的点，位置是线段上处分解以为原点，分别为轴，线段的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则，Ⅰ设则，可得，因为所以Ⅱ由已知条件可得故设为平面的法向量则即因此可以取，由，可得，所以直线与所以分底面四边形为正方形，即只有为正方形时，线段上存在点满足要求，否则不存在由知，所求点即为的垂足此二面角的值是分若线段上存在点，使得平面，则分又平面，所以，所以平面为直角三角形又，，所以，同理可得，在中，根据余弦定理有分因为，，所以即此时分解法根据题意，长方体体积为形，所以与全等，故，所以即为所求二面角的平面角分因为平面，所以令，，分同理平面的法向量为，分设二面角大小为，分由可得点，所以，，设平面的法向量为，则，，所以平面分由题意，以点为原点所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，分则，分理由如下连结交于，连结，因为，为的中点，所以为的中点当为的中点，即时，为的中位线，分故，又平面的法向量为，则来源学科网若直线与平面所成的角为，则故直线与平面所成的角不可能为分解当为中点时，平面平面平面设，以为原点，建立空间直角坐标系如图所示，不妨设，则设平面，为公共边，，四棱柱是直四棱柱，平面，，平面平面使得平面，可设又分由平面，得即故，此时分经检验，当时，平面故线段上存在点，使得平面，此时分解析证明，，为正三角形，折叠类问题提示此题也可用向量法，建系如图。存在性问题解在如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标依题意，得。，分所以异面直线与所成角的余弦值为分假设在线段上存在点，弦值注此题陷阱是用向量法求出的为负值此题二面角为锐角，余弦值应为正值，很多考生会忘记判断二面角的平面角为锐角还是钝角，从而出错，丢失最后的分。解答向量法求二面角大小向量法求二面角余弦值蓌形，⊥平面，分别是，的中点Ⅰ求证⊥Ⅱ若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值本小题满分分向量法求二面角余，侧面为等边三角形。证明⊥平面求与平面所成的角的余弦值。本小题满分分如图，已知四棱锥，底面为求平面与平面所成二面角的余弦值点是线段上的动点，当直线与所成角最小时，求线段的长。本小题满分分如图，棱锥中，∥，⊥，求平面与平面所成二面角的余弦值点是线段上的动点，当直线与所成角最小时，求线段的长。本小题满分分如图，棱锥中，∥，⊥，侧面为等边三角形。证明⊥平面求与平面所成的角的余弦值。本小题满分分如图，已知四棱锥，底面为蓌形，⊥平面，分别是，的中点Ⅰ求证⊥Ⅱ若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值本小题满分分向量法求二面角余弦值注此题陷阱是用向量法求出的为负值此题二面角为锐角，余弦值应为正值，很多考生会忘记判断二面角的平面角为锐角还是钝角，从而出错，丢失最后的分。解答向量法求二面角大小向量法求二面角余弦值折叠类问题提示此题也可用向量法，建系如图。存在性问题解在如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标依题意，得。，分所以异面直线与所成角的余弦值为分假设在线段上存在点，使得平面，可设又分由平面，得即故，此时分经检验，当时，平面故线段上存在点，使得平面，此时分解析证明，，为正三角形，，为公共边，，四棱柱是直四棱柱，平面，，平面平面，平面平面设，以为原点，建立空间直角坐标系如图所示，不妨设，则设平面的法向量为，则来源学科网若直线与平面所成的角为，则故直线与平面所成的角不可能为分解当为中点时，平面，分理由如下连结交于，连结，因为，为的中点，所以为的中点当为的中点，即时，为的中位线，分故，又平面，所以平面分由题意，以点为原点所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，分则，分由可得点，所以，，设平面的法向量为，则，令，，分同理平面的法向量为，分设二面角大小为，分解法根据题意，长方体体积为形，所以与全等，故，所以即为所求二面角的平面角分因为平面，所以为直角三角形又，，所以，同理可得，在中，根据余弦定理有分因为，，所以即此时二面角的值是分若线段上存在点，使得平面，则分又平面，所以，所以平面所以分底面四边形为正方形，即只有为正方形时，线段上存在点满足要求，否则不存在由知，所求点即为的垂足此时，分法二