作⊥于点，连结⊥平面，⊂平面，⊥又⊥，∩，⊥平面，⊥即为面与面所成的二面角的平面角即由得又⊥平面，⊥，课堂活动区例解题导引线面垂直的判定方法是证明直线垂直平面内的两条相交直线即从“线线垂直”到“线面垂直”证明取中点，连结在中，分别为的中点，故，且⊥为等腰三角形，⊥⊥，⊥，∩，⊥面而⊂面，⊥在中为的中点，⊥又∩，⊥平面若，则⊥，由可知，⊥面，而⊂面，⊥又∩，⊥平面变式迁移证明作⊥，垂足为，连结，由侧面⊥底面，得⊥底面因为，所以又，故为等腰直角三角形，且⊥，又⊥，∩，⊥面又⊂面，⊥例解题导引证明面面垂直，可先证线面垂直，即设法先找到⊥等解析方法如图，建立空间直角坐标系设面的法向量为，面的法向量为设正方体的棱长为则取，则，故，面与面所成的二面角的平面角满足方法二如图，设正方体的棱长为，则由题意知分别延长交于点，连结，作⊥于点，连结⊥平面，⊂平面，⊥又⊥，∩，⊥平面，⊥即为面与面所成的二面角的平面角即由得又⊥平面，⊥，课堂活动区例解题导引线面垂直的判定方法是证明直线垂直平面内的两条相交直线即从“线线垂直”到“线面垂直”证明取中点，连结在中，分别为的中点，故，且⊥为等腰三角形，⊥⊥，⊥，∩，⊥面而⊂面，⊥在中为的中点，⊥又∩，⊥平面若，则⊥，由可知，⊥面，而⊂面，⊥又∩，⊥平面变式迁移证明作⊥，垂足为，连结，由侧面⊥底面，得⊥底面因为，所以又，故为等腰直角三角形，且⊥，又⊥，∩，⊥面又⊂面，⊥例解题导引证明面面垂直，可先证线面垂直，即设法先找到其中个平面的条垂线，再证明这条垂线在另个平面内或与另个平面内的条直线平行证明如图所示，连结，则为，的交点，为，的交点由棱柱的性质知，且，四边形为平行四边形，，又⊥平面，⊥平面，又⊂平面，平面⊥平面变式迁移证明如图，在中，因为，分别为，的中点，所以又因为⊄平面，⊂平面，所以直线平面连结因为，，所以为正三角形因为是的中点，所以⊥因为平面⊥平面，⊂平面，平面∩平面，所以⊥平面又因为⊂平面，所以平面⊥平面例解题导引高考中对直线与平面所成的角及二面角的考查是热点之有时在客观题中考查，更多的是在解答题中考查根据线面角的定义或二面角的平面角的定义，作找出该角，再解三角形求出该角，步骤是作找认指求证明如图所示，连结，由底面是正方形可得⊥⊥平面，是在平面上的射影，⊥解如图所示，由⊥平面，⊂平面，⊥又底面是正方形，⊥又∩，⊥平面过点在平面内作⊥于，连结，则⊥，故是二面角的平面角，即在中，在中从而在中由，得⇒⇒由解得变式迁移证明⊥底面，⊥又，⊥又∩，⊥平面解为的中点，，又由知，⊥平面，⊥平面，垂足为点是与平面所成的角⊥底面，⊥又，为等腰直角三角形在中，，在中，与平面所成角的正弦值为解，又由知，⊥平面，⊥平面又⊂平面，⊂平面，⊥，⊥为二面角的平面角⊥底面，⊥，在棱上存在点，使得⊥这时，，故存在点使得二面角是直二面角课后练习区充要解析⊥底面，为三棱锥的高，且底面为正三角形且边长为，底面面积为，证明方法综合法如图所示，设是线段延长线与线段延长线的交点由于与都是正三角形，且，所以綊，分分同理，设是线段延长线与线段延长线的交点，有綊，又由于和都在线段的延长线上，所以与重合分在和中，由綊和綊，可知分别是和的中点，所以是的中位线，故分方法二向量法过点作⊥，交于点，连结，由平面⊥平面，知⊥平面，从而⊥，⊥以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系分由条件知则，所以，即分由，知，而是边长为的正三角形，故所以四边形分过点作⊥，交于点，由平面⊥平面知，就是四棱锥的高，且，所以四边形分证明设∩，连结在中，因为，且平分，所以为的中点，又由题设，知为的中点，故又⊂平面，且⊄平面，所以平面分证明因为⊥平面，⊂平面，所以⊥由可得，⊥又∩，故⊥平面分解由⊥平面可知，为在平面内的射影，所以为直线与平面所成的角由⊥，可得，在中，所以直线与平面所成的角的正切值为分证明在中，由于，所以故⊥分又平面⊥平面，平面∩平面，⊂平面，所以⊥平面又⊂平面，故平面⊥平面分解过点作⊥交于点，由于平面⊥平面，所以⊥平面分因此为四棱锥的高又是边长为的等边三角形，因此分在底面四边形中，所以四边形是梯形，在中，斜边上的高为，此即为梯形的高，所以四边形的面积为故分学案空间的垂直关系导学目标以立体几何的定义公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面面面垂直的有关性质与判定定理能运用公理定理和已获得的结论证明些空间图形的垂直关系的简单命题自主梳理直线与平面垂直判定直线和平面垂直的方法定义法利用判定定理如果条直线和个平面内的两条直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面推论如果在两条平行直线中，有