式在∈，∞上恒成立不等式在∈，∞上恒成立„„„„分令，又，当时，在，∞上恒成立，在，∞上单调递增，又，在∈，∞上恒成立，符合题意当时，，∈，时，，在，单调递减设为面的法向量，则，即取，则，，从而，，取，则从而，设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为„„„„分Ⅲ⊥，⊥平面„„„„分如图，以点为原点，，设为面的法向量，则，即，„„„„分的数学期望„„„„分解在直三棱柱中，⊥，⊥，又，所以的分布列为，„„„„分解Ⅰ，即该顾客中奖的概率为„„„„分Ⅱ的所有可能值为，元„„„„分，，，„„分Ⅱ，在区间，单调递增，在区间，单调递减，„„„„分，，，因此的取值范围为的最小正周期为，„„„„分由，得，函数的单调增区间为，，∈„„，三解答题其他正确解法请比照给分解Ⅰ„„„„分„„„„分函数等式恒成立，求的取值范围南开区高三模数学试卷理工类参考答案选择题题号答案二填空题求曲线在点，处的切线方程Ⅱ若函数∈在其定义域内有两个不同的极值点，求的取值范围Ⅲ在Ⅱ的条件下，记两个极值点分别为且若不此时椭圆的方程ⅱ椭圆上是否存在两点，关于直线≠对称，若存在，求出的取值范围若不存在，请说明理由得分评卷人本小题满分分已知函数Ⅰ分分椭圆的两焦点为椭圆的上顶点满足•Ⅰ求椭圆的离心率Ⅱ若以点，为圆心，且与椭圆有公共点的圆的最大半径为ⅰ求比数列已知„•Ⅰ求数列，的通项公式Ⅱ设••，求证数列的前项和得分评卷人本小题满∥平面Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值Ⅲ求二面角的余弦值得分评卷人本小题满分分设为数列的前项和，且，数列为等率Ⅱ该顾客获得的奖品总价值元的概率分布列和期望得分评卷人本小题满分分已知在直三棱柱中，⊥，且分别是，的中点Ⅰ证明场开展购物抽奖促销活动，顾客购物满元即可获得次抽奖机会，若每张券中有等奖券张，可获价值元的奖品有二等奖券张，每张可获价值元的奖品其余张没有奖，顾客从这张券中任抽张，求Ⅰ该顾客中奖的概率场开展购物抽奖促销活动，顾客购物满元即可获得次抽奖机会，若每张券中有等奖券张，可获价值元的奖品有二等奖券张，每张可获价值元的奖品其余张没有奖，顾客从这张券中任抽张，求Ⅰ该顾客中奖的概率Ⅱ该顾客获得的奖品总价值元的概率分布列和期望得分评卷人本小题满分分已知在直三棱柱中，⊥，且分别是，的中点Ⅰ证明∥平面Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值Ⅲ求二面角的余弦值得分评卷人本小题满分分设为数列的前项和，且，数列为等比数列已知„•Ⅰ求数列，的通项公式Ⅱ设••，求证数列的前项和得分评卷人本小题满分分椭圆的两焦点为椭圆的上顶点满足•Ⅰ求椭圆的离心率Ⅱ若以点，为圆心，且与椭圆有公共点的圆的最大半径为ⅰ求此时椭圆的方程ⅱ椭圆上是否存在两点，关于直线≠对称，若存在，求出的取值范围若不存在，请说明理由得分评卷人本小题满分分已知函数Ⅰ求曲线在点，处的切线方程Ⅱ若函数∈在其定义域内有两个不同的极值点，求的取值范围Ⅲ在Ⅱ的条件下，记两个极值点分别为且若不等式恒成立，求的取值范围南开区高三模数学试卷理工类参考答案选择题题号答案二填空题，三解答题其他正确解法请比照给分解Ⅰ„„„„分„„„„分函数的最小正周期为，„„„„分由，得，函数的单调增区间为，，∈„„„„分Ⅱ，在区间，单调递增，在区间，单调递减，„„„„分，，，因此的取值范围为，„„„„分解Ⅰ，即该顾客中奖的概率为„„„„分Ⅱ的所有可能值为，元„„„„分，，，，所以的分布列为„„„„分的数学期望„„„„分解在直三棱柱中，⊥，⊥，又⊥，⊥平面„„„„分如图，以点为原点，，设为面的法向量，则，即取，则从而，设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为„„„„分Ⅲ，设为面的法向量，则，即取，则，，从而，，由图形可知所求二面角的平面角为钝角，二面角的余弦值为„„„„分解Ⅰ当时，，时满足上式，„„„„分„•，解得，的通项公式为„„„„分Ⅱ•••，„„„„分„„„„„分解Ⅰ•，•，从而，椭圆的离心率„„„„分Ⅱ由Ⅰ可得椭圆的方程为设，是椭圆上任点，依题意，的最大值为，则ⅰ若，则时，此时椭圆方程为„„„„„„分ⅱ若，则时，矛盾综上得椭圆方程为