商分母不为零为奇偶函数个奇函数与个偶函数的积为奇函数判断下列函数的奇偶性解函数定义域为，又是奇函数由，得，此时，,既是奇函数又是偶函数，，的定义域为,关于原点对称此时又，为奇函数分段函数奇偶性的判断已知函数，试判断的奇偶性思路点拨定义域是否关于原点对称逐段验证是否等于断定是否具有奇偶性解函数的定义域为，关于原点对称当的判断，须特别注意与所满足的对应关系，如时，满足满足的不再是，而是分段函数的奇偶性也可通过函数图象的对称性加当时当时，是上的奇函数对于分段函数奇偶性域是否关于原点对称逐段验证是否等于断定是否具有奇偶性解函数的定义域为，关于原点对称当，又，为奇函数分段函数奇偶性的判断已知函数，试判断的奇偶性思路点拨定义奇，得，此时，,既是奇函数又是偶函数，，的定义域为,关于原点对称此时，都有，所以，，，，是偶函数如图，给出了偶函数的局部图象，试比较与的大小函数关于原点对称当，时，，当,时，，综上可知，对于，而是分段函数的奇偶性也可通过函数图象的对称性加以判断判断函数，，，，的奇偶性解的定义域为，是上的奇函数对于分段函数奇偶性的判断，须特别注意与所满足的对应关系，如时，满足满足的不再是称当当时当时，函数，试判断的奇偶性思路点拨定义域是否关于原点对称逐段验证是否等于断定是否具有奇偶性解函数的定义域为，关于原点对，的定义域为,关于原点对称此时又，为奇函数分段函数奇偶性的判断已知是奇函数由，得，此时，,既是奇函数又是偶函数，商分母不为零为奇偶函数个奇函数与个偶函数的积为奇函数判断下列函数的奇偶性解函数定义域为，又原点对称，则函数为奇函数若函数图象关于轴对称，则函数为偶函数还可以用如下性质判断函数的奇偶性偶函数的和差积商分母不为零仍为偶函数奇函数的和差仍为奇函数奇偶数个奇函数的积称，则进行下步结合函数的定义域，化简函数的解析式求根据与之间的关系，判断函数的奇偶性函数的奇偶性也可以用图象法判断，即若函数的图象关于函数，既奇又偶函数，非奇非偶函数用定义判断函数奇偶性的步骤为求函数的定义域判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称函数，既奇又偶函数，非奇非偶函数用定义判断函数奇偶性的步骤为求函数的定义域判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下步结合函数的定义域，化简函数的解析式求根据与之间的关系，判断函数的奇偶性函数的奇偶性也可以用图象法判断，即若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数若函数图象关于轴对称，则函数为偶函数还可以用如下性质判断函数的奇偶性偶函数的和差积商分母不为零仍为偶函数奇函数的和差仍为奇函数奇偶数个奇函数的积商分母不为零为奇偶函数个奇函数与个偶函数的积为奇函数判断下列函数的奇偶性解函数定义域为，又是奇函数由，得，此时，,既是奇函数又是偶函数，，的定义域为,关于原点对称此时又，为奇函数分段函数奇偶性的判断已知函数，试判断的奇偶性思路点拨定义域是否关于原点对称逐段验证是否等于断定是否具有奇偶性解函数的定义域为，关于原点对称当当时当时，是上的奇函数对于分段函数奇偶性的判断，须特别注意与所满足的对应关系，如时，满足满足的不再是，而是分段函数的奇偶性也可通过函数图象的对称性加以判断判断函数，，，，的奇偶性解的定义域为，关于原点对称当，时，，当,时，，综上可知，对于，都有，所以，，，，是偶函数如图，给出了偶函数的局部图象，试比较与的大小函数奇，得，此时，,既是奇函数又是偶函数，，的定义域为,关于原点对称此时又，为奇函数分段函数奇偶性的判断已知函数，试判断的奇偶性思路点拨定义域是否关于原点对称逐段验证是否等于断定是否具有奇偶性解函数的定义域为，关于原点对称当当时当时，是上的奇函数对于分段函数奇偶性的判断，须特别注意与所满足的对应关系，如时，满足满足的不再是，而是分段函数的奇偶性也可通过函数图象的对称性加以判断判断函数，，，，的奇偶性解的定义域为，关于原点对称当，时，，当,时，，综上可知，对于，都有，所以，，，，是偶函数如图，给出了偶函数的局部图象，试比较与的大小函数奇偶性的图象特征思路点拨偶函数补全图象比较大小比较与的大小偶函数比较与的大小解方法函数是偶函数，其图象关于轴对称，补全图象如图由图象可知方法二由图象可知又函数是偶函数，互动探究只将本例中的“偶”改为“奇”呢解方法函数是奇函数，其图象关于原点对称，补全图象，如图由图象可知方法二由图象可知又函数是奇函数奇偶函数图象对称性的两大应用应用巧作函数图象奇函数图象关于原点对称偶函数图象关于轴对称根据以上奇偶函数图象对称性的特点可以解决已知奇偶函数在区间的部分图象，画出其关于原点或轴对称的另部分的图象问题应用二求函数最值单调性问题函数的奇偶性反映到图象上是图象的对称性，可以利用图象解决关于原点对称的区间上的函数值的有关问题，也可以解决关于