条垂直，即由得又⊥平面，⊥，课堂活动区例解题导引线面垂直的判定方法是证明直线垂直平面内的两条相交直线即从“线线垂直”到“线面垂直”证明取中点，连结在中，分别为的中点，故，且⊥为等腰三角形，⊥⊥，⊥，∩，⊥面取，则，故，面与面所成的二面角的平面角满足方法二如如图，建立空间直角坐标系设面的法向量为，面的法向量为设正方体的棱长为则⊥平面求四棱锥的体积学案空间的垂直关系答案自主梳理相交垂直任意平行平行射影直角条垂线交线垂直于自我检测⊥或⊥等解析方法求直线与平面所成的角的正切值分如图，在四棱锥中，平面⊥面，，是等边三角形，已知，设是上的点，证明平面的体积分天津如图，在四棱锥中，⊥平面，⊥，平分，为的中点证明平面证明⊥平面分安徽如图，为多面体，平面与平面垂直，点在线段上都是正三角形证明直线求棱锥中正确命题的序号是正四棱锥的底面边长为，高为，是边的中点，动点在表面上运动，并且总保持⊥，则动点的轨迹的周长为二解答题共分的体积为如图所示，正方体的棱长是，过点作平面的垂线，垂足为点，有下列三个命题点是的中心垂直于平面与所成的角是其福建三棱锥中，⊥底面底面是边长为的正三角形，则三棱锥两条直线垂直上面命题中，真命题的序号是写出所有真命题的序号如图，在长方体中，则与平面所成角的正弦值为分别平行于内的两条直线，则平行于若外条直线与内的条直线平行，则和平行设和相交于直线，若内有条直线垂直于，则和垂直直线与垂直的充分必要条件是与内的平面与平面垂直与直线垂直的直线不可能与平面平行与直线平行的平面不可能与平面垂直其中错误的是江苏设和为不重合的两个平面，给出下列命题若内的两条相交直线，⊂，则⊥若，∩，则其中正确命题是填序号设直线与平面相交但不垂直，给出以下说法在平面内有且只有条直线与直线垂直过直线有且只有个⊥，⊥，那么⊥是⊥的条件已知两个不同的平面和两条不重合的直线，有下列四个命题若，⊥，则⊥若⊥，⊥，则若⊥，⊥证明面面垂直的方法利用定义两个平面相交，所成的二面角是直二面角判定定理⊂，⊥⇒⊥满分分填空题每小题分，共分扬州月考已知直线，和平面且∩，⊂，⊥⇒⊥证明线线垂直的方法定义两条直线的夹角为平面几何中证明线线垂直的方法线面垂直的性质⊥，⊂⇒⊥线面垂直的性质⊥，⇒线都垂直⇒⊥判定定理⊂，∩⊥，⊥⇒⊥判定定理，⊥⇒⊥面面平行的性质，⊥⇒⊥面面垂直的性质⊥，线都垂直⇒⊥判定定理⊂，∩⊥，⊥⇒⊥判定定理，⊥⇒⊥面面平行的性质，⊥⇒⊥面面垂直的性质⊥，∩，⊂，⊥⇒⊥证明线线垂直的方法定义两条直线的夹角为平面几何中证明线线垂直的方法线面垂直的性质⊥，⊂⇒⊥线面垂直的性质⊥，⇒⊥证明面面垂直的方法利用定义两个平面相交，所成的二面角是直二面角判定定理⊂，⊥⇒⊥满分分填空题每小题分，共分扬州月考已知直线，和平面且⊥，⊥，那么⊥是⊥的条件已知两个不同的平面和两条不重合的直线，有下列四个命题若，⊥，则⊥若⊥，⊥，则若⊥，，⊂，则⊥若，∩，则其中正确命题是填序号设直线与平面相交但不垂直，给出以下说法在平面内有且只有条直线与直线垂直过直线有且只有个平面与平面垂直与直线垂直的直线不可能与平面平行与直线平行的平面不可能与平面垂直其中错误的是江苏设和为不重合的两个平面，给出下列命题若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于若外条直线与内的条直线平行，则和平行设和相交于直线，若内有条直线垂直于，则和垂直直线与垂直的充分必要条件是与内的两条直线垂直上面命题中，真命题的序号是写出所有真命题的序号如图，在长方体中，则与平面所成角的正弦值为福建三棱锥中，⊥底面底面是边长为的正三角形，则三棱锥的体积为如图所示，正方体的棱长是，过点作平面的垂线，垂足为点，有下列三个命题点是的中心垂直于平面与所成的角是其中正确命题的序号是正四棱锥的底面边长为，高为，是边的中点，动点在表面上运动，并且总保持⊥，则动点的轨迹的周长为二解答题共分分安徽如图，为多面体，平面与平面垂直，点在线段上都是正三角形证明直线求棱锥的体积分天津如图，在四棱锥中，⊥平面，⊥，平分，为的中点证明平面证明⊥平面求直线与平面所成的角的正切值分如图，在四棱锥中，平面⊥面，，是等边三角形，已知，设是上的点，证明平面⊥平面求四棱锥的体积学案空间的垂直关系答案自主梳理相交垂直任意平行平行射影直角条垂线交线垂直于自我检测⊥或⊥等解析方法如图，建立空间直角坐标系设面的法向量为，面的法向量为设正方体的棱长为则取，则，故，面与面所成的二面角的平面角满足方法二如图，设正方体的棱长为，则由题意知分别延长交于点，连结，在，该电机具有较强的反电势，其自身阻尼作用比较好，使其在运转过程中比较平稳噪音低低频振动小。感应子式种程度上可以看作是低速同步的电机。个感应式四相电机可以作四相运行，也可以作二相运行必须采用双极电压