点不共线时，连接，取的中点为，为的中点，是的中位线因是栏目链接由，得，故，答案解析，即过圆上点与坐标原点的直线的斜率，因此的最值即为过原点的直线与圆，连接，则为直角三角形，其中，故点的轨迹方程为栏目链接与圆有关的最值问题若实数，满足，则的最大值为，最小值为坐标为，这时点的坐标为也满足，所以点的轨迹方程为方法二当⊥轴时，点与点重合，当过原点时，点与原点重合，当不过原点又不垂直于轴时栏目链接当时，有，并且，将代入并整理得栏目链接当时，点的旋转时，求动点的轨迹方程解析方法设点的坐标为，因为在圆上，所以，两式相减得，所以示的曲线是否有多余的点，曲线上是否有遗漏的点该方法常用于解答与圆相关的应用性问题栏目链接►变式训练设圆的方程为，过点，的直线交圆于两点，是坐标原点，点为的中点，当绕点点的集合翻译列式将几何条件用坐标，表示，写出方程化简方程通过同解变形化简方程查漏除杂验证方程表示的曲线是否为已知的曲线，重点检查方程表程表示的曲线是否有多余的点，曲线上是否有遗漏的点该方法常用于解答与圆相关的应用性问题栏目链接►变式训练链接建系设点建立适当的直角坐标系，设曲线上任点坐标为几何点集写出满足题设的设的点的集合翻译列式将几何条件用坐标，表示，写出方程化简方程通过同解变形化简方程查漏除杂验证方程表示的曲线是否为已知的曲线，重点检查方规律总结代入法和定义法，是求轨迹方程的常用方法，注意熟练掌握直接法求点的轨迹方程的步骤栏目链接建系设点建立适当的直角坐标系，设曲线上任点坐标为几何点集写出满足题知点的轨迹是以，为圆心，为半径的圆，其方程是栏目链接当三点共线时，点的坐标为，或显然满足方程综上所述，点的轨迹方程为的轨迹方程是方法二定义法当三点不共线时，连接，取的中点为，为的中点，是的中位线因是定点，其坐标为，根据圆的定义，可于是，因为点在圆上运动，所以点的坐标满足方程，即把代入，得，整理，得栏目链接所以，点可以得到点的坐标满足的条件，求出点的轨迹方程，或利用圆的定义求出点的轨迹方程栏目链接解析方法代入法设点坐标为点的坐标为点坐标为由中点坐标公式可得知为坐标原点，在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程栏目链接分析点运动引起点运动，而点在已知圆上运动，点的坐标满足方程，建立点与点坐标之间的关系，就方法二圆心为故设圆的方程为又点，在圆上，所求圆的方程是栏目链接动点的轨迹问题如右下图所示，已心在点半径是经过点圆心是点，栏目链接解析方法半径，圆心在点圆的方程是心在点半径是经过点圆心是点，栏目链接解析方法半径，圆心在点圆的方程是方法二圆心为故设圆的方程为又点，在圆上，所求圆的方程是栏目链接动点的轨迹问题如右下图所示，已知为坐标原点，在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程栏目链接分析点运动引起点运动，而点在已知圆上运动，点的坐标满足方程，建立点与点坐标之间的关系，就可以得到点的坐标满足的条件，求出点的轨迹方程，或利用圆的定义求出点的轨迹方程栏目链接解析方法代入法设点坐标为点的坐标为点坐标为由中点坐标公式可得于是，因为点在圆上运动，所以点的坐标满足方程，即把代入，得，整理，得栏目链接所以，点的轨迹方程是方法二定义法当三点不共线时，连接，取的中点为，为的中点，是的中位线因是定点，其坐标为，根据圆的定义，可知点的轨迹是以，为圆心，为半径的圆，其方程是栏目链接当三点共线时，点的坐标为，或显然满足方程综上所述，点的轨迹方程为规律总结代入法和定义法，是求轨迹方程的常用方法，注意熟练掌握直接法求点的轨迹方程的步骤栏目链接建系设点建立适当的直角坐标系，设曲线上任点坐标为几何点集写出满足题设的点的集合翻译列式将几何条件用坐标，表示，写出方程化简方程通过同解变形化简方程查漏除杂验证方程表示的曲线是否为已知的曲线，重点检查方程表示的曲线是否有多余的点，曲线上是否有遗漏的点该方法常用于解答与圆相关的应用性问题栏目链接►变式训练链接建系设点建立适当的直角坐标系，设曲线上任点坐标为几何点集写出满足题设的点的集合翻译列式将几何条件用坐标，表示，写出方程化简方程通过同解变形化简方程查漏除杂验证方程表示的曲线是否为已知的曲线，重点检查方程表示的曲线是否有多余的点，曲线上是否有遗漏的点该方法常用于解答与圆相关的应用性问题栏目链接►变式训练设圆的方程为，过点，的直线交圆于两点，是坐标原点，点为的中点，当绕点旋转时，求动点的轨迹方程解析方法设点的坐标为，因为在圆上，所以，两式相减得，所以栏目链接当时，有，并且，将代入并整理得栏目链接当时，点的坐标为，这时点的坐标为也满足，所以点的轨迹方程为方法二当⊥轴时，点与点重合，当过原点时，点与原点重合，当不过原点又不垂直于轴时，连接，则为