共个，同理按从大到小顺序也有个，故这样的等比数列的个数为个小明有枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面他想把个硬币摆成摞，且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对，不同的摆法有种解析记反面为，正面为则正反依次相对有,两种有两枚反面相对有三种共种摆法集合，其中，，„且⊆把满足上述条件的对有序整数对，作为个点的坐标，则这样的点的个数是解析当时，，点的个数为当时点的个数为，则共有个点四川改编从这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为共可得到的不同值的个数是解析由于，从中任取两个作为有种，又与相同，与相同，的不同值的个数为从这六个数字中任选个不重复的数字作为二次函数的系数，则可以组成顶点在第象限且过原点的抛物线条数为解析分三步第步只有种方法染色方法种数为例如图所示，将个四棱锥的每个顶点染上种颜色，并使同条棱上的两端异色，如果只有种颜色可供使用，求不同的染色方法种数题型三两个原理的综合应用思维点拨解析思维升华应使同条棱上的两端异色，如果只有种颜色可供使用，求不同的染色方法种数题型三两个原理的综合应用思维点拨解析思维升华第三类，只用种颜色，则与与必定同色，共有种不同的方法由分类计数原理，得不同的法三按所用颜色种数分类第类，种颜色全用，共有种不同的方法第二类，只用种颜色，则必有两个顶点同色与，或与，共有种不同的方法例如图所示，将个四棱锥的每个顶点染上种颜色，并颜色，并使同条棱上的两端异色，如果只有种颜色可供使用，求不同的染色方法种数题型三两个原理的综合应用方法由分步分类计数原理得不同的染色方法共有种思维点拨解析思维升华方示，将个四棱锥的每个顶点染上种颜色，并使同条棱上的两端异色，如果只有种颜色可供使用，求不同的染色方法种数题型三两个原理的综合应用思维点拨解析思维升华例如图所示，将个四棱锥的每个顶点染上种染色，也有种方法，但考虑到点与相邻，需要针对与是否同色进行分类，当与同色时，点有种染色方法当与不同色时，因为与也不同色，所以点有种染色方法，点也有种染色例如图所在同条棱上，有种方法例如图所示，将个四棱锥的每个顶点染上种颜色，并使同条棱上的两端异色，如果只有种颜色可供使用，求不同的染色方法种数题型三两个原理的综合应用思维点拨解析思维升华第四步，点的染色方法种数题型三两个原理的综合应用思维点拨解析思维升华方法二以顺序分步染色第步，点染色，有种方法第二步，点染色，与在同条棱上，有种方法第三步，点染色，与分别可染或，有种染法可见，当已染好时，还有种染法，故不同的染色方法有种例如图所示，将个四棱锥的每个顶点染上种颜色，并使同条棱上的两端异色，如果只有种颜色可供使用，求不同只有种颜色可供使用，求不同的染色方法种数题型三两个原理的综合应用思维点拨解析思维升华当染好时，不妨设其颜色分别为，若染，则可染或或，有种染法若染，则可染或，有种染法若染，则用分步计数原理即可得出结论由题设，四棱锥的顶点所染的颜色互不相同，它们共有种染色方法例如图所示，将个四棱锥的每个顶点染上种颜色，并使同条棱上的两端异色，如果使同条棱上的两端异色，如果只有种颜色可供使用，求不同的染色方法种数题型三两个原理的综合应用思维点拨解析思维升华解方法可分为两大步进行，先将四棱锥侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，果只有种颜色可供使用，求不同的染色方法种数题型三两个原理的综合应用染色问题是常见的计数应用问题，可从选颜色选顶点进行分类分步，从不同角度解决问题例如图所示，将个四棱锥的每个顶点染上种颜色，并有种情况，的取值均有种情况，因此可以表示个图象开口向上的二次函数思维点拨解析思维升华例如图所示，将个四棱锥的每个顶点染上种颜色，并使同条棱上的两端异色，如的取值有种情况，的取值有种情况，因此可以表示个不同的二次函数可以表示多少个图象开口向上的二次函数解的图象开口向上时，的取值同学都能参加每项限报人，但每人参加的项目不限思维升华解析跟踪训练已知集合若，则可以表示多少个不同的二次函数解的取值有种情况，步骤都完成了，才算完成这件事分步必须满足两个条件是步骤互相，互不干扰二是步与步确保连续，逐步完成例有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法不定六名同步骤都完成了，才算完成这件事分步必须满足两个条件是步骤互相，互不干扰二是步与步确保连续，逐步完成例有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法不定六名同学都能参加每项限报人，但每人参加的项目不限思维升华解析跟踪训练已知集合若，则可以表示多少个不同的二次函数解的取值有种情况，的取值有种情况，的取值有种情况，因此可以表示个不同的二次函数可以表示多少个图象开口向上的二次函数解的图象开口向上时，的取值有种情况，的取值均有种情况，因此可以表示个图象开口向上的二次函数思维点拨解析思维升华例如图所示，将个四棱锥的每个顶点染上种颜色，并使同条棱上的两端异色，如果只有种颜色可供使用，求不同的染色方法种数题型三两个原理的综合应用染色问题是常见的计数应用问题，可从选颜色选顶点进行分类分步，从不同角度解决问题例如图所示，将个四棱锥的每个顶点染上种颜色，并使同条棱上的两端异色，如果只有种颜色可供使用，求不同的染色方法种数题型三两个原理的综合应用思维点拨解析思维升华解方法可分为两大步进行，先将四棱锥侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步计数原理即可得出结论由题设，四棱锥的顶点所染