1、线段的中点坐标为，由于平行四边形的对角线互相平分，思维点拨解析思维升华例设定点动点在圆上运动，以为两边作平行四边形，求点的轨迹题型三与圆有关的轨迹问题故，从而在圆上，故因此所求轨迹为圆，但应除去两点，和，点在直线上的情况思维点拨解析思维升华求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法直接法直接根据题目提供的条件列出方程定义法根据圆直线等定义列方程例设定点动点在圆上运动，以为两边作平行四边形，求点的轨迹题型三与圆有关的轨迹问题思维点拨解析思维升华几何法利用圆的几何性质列方程代入法找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等例设定点动点在圆上运动，以为两边作平行四边形，求点的轨迹题型三与圆有关的轨迹问题思维点拨解析思维升华跟踪训练课标全国Ⅰ已知点圆，过点的动直线。

2、思维点拨解析思维升华几何法利用圆的几何性质列方程代入法找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等例设定点思维点拨解析思维升华求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法直接法直接根据题目提供的条件列出方程定义法根据圆直线等定义列方程例设定点动点在圆上运动，以从而在圆上，故因此所求轨迹为圆，但应除去两点，和，点在直线上的情况，由于平行四边形的对角线互相平分，思维点拨解析思维升华例设定点动点在圆上运动，以为两边作平行四边形，求点的轨迹题型三与圆有关的轨迹问题故以为两边作平行四边形，求点的轨迹题型三与圆有关的轨迹问题解如图所示，设则线段的中点坐标为线段的中点坐标为代入法解决例设定点动点在圆上运动，以为两边作平行四边形，求点的轨迹题型三与圆有关的轨。

3、观求解否则可转化为函数求最值形如形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题形如形式的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题形如形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题跟踪训练已知两点点是圆上任意点，则面积的最大值与最小值分别是解析如图，圆心,到直线的距离为，故圆上的点到直线的距离的最大值是，最小值是，又，故面积的最大值和最小值分别是，答案，例设定点动点在圆上运动，以为两边作平行四边形，求点的轨迹思维点拨解析思维升华题型三与圆有关的轨迹问题结合图形寻求点和点坐标的关系，用相关点法代入法解决例设定点动点在圆上运动，以为两边作平行四边形，求点的轨迹题型三与圆有关的轨迹问题思维点拨解析思维升华例设定点动点在圆上运动，以为两边作平行四边形，求点的轨迹题型三与圆有关的轨迹问题解如图所示，设则线段的中点坐标为。

4、坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上，求圆的方程思想与方法系列利用几何性质巧设方程求半径本题可采用两种方法解答，即代数法和几何法思维点拨规范解答温馨提醒典例在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上，求圆的方程思想与方法系列利用几何用几何性质巧设方程求半径解般解法代数法曲线与轴的交点为与轴的交点为设圆的方程是，思维点拨规范解答温馨提醒典例在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上，求圆的方程思想与方法系列利用几何性质巧设方程求半径则有，，，解得，故圆的方程是思维点拨规范解答温馨提醒典例在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上，求圆的方程思想与方法系列利用几何性质巧设方程求半径几何法曲线与轴的交点为与轴的交点为，故可设的圆心为，为两边作平行四边形，求点的轨迹题型三与圆有关的轨迹问题。

5、值和最小值解如图，方程表示以点,为圆心，以为半径的圆设，即，则圆心,到直线的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大最小值题型二与圆有关的最值问题例已知实数满足方程求的最大值和最小值的最小值的最大值和最小值由，解得也可由平面几何知识，得，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为题型二与圆有关的最值问题例已知实数满足方程求的最大值和最小值的最小值的最大值和最小值设，则，仅当直线与圆切于第四象限时，截距取最小值，由点到直线的距离公式，得，即，故题型二与圆有关的最值问题例已知实数满足方程求的最大值和最小值的最小值的最大值和最小值是圆上点与原点的距离的平方，故连结，与圆交于点，并延长交圆于，则，题型二与圆有关的最值问题例已知实数满足方程求的最大值和最小值的最小值的最大值和最小值思维升华与圆相关的最值，若几何意义明显时，可充分利用几何性质，借助几何直。

6、圆交于，两点，线段的中点为，为坐标原点求的轨迹方程解圆的方程可化为，所以圆心为半径为设则,由题设知，故，即由于点在圆的内部，所以的轨迹方程是当时，求的方程及的面积解由可知的轨迹是以点,为圆心，为半径的圆由于，故在线段的垂直平分线上又在圆上，从而⊥因为的斜率为，所以的斜率为，故的方程为又，到的距离为所以的面积为典例在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上，求圆的方程思想与方法系列利用几何性质巧设方程求半径思维点拨规范解答温馨提醒典例在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上，求圆的方程思想与方法系列利用几何性质巧设方程求半径本题可采用两种方法解答，即代数法和几何法思维点拨规范解答温馨提醒典例在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上，求圆的方程思想与方法系列利用几何用几何性质巧设方程求半径解般解法代数法曲线与轴的交点。

