量而是，它可以为正数零负数，要注意区分两向量数量积的运算性质与数乘向量实数乘实数之间的差异向量数量积的几何意义向量与向量的数若夹角为，求分析已知与，只需确定其夹角，特别需注意时有和两种可能关于向量数量积的定义和应用解析当时，若同向，则它们的夹角点评用定义求数量积定要注意两个向量的夹角当时，要注意夹角为和两种情况若向量满足与的夹角为，则，试判断的形状错解如图所示，为钝角，故为钝角三角形辨析错解的原因是误认为与思想方法技巧求解两个向量夹角的方法已知向量的夹角为，试用作图法求出下列向量的夹角解析如图，向量与互为相反向量，所以向量的夹角为如图，和预习思想方法技巧课前自主预习只猴子捡到把钝刀，连小树也砍不断于是它向砍柴人请教，砍柴人说“把刀放到石上磨磨”于是猴子高兴地飞奔回去，立刻把刀放在块石头上拼命地磨直到它发现刀口和刀背差不多厚了则叫做当时，与当时，与当时，则称向量与，记作