的颜色互不相同，它们共有种染色方法例如图所示，将个四棱锥的每个顶点染上种颜色，并使同条棱上的两端异色，如果只有种颜色可供使用，求不同的染色方法种数题型三两个原理的综合应用思维点拨解析思维升华当染好时，不妨设其颜色分别为，若染，则可染或或，有种染法若染，则可染或，有种染法若染，则可染或，有种染法可见，当已染好时，还有种染法，故不同的染色方法有种例如图所示，将个四棱锥的每个顶点染上种颜色，并使同条棱上的两端异色，如果只有种颜色可供使用，求不同的染色方法种数题型三两个原理的综合应用思维点拨解析思维升华方法二以顺序分步染色第步，点染色，有种方法第二步，点染色，与在同条棱上，有种方法第三步，点染色，与分别在同条棱上，有种方法例如图所示，将个四棱锥的每个顶点染上种颜色，并使同条棱上的两端异色，如果只有种颜色可供使用，求不同的染色方法种数题型三两个原理的综合应用思维点拨解析思维升华第四步，点染色，也有种方法，但考虑到点与相邻，需要针对与是否同色进行分类，当与同色时，点有种染色方法当与不同色时，因为与也不同色，所以点有种染色方法，点也有种染色例如图所示，将个四棱锥的每个顶点染上种颜色，并使同条棱上的两端异色，如果只有种颜色可供使用，求不同的染色方法种数题型三两个原理的综合应用思维点拨解析思维升华例如图所示，将个四棱锥的每个顶点染上种颜色，并使同条棱上的两端异色，如果只有种颜色可供使用，求不同的染色方法种数题型三两个原理的综合应用方法由分步分类计数原理得不同的染色方法共有种思维点拨解析思维升华方法三按所用颜色种数分类第类，种颜色全用，共有种不同的方法第二类，只用种颜色，则必有两个顶点同色与，或与，共有种不同的方法例如图所示，将个四棱锥的每个顶点染上种颜色，并使同条棱上的两端异色，如果只有种颜色可供使用，求不同的染色方法种数题型三两个原理的综合应用思维点拨解析思维升华第三类，只用种颜色，则与与必定同色，共有种不同的方法由分类计数原理，得不同的染色方法种数为例如图所示，将个四棱锥的每个顶点染上种颜色，并使同条棱上的两端异色，如果只有种颜色可供使用，求不同的染色方法种数题型三两个原理的综合应用思维点拨解析思维升华应用两个计数原理的难点在于明确分类还是分步分类要做到“不重不漏”，正确把握分类标准是关键分步要做到“步骤完整”，步步相连能将事件完成较复杂的问题可借助图表完成例如图所示，将个四棱锥的每个顶点染上种颜色，并使同条棱上的两端异色，如果只有种颜色可供使用，求不同的染色方法种数题型三两个原理的综合应用思维点拨解析思维升华跟踪训练如图，正五边形中，若把顶点染上红黄绿三种颜色中的种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法共有种解析由题意知本题需要分类来解答，首先选取种颜色，有种情况如果的两个相邻点颜色相同，有种情况这时最后两个点也有种情况跟踪训练如图，正五边形中，若把顶点染上红黄绿三种颜色中的种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法共有种如果的两个相邻点颜色不同，有种情况这时最后两个点有种情况方法共有种典例把封信投到个信箱，所有可能的投法共有种易错分析解析温馨提醒易错警示系列对两个基本原理认识不清致误解决计数问题的基本策略是合理分类和分步，然后应用分类原理和分步原理来计算解决本题易出现的问题是完成件事情的标准不清楚导致计算出现错误，对于，选择的标准不同，误认为每个信箱有三种选择，所以可能的投法有种，没有注意到封信只能投在个信箱中易错分析解析温馨提醒典例把封信投到个信箱，所有可能的投法共有种易错警示系列对两个基本原理认识不清致误第封信投到信箱中有种投法第封信投到信箱中也有种投法第封信投到信箱中也有种投法只要把这封信投完，就做完了这件事情，由分步计数原理可得共有种方法易错分析解析温馨提醒典例把封信投到个信箱，所有可能的投法共有种易温馨提醒对于，易混淆“类”与“步”，误认为到达乙地先坐火车后坐轮船，使用分步原理计算人从甲地到乙地，可以乘火车，也可以坐轮船，在这天的不同时间里，火车有趟，轮船有次，问此人的走法可有种易错分析解析温馨提醒因为人从甲地到乙地，乘火车的走法有种，坐轮船的走法有种，每种方法都能从甲地到乙地，根据分类计数原理，可得此人的走法可有种人从甲地到乙地，可以乘火车，也可以坐轮船，在这天的不同时间里，火车有趟，轮船有次，问此人的走法可有种易错分析解析温馨提醒在处理具体的应用问题时，首先必须弄清楚“分类”与“分步”的具体标准是什么选择合理的标准处理事情，可以避免计数的重复或遗漏人从甲地到乙地，可以乘火车，也可以坐轮船，在这天的不同时间里，火车有趟，轮船有次，问此人的走法可有种易错分析解析温馨提醒方法与技巧分类和分步计数原理，区别在于分类计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互，用其中任何种方法都可以做完这件事分步计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事分类标准要明确，做到不重复不遗漏混合问题般是先分类再分步要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观清楚，便于探索规律失误与防范切实理解“完成件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行分类的关键在于要做到“不重不漏”，分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步确定题目中是否有特殊条件限制从集合，„，中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样