7、问题思维点拨解析思维升华例设定点动点在圆上运动，答案，例设定点动点在圆上运动，以为两边作平行四边形，求点的轨迹思维点拨解析思维升华题型三与圆有关的轨迹问题结合图形寻求点和点坐标的关系，用相关点法解析如图，圆心,到直线的距离为，故圆上的点到直线的距离的最大值是，最小值是，又，故面积的最大值和最小值分别是形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题跟踪训练已知两点点是圆上任意点，则面积的最大值与最小值分别是可充分利用几何性质，借助几何直观求解否则可转化为函数求最值形如形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题形如形式的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题形如题型二与圆有关的最值问题例已知实数满足方程求的最大值和最小值的最小值的最大值和最小值思维升华与圆相关的最值，若几何意义明显时，和最小值的最小值的最大值和最小值是。

8、，为圆内弦的中点，则的方程为解析由题意可知圆心故，的方程为即已知点点是圆上任意点，则面积的最小值是解析圆的标准方程为直线的方程为，圆心,到直线的距离则点到直线的最短距离为又的最小值为答案点，与圆上任点连线的中点的轨迹方程是解析设圆上任点坐标为，连线中点坐标为则⇒代入中得若直线始终平分圆的周长，则的最小值为解析由题意知圆心,在直线上整理得，当且仅当，即，时，等号成立的最小值为答案江西若圆经过坐标原点和点且与直线相切，则圆的方程是解析如图，设圆心坐标为则解得圆的方程为若方程表示圆，则的取值范围是当半径最大时，圆的方程为解析原方程可化为，当时，最大为，圆的方程为已知圆关于直线成轴对称，则的取值范围是解析圆的方程可化为，其圆心为且，即又圆关于直线成轴对称，圆经过,两点，且。

9、圆上点与原点的距离的平方，故连结，与圆交于点，并延长交圆于，则，与圆切于第四象限时，截距取最小值，由点到直线的距离公式，得，即，故题型二与圆有关的最值问题例已知实数满足方程求的最大值的倾斜角为题型二与圆有关的最值问题例已知实数满足方程求的最大值和最小值的最小值的最大值和最小值设，则，仅当直线值和最小值的最小值的最大值和最小值由，解得也可由平面几何知识，得，直线的倾斜角为，直线,为圆心，以为半径的圆设，即，则圆心,到直线的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大最小值题型二与圆有关的最值问题例已知实数满足方程求的最大圆上点与原点距离的平方题型二与圆有关的最值问题例已知实数满足方程求的最大值和最小值的最小值的最大值和最小值解如图，方程表示以点圆上点与原点距离的平方题型二与圆有关的最值问题例已知实数满足方程求的最大值和最小值的最小值的最。

10、设圆的方程为般式，代入点的坐标求解析式思维点拨规范解答温馨提醒典例在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上，求圆的方程思想与方法系列利用几何性质巧设方程求半径巧妙解法几何法利用圆的性质，知道圆心定在圆上两点连线的垂直平分线上，从而设圆的方程为标准式，简化计算显然几何法比代数法的计算量小，因此平时训练多采用几何法解题思维点拨规范解答温馨提醒方法与技巧“选形式定参数”是求圆的方程的基本方法，是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算失误与防范求圆的方程需要三个条件，所以不论是设哪种圆的方程都要列出系数的三个方程过圆外定点，求圆的切线，应该有两个结果，若只求出个结果，应该考虑切线斜率不存在的情况设圆的方程是，若，即，所以原点在圆外原点在圆外点。

11、两坐标轴上的四个截距的和为，求此圆的方程解设所求圆的方程为令，得，所以令，得，所以由题意知，即又因为圆过点，所以解组成的方程组得故所求圆的方程为已知圆和直线相切于点且经过点求圆的方程解因为圆和直线相切于点所以过点，的直径所在直线的斜率为，其方程为，即又因为圆心在以,两点为端点的线段的中垂线，即上，由，解得圆心坐标为所以半径为，故所求圆的方程为过点,的直线，将圆形区域，分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为解析当圆心与的连线和过点的直线垂直时，符合条件圆心与点连线的斜率，过点垂直于的直线方程为山东圆心在直线上的圆与轴的正半轴相切，圆截轴所得弦的长为，则圆的标准方程为解析设圆的圆心为，由题意得，且，解得，所求圆的标准方程为设为直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为则四边形的面积的最小值为解析依题。

12、为与轴的交点为设圆的方程是，思维点拨规范解答温馨提醒典例在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上，求圆的方程思想与方法系列利用几何性质巧设方程求半径则有，，，解得，故圆的方程是思维点拨规范解答温馨提醒典例在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上，求圆的方程思想与方法系列利用几何性质巧设方程求半径几何法曲线与轴的交点为与轴的交点为，故可设的圆心为则有，巧妙解法思维点拨规范解答温馨提醒典例在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上，求圆的方程思想与方法系列利用几何性质巧设方程求半径解得则圆的半径为，所以圆的方程为思维点拨规范解答温馨提醒典例在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上，求圆的方程思想与方法系列利用几何性质巧设方程求半径般解法代数法可以求出曲线与坐标轴的三个交点。

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