原点对称的区间上的函数的单调性问题，同时可以简化解题过程若函数是定义在上的偶函数，在，上是减函数，且，则使得的的取值范围是,，，解析由于函数是定义在上的偶函数，所以它的图象关于轴对称又它在，上是减函数，所以可知该函数在，上为增函数根据这些特征及，可作出它的图象如图，观察图象可得，使成立的的取值范围是，，答案易错误区系列四判断函数的奇偶性时，因忽略定义域致误判断函数的奇偶性错解，，为偶函数正解函数的定义域为，不关于原点对称，故此函数既不是奇函数又不是偶函数纠错心得判断所给函数的奇偶性时，在求出函数的定义域以前，不能化简函数的解析式，否则会导致函数的定义域发生变化，得到错误结论成功破障判断函数，，的奇偶性解当时当时，当时，对定义域内的每个都有，因此是偶函数第章集合与函数概念奇偶性第课时函数奇偶性的概念了解函数奇偶性的含义难点掌握判断函数奇偶性的方法重点难点了解函数的奇偶性与函数图象的对称性之间的关系易混点函数奇偶性的概念偶函数的定义如果对于函数的定义域内的个，都有，那么称函数是偶函数奇函数的定义如果对于函数的定义域内的个，都有，那么称函数是奇函数任意任意奇偶函数图象特点奇函数的图象关于对称偶函数的图象关于对称原点轴想想判断函数的奇偶性为什么要判断定义域在轴上所示的区间是否关于原点对称呢提示由定义知，若是定义域内的个元素，也定是定义域内的个元素，所以函数具有奇偶性的个必不可少的条件是定义域在轴上所示的区间关于原点对称即如果所给函数的定义域在轴上所示的区间不是关于原点对称的，这个函数定不具有奇偶性例如函数在上是奇函数，但在,上既不是奇函数也不是偶函数有没有既是奇函数又是偶函数的函数提示有如，若奇函数在处有定义，则等于什么提示根据奇函数定义，有，故常数函数定是偶函数吗提示不定当定义域关于原点对称时才是，否则不是奇函数的图象定过原点吗提示不定，若在定义域内，则图象定过原点，否则不过原点函数的奇偶性与单调性的区别奇偶性是反映函数在定义域上的对称性，是相对于函数的整个定义域来说的，奇偶性是函数的“整体”性质单调性是反映函数在区间上的函数值的变化趋势，此区间是定义域的子集，因此单调性是函数的“局部”性质奇函数偶函数在处的定义若奇函数在原点处有意义，则由奇函数定义，可得，偶函数则不定奇函数偶函数的图象特征由奇偶函数的图象特征可知偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反，奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同函数奇偶性的判断判断下列函数的奇偶性思路点拨定义域是否关于原点对称是是奇偶函数否非奇非偶否非奇非偶解的定义域是，又，是奇函数的定义域是，又，是偶函数函数的定义域是，，，不关于原点对称，是非奇非偶函数函数根据奇偶性分为奇函数，偶函数，既奇又偶函数，非奇非偶函数用定义判断函数奇偶性的步骤为求函数的定义域判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下步结合函数的定义域，化简函数的解析式求根据与之间的关系，判断函数的奇偶性函数的奇偶性也可以用图象法判断，即若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数若函数图象关于轴对称，则函数为偶函数还可以用如下性质判断函数的奇偶性偶函数的和差积商分母不为零仍为偶函数奇函数的和差仍为奇函数奇偶数个奇函数的积商分母不为零为奇偶函数个奇函数与个偶函数的积为奇函数判断下列函数的奇偶性解函数定义域为，又是奇函数由，得，此时，,既是奇函数又是偶函数，，的定义域为,关于原点对称此时又，为奇函数分段函数奇偶性的判断已知函数，试判断的奇偶性思路点拨定义域是否关于原点对称逐段验证是否等于断定是否具有奇偶性解函数的定义域为，关于原点对称当称，则进行下步结合函数的定义域，化简函数的解析式求根据与之间的关系，判断函数的奇偶性函数的奇偶性也可以用图象法判断，即若函数的图象关于商分母不为零为奇偶函数个奇函数与个偶函数的积为奇函数判断下列函数的奇偶性解函数定义域为，又，的定义域为,关于原点对称此时又，为奇函数分段函数奇偶性的判断已知称当当时当时而是分段函数的奇偶性也可通过函数图象的对称性加以判断判断函数，，，，的奇偶性解的定义域为，，都有，所以，，，，是偶函数如图，给出了偶函数的局部图象，试比较与的大小函数又，为奇函数分段函数奇偶性的判断已知函数，试判断的奇偶性思路点拨定义当时当时，是上的奇函数对于分段函数奇偶性商分母不为零为奇偶函数个奇函数与个偶函数的积为奇函数判断下列函数的奇偶性解函数定义域为，又是奇函数由，得，此时，,既是奇函数又是偶函数，，的定义域为,关于原点对称此时又，为奇函数分段函数奇偶性的判断已知函数，试判断的奇偶性思路点拨定义域是否关于原点对称逐段验证是否等于断定是否具有奇偶性解函数的定义域为，关于原点对称当