，于是故答案•江苏卷设，分别是的边，上的点若，为实数，则的值为结束放映返•全国卷Ⅰ设分别为的三边的中点，则结束放映返回导航页解析由题意形所在平面内任意点，则等于结束放映返回导航页解析如图，•答案运算解析因为是和的中点，由平行四边形法则，得所以故选答案•福建卷设为平行四边形对角线的交点，为平行四边向要相同，所以相等向量定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小结束放映返回导航页考向分层突破二平面向量的线性四边形为平行四边形”的充要条件结束放映返回导航页对于向量的概念应注意以下几条向量的两个特征有大小和方向，向量既可以用有向线段和字母表示，也可以用坐标表示相等向量不仅模相等，而且方四边形所在平面故又，是不共线的四点，四边形为平行四边形反之，若四边形为平行四边形，则且，因此，故是“线性运算解析因为是和的中点，由平行四边形法则，得所以故选答案•福建卷设为平行四边形对角线的交点，为平行且方向要相同，所以相等向量定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小结束放映返回导航页考向分层突破二平面向量的是“四边形为平行四边形”的充要条件结束放映返回导航页对于向量的概念应注意以下几条向量的两个特征有大小和方向，向量既可以用有向线段和字母表示，也可以用坐标表示相等向量不仅模相等，而，的长度相等且方向相同，故又，是不共线的四点，四边形为平行四边形反之，若四边形为平行四边形，则且，因此，故，即使，也不能得到，故“且”不是的充要条件，而是必要不充分条件正确，的长度相等且方向相同又的长度相等且方向相同，充要条件若则的充要条件是且其中正确命题的序号是正确，且，不正确当且方向相反时个向量的长度相等，但它们的方向不定相同综上所述，正确命题的序号是答案给出下列命题若，则若，是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小错误当时，不论为何值，错误当时此时与可以是任意向量答案结束放映返回导航页解析不正确两为实数，则必为零，为实数，若，则与共线其中错误命题的个数为考向分层突破平面向量的基本概念解析错误两向量共线要看其方向而不是起点与终点正确因为向量既有大小为平面内异于的任点，，，结束放映返回导航页给出下列命题两个具有公共终点的向量，定是共线向量两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小为平面内异于的任点，，，结束放映返回导航页给出下列命题两个具有公共终点的向量，定是共线向量两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小为实数，则必为零，为实数，若，则与共线其中错误命题的个数为考向分层突破平面向量的基本概念解析错误两向量共线要看其方向而不是起点与终点正确因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小错误当时，不论为何值，错误当时此时与可以是任意向量答案结束放映返回导航页解析不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不定相同综上所述，正确命题的序号是答案给出下列命题若，则若，是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件若则的充要条件是且其中正确命题的序号是正确，且，不正确当且方向相反时，即使，也不能得到，故“且”不是的充要条件，而是必要不充分条件正确，的长度相等且方向相同又的长度相等且方向相同的长度相等且方向相同，故又，是不共线的四点，四边形为平行四边形反之，若四边形为平行四边形，则且，因此，故是“四边形为平行四边形”的充要条件结束放映返回导航页对于向量的概念应注意以下几条向量的两个特征有大小和方向，向量既可以用有向线段和字母表示，也可以用坐标表示相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小结束放映返回导航页考向分层突破二平面向量的线性运算解析因为是和的中点，由平行四边形法则，得所以故选答案•福建卷设为平行四边形对角线的交点，为平行四边形所在平面故又，是不共线的四点，四边形为平行四边形反之，若四边形为平行四边形，则且，因此，故是“四边形为平行四边形”的充要条件结束放映返回导航页对于向量的概念应注意以下几条向量的两个特征有大小和方向，向量既可以用有向线段和字母表示，也可以用坐标表示相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小结束放映返回导航页考向分层突破二平面向量的线性运算解析因为是和的中点，由平行四边形法则，得所以故选答案•福建卷设为平行四边形对角线的交点，为平行四边形所在平面内任意点，则等于结束放映返回导航页解析如图，•答案•全国卷Ⅰ设分别为的三边的中点，则结束放映返回导航页解析由题意，于是故