直角三角形，其中，故点的轨迹方程为栏目链接与圆有关的最值问题若实数，满足，则的最大值为，最小值为栏目链接由，得，故，答案解析，即过圆上点与坐标原点的直线的斜率，因此的最值即为过原点的直线与圆相切时该直线的斜率设，则栏目链接规律总结研究与圆有关的最值问题时，可借助图形的性质，利用数形结合求解，般地形如形式的最值问题，可转化为动直线的斜率的最值问题形如形式的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题形如形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题栏目链接已知圆，点点为圆上的动点，求的最大最小值及对应的点的坐标分析设出点的坐标，转化为求函数最值问题栏目链接解析若设则，欲求的最值，只需求的最值，即求圆上的点到原点的距离的平方的最值，故过原点与圆心的直线与圆的两个交点，即为所求栏目链接设过，两点的直线交圆于，两点，则，此时，，此时，，栏目链接规律总结研究圆上的点到定点或到定直线的距离的最值问题，般在点与定点的连线点与直线的垂线过圆心时寻求，解决这类问题除可充分利用圆与圆的几何性质外，还可以考虑用圆的参数方程进行三角代换，化成关于或的函数，再利用正余弦函数的有界性求解第章平面解析几何初步圆与方程圆的方程栏目链接课标点击理解圆的方程的意义掌握圆的标准方程和般方程的形式特征会根据圆的方程求圆心坐标和半径会用待定系数法求圆的方程栏目链接典例剖析栏目链接圆的方程设圆满足截轴所得的弦长为被轴分成两段圆弧，其弧长的比为∶在满足的所有圆中，求圆心到直线的距离最小的圆的方程分析设圆心，半径，然后利用平面几何知识解决问题栏目链接解析设所求圆的圆心为半径为，则到轴，轴的距离分别为，由题设知圆被轴截得的劣弧所对的圆心角为，故圆截轴所得的弦长为，所以又圆截轴所得的弦长为，所以以上两式联立，消去，得又点，到直线的距离为栏目链接，当且仅当时，上式等号成立，此时，从而取得最小值由此有解得，或，由得所以，符合题意的圆的方程为或栏目链接规律总结求圆的方程的般步骤选用圆的方程两种形式中的种如果已知圆上的三个点的坐标，般选用般方程如果给出圆心的特殊位置或圆心两坐标间的关系，般选用标准方程根据所给条件，列出关于或的方程组解方程组，求出或的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求的圆的方程本题是解析几何和代数的个综合题，实质是根据已知条件求最值问题，有机地将代数和几何联系在起，利用圆的有关性质是解决本题的关键►变式训练求满足下列条件的各圆的方程圆心在原点，半径是圆心在点半径是经过点圆心是点，栏目链接解析方法半径，圆心在点圆的方程是方法二圆心为故设圆的方程为又点，在圆上，所求圆的方程是栏目链接动点的轨迹问题如右下图所示，已知为坐标原点，在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程栏目链接分析点运动引起点运动，而点在已知圆上运动，点的坐标满足方程，建立点与点坐标之间的关系，就可以得到点的坐标满足的条件，求出点的轨迹方程，或利用圆的定义求出点的轨迹方程栏目链接解析方法代入法设点坐标为点的坐标为点坐标为由中点坐标公式可得于是，因为点在圆上运动，所以点的坐标满足方程，即把代入，得，整理，得栏目链接所以，点的轨迹方程是方法二定义法当三点不共线时，连接，取的中点为，为的中点，是的中位线因是方法二圆心为故设圆的方程为又点，在圆上，所求圆的方程是栏目链接动点的轨迹问题如右下图所示，已可以得到点的坐标满足的条件，求出点的轨迹方程，或利用圆的定义求出点的轨迹方程栏目链接解析方法代入法设点坐标为点的坐标为点坐标为由中点坐标公式可得的轨迹方程是方法二定义法当三点不共线时，连接，取的中点为，为的中点，是的中位线因是定点，其坐标为，根据圆的定义，可规律总结代入法和定义法，是求轨迹方程的常用方法，注意熟练掌握直接法求点的轨迹方程的步骤栏目链接建系设点建立适当的直角坐标系，设曲线上任点坐标为几何点集写出满足题程表示的曲线是否有多余的点，曲线上是否有遗漏的点该方法常用于解答与圆相关的应用性问题栏目链接►变式训练链接建系设点建立适当的直角坐标系，设曲线上任点坐标为几何点集写出满足题设的示的曲线是否有多余的点，曲线上是否有遗漏的点该方法常用于解答与圆相关的应用性问题栏目链接►变式训练设圆的方程为，过点，的直线交圆于两点，是坐标原点，点为的中点，当绕点栏目链接当时，有，并且，将代入并整理得栏目链接当时，点的，连接，则为直角三角形，其中，故点的轨迹方程为栏目链接与圆有关的最值问题若实数，满足，则的最大值为，最小值为点不共线时，连接，取的中点为，为的中点，是的中位线因是