„„„„„„分设直线的方程为，联立方程组，化简得，由，解得由韦达定理得，可求得的中点坐标为，，代入直线得，求得，代入得，解得∈∞，∪，∞„„„„„„分解Ⅰ，，切线斜率，曲线在点，处的切线方程为„„„„„„„分Ⅱ，，设，从而转化为函数在，∞有两个不同零点，而，若，则在，∞上恒成立，所以在，∞单调递减，此时不可能有两个不同零点„„„„„„„分若，在时，，在时，，所以在，上单调递增，在，∞上单调递减，从而极大值，又因为在时，∞，在∞时，∞，于是只须极大值，即，所以综上所述，„„„„„„„分Ⅲ由Ⅱ可知，分别是方程的两个根，即两式相减得，不等式不等式，令，不等式不等式，原不等式恒成立，不等式在∈，∞上恒成立∈，∞时，则不等式在∈，∞上恒成立不等式在∈，∞上恒成立不等式在∈，∞上恒成立„„„„分令，又，当时，在，∞上恒成立，在，∞上单调递增，又，在∈，∞上恒成立，符合题意当时，，∈，时，，在，单调递减，又，在，上，不符合题意综上，若恒成立，则∈，„„„„分届天津市南开区高三模考试数学理试卷本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分共分，考试时间分钟第Ⅰ卷至页，第Ⅱ卷至页祝各位考生考试顺利,第Ⅰ卷注意事项答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名准考证号考试科目涂在答题卡上每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号本卷共小题，每小题分，共分选择题在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的是虚数单位，满足的复数已知集合，则是的充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件以下茎叶图记录了在次数学模拟考试中甲乙两组各五名学生的成绩单位分已知甲组数据的中位数为，乙组数据的平均数为，则，的值分别为执行如图所示的程序框图，若输入的值为，则输出的值为已知实数，满足约束条件则的概率是甲组乙组已知双曲线，与抛物线其中交于，两点，若，则双曲线的离心率为如图，已知为的直径，为上的两点，⊥，过点作的切线交的延长线于点，连结交于点若则在中，为边上点，则南开区学年度第二学期高三年级总复习质量检测答题纸理工类题号二三总分得分第Ⅱ卷注意事项用黑色墨水的钢笔或签字笔答题本卷共小题，共分得分评卷人二填空题本大题共个小题，每小题分，共分请将答案填在题中横线上。设为定义在上的奇函数，若当时则个棱长为的正方体被个平面截去部分后，剩余部分的三视图如图所示，则此剩余部分的体积为若，则的二项展开式中的常数项为用数字作答已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数，以为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为，则圆上的点到直线距离的最小值为在等腰梯形中，已知∥，与交于点，若•，则已知函数若函数有四个零点且，则的取值范围是三解答题本大题共个小题，共分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤主视图左视图俯视图得分评卷人本小题满分分已知函数的最小正周期为Ⅰ求的值和函数的单调增区间Ⅱ求函数在区间，上的取值范围得分评卷人本小题满分分家电商场开展购物抽奖促销活动，顾客购物满元即可获得次抽奖机会，若每张券中有等奖券张，可获价值元的奖品有二等奖券张，每张可获价值元的奖品其余张没有奖，顾客从这张券中任抽张，求Ⅰ该顾客中奖的概率Ⅱ该顾客获得的奖品总价值元的概率分布列和期望得分评卷人本小题满分分已知在直三棱柱中，⊥，且分别是，的中点Ⅰ证明∥平面Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值Ⅲ求二面角的余弦值得分评卷人本小题满分分设为数列的前项和，且，数列为等比数列已知„•Ⅰ求数列，的通项公式Ⅱ设••，求证数列的前项和得分评卷人本小题满分分椭圆的两焦点为椭圆的上顶点满足•Ⅰ求椭圆的离心率Ⅱ若以点，为圆心，且与椭圆有公共点的圆的最大半径为ⅰ求此时率Ⅱ该顾客获得的奖品总价值元的概率分布列