根据题意可知，两两垂直，以为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系长方体体积为分当且仅当，即时体积有最大值为分所以当长方体的体积最大时，底面四边形为正方形分则，设平面的法向量，则取，得分同理可得平面的法向量分所以分又二面角为钝角，故值是分也可以通过证明平面写出平面的法向量根据题意有，若线段上存在点满足要求，不妨，可得，即分解得，分即只有当底面四边形是正方形时才有符合要求的点，位置是线段上处分解以为原点，分别为轴，线段的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则，Ⅰ设则，可得，因为所以Ⅱ由已知条件可得故设为平面的法向量则即因此可以取，由，可得，所以直线与平面所成角的正弦值为Ⅰ证明由四边形为菱形可得为正三角形因为为的中点，所以⊥又∥，因此⊥因为⊥平面，平面，所以⊥而平面，平面且∩，所以⊥平面，又平面所以⊥分Ⅱ由Ⅰ知两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设则，所以，且为平面的法向量，设直线与平面所成的角为，由，，解得所以，设平面的法向量为，则，因此取，则，因为⊥，⊥，∩，所以⊥平面，故为平面的法向量又，所以因为二面角为锐角，所以所求二面角的余弦值为，说明道题目涉及了立体几何高考常考的类型求二面角的大小求二面角的余弦值正弦值题正切值题图象折叠问题题存在性问题，题动点问题，题点到平面的距离题求几何体的体积题等。本小题满分分如图，是直角梯形∥，又⊥，直线与直线所成的角为求证平面⊥平面求二面角的平面角的余弦值本小题满分分如图，四棱锥中，底面为菱形，⊥底面，是上的点，证明⊥平面设二面角为，求与平面所成角的大小本小题满分分如图，在三棱柱中，⊥平面为的中点求证∥平面求二面角的平面角的余弦值本小题满分分如图，边长为的正方形，是的中点，沿，将折起，使得与重合于Ⅰ设为的中点，证明Ⅱ求二面角的余弦值本小题满分分如图所示，四边形是边长为的正方形，⊥平面，⊥平面，且，为的中点求异面直线与所成角的余弦值在线段上是否存在点，使得⊥平面若存在，求线段的长若不存在，请说明理由本小题满分分本小题满分分如图，是圆的直径，是圆上异于的点，Ⅰ求证Ⅱ若，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值本小题满分分如图，在直四棱柱中，求证平面平面若，判断直线与平面所成的角能否为并说明理由本小题满分分如图，在四棱锥中，底面为直角梯形底面，，为的中点，为棱上点试确定点的位置，使得平面，并证明你的结论若，求二面角的余弦值，平面本小题满分分本小题满分分如图，将长为，宽为的长方形折叠成长方体的四个侧面，记底面上边，，连接当长方体的体积最大时，求二面角的值线段上是否存在点，使得平面，若有，求出点的位置，没有请说明理由新课标理科数学卷本小题满分分如图，已知四棱锥的底面为等腰梯形，，，垂足为，是四棱锥的高，为中点证明若，求直线与平面所成角的正弦值。本小题满分分如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，求平面与平面所成二面角的余弦值点是线段上的动点，当直线与所成角最小时，求线段的长。本小题满分分如图，棱锥中，∥，⊥，侧面为等边三角形。证明⊥平面求与平面所成的角的余弦值。本小题满分分如图，已知四棱锥，底面为蓌形，⊥平面，分别是，的中点Ⅰ求证⊥Ⅱ若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值本小题满分分向量法求二面角余弦值注此题陷阱是用向量法求出的为负值此题二面角为锐角，余弦值应为正值，很多考生会忘记判断二面角的平面角为锐角还是钝角，从而出错，丢失最后的分。解答向量法求二面角大小向量法求二面角余弦值折叠类问题提示此题也可用向量法，建系如图。存在性问题解在如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标依题意，得。，分所以异面直线与所成角的余弦值为分假设在线段上存在点，使得，侧面为等边三角形。证明⊥平面求与平面所成的角的余弦值。本小题满分分如图，已知四棱锥，底面为弦值注此题陷阱是用向量法求出的为负值此题二面角为锐角，余弦值应为正值，很多考生会忘记判断二面角的平面角为锐角还是钝角，从而出错，丢失最后的分。解答向量法求二面角大小向量法求二面角余弦值使得平面，可设又分由平面，得即故，此时分经检验，