答案•江苏卷设，分别是的边，上的点若，为实数，则的值为结束放映返回导航页进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到平行四边形或三角形中，充分利用相等向量相反向量向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号移项合并同类项提取公因式等变形手段在向量线性运算中同样适用运用上述法则可简化运算结束放映返回导航页考向分层突破三向量共线定理及其应用例设，是两个不共线向量，已知求证三点共线若，且三点共线，求的值解析证明由已知得，又有公共点，三点共线由可知，且，由三点共线得，即，得，解得，结束放映返回导航页解析，跟踪练已知向量其中不共线，向量问是否存在这样的实数，使向量与共线要使与共线，则应有实数，使，即，即，得故存在这样的实数，只需，就能使与共线结束放映返回导航页共线向量定理的应用证明向量共线，对于向量若存在实数，使，则与共线证明三点共线，若存在实数，使，则三点共线求参数的值，利用共线向量定理及向量相等的条件列方程组求参数的值提醒证明三点共线时，要说明共线的两向量有公共点结束放映返回导航页温馨提示请点击相关栏目。整知识萃取知识精华整方法启迪发散思维考向分层突破自主练透型考向分层突破二互动讲练型考向分层突破三分层深化型向量的有关概念考点•分类整合定义表示模既有大小，又有方向的量叫做向量字母表示等有向线段表示，等向量的长度叫做向量的模，记作或结束放映返回导航页几个特殊向量名称意义零向量长度等于的向量，其方向是任意的，记作单位向量长度等于个单位的向量平行向量方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定与任向量共线相等向量长度相等且方向相同的向量相反向量长度相等且方向相反的向量结束放映返回导航页向量的加法与减法加法减法定义求两个向量和的运算向量加上向量的相反向量叫做与的差，即法则或几何意义运算律交换律结合律结束放映返回导航页向量的数乘运算及其几何意义共线向量定理运算律设，是两个实数，则向量与共线，当且仅当有唯个实数，使定义实数与向量的积是个向量，这种运算叫向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下当时，与的方向相同当时，与的方向相反当时，结束放映返回导航页三点共线的等价转化考点•分类整合向量的中线公式三角形的重心若为线段的中点，为平面内点，则已知平面内不共线的三点，⇔是的重心特别地，⇔为的重心三点共线⇔⇔•为平面内异于的任点，⇔为平面内异于的任点，，，结束放映返回导航页给出下列命题两个具有公共终点的向量，定是共线向量两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小为实数，则必为零，为实数，若，则与共线其中错误命题的个数为考向分层突破平面向量的基本概念解析错误两向量共线要看其方向而不是起点与终点正确因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小错误当时，不论为何值，错误当时此时与可以是任意向量答案结束放映返回导航页解析不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不定相同综上所述，正确命题的序号是答案给出下列命题若，则若，是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件若则的充要条件是且其中正确命题的序号是正确，且，不正确当且方向相反时，即使，也不能得到，故“且”不是的充要条件，而是必要不充分条件正确，的长度相等且方向相同又的长度相等且方向相同为实数，则必为零，为实数，若，则与共线其中错误命题的个数为考向分层突破平面向量的基本概念解析错误两向量共线要看其方向而不是起点与终点正确因为向量既有大小个向量的长度相等，但它们的方向不定相同综上所述，正确命题的序号是答案给出下列命题若，则若，是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的，即使，也不能得到，故“且”不是的充要条件，而是必要不充分条件正确，的长度相等且方向相同又的长度相等且方向相同，是“四边形为平行四边形”的充要条件结束放映返回导航页对于向量的概念应注意以下几条向量的两个特征有大小和方向，向量既可以用有向线段和字母表示，也可以用坐标表示相等向量不仅模相等，而线性运算解析因为是和的中点，由平行四边形法则，得所以故选答案•福建卷设为平行四边形对角线的交点，为平行四边形为平行四边形”的充要条件结束放映返回导航页对于向量的概念应注意以下几条向量的两个特征有大小和方向，向量既可以用有向线段和字母表示，也可以用坐标表示相等向量不仅模相等，而且方运算解析因为是和的中点，由平行四边形法则，得所以故选答案•福建卷设为平行四边形对角线的交点，为平行四边•全国卷Ⅰ设分别为的三边的中点，则结束放映返回导航页解析由题意