成立，那么时，即时猜想也成立由可知，对任意自然数，猜想结论均成立规律方法数学归纳法在数列中的应用，般是先用不完全归纳法猜想出结论，再用数学归纳法证明►变式训练已知数列中，为常数，是的前项和，且是与的等差中项求猜想的表达式，并用数学归纳法加以证明证明由已知当时所以，即当时所以有，由，猜想证明当时，左边右边，等式成立当时知等式也成立假设时，等式成立，即那么当时当时将可知，个圆把平面分成个部分规律方法用数学归纳法证明几何问题的类型及证法在几何问题中，常有与有关的几何证明，其中有交点个数直线条数内角和划分区域等问题这些问题可用数学归把它所在的原有平面分成个部分因此，这是平面被分割的总数在原来的基础上又增加了部分，即有即当时，也成立根据，因此，命题成立假设，时命题成立，即个圆把平面分成个部分如果增加个满足条件的任个圆，则这个圆必与前个圆相交于个点这个点把圆分成段弧，每段弧出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何命题的大技巧►变式训练用数学归纳法证明凸边形的对角线有条证明当时，个圆把平面分成两个部分，而些问题时，关键是“找项”，即儿何元素从个变成个时，所证的几何量将增加多少，这需用到几何知识或借助于几何图形来分析，在实在分析不出来的情况下，将和分别代入所证的式子，然后作差，即可求个部分规律方法用数学归纳法证明几何问题的类型及证法在几何问题中，常有与有关的几何证明，其中有交点个数直线条数内角和划分区域等问题这些问题可用数学归纳法证明利用数学归纳法证明这，这是平面被分割的总数在原来的基础上又增加了部分，即有即当时，也成立根据可知，个圆把平面分成，时命题成立，即个圆把平面分成个部分如果增加个满足条件的任个圆，则这个圆必与前个圆相交于个点这个点把圆分成段弧，每段弧把它所在的原有平面分成个部分因此个圆与前个圆相交，被分成多少段弧，进而说明增加了多少个区域，从而建立起与之间的递推关系证明当时，个圆把平面分成两个部分，而，因此，命题成立假设于两点，并且三个圆都不相交于同点求证这个圆把平面分成个部分分析证明第二步时，通常需要借助于图形的直观性，说清楚在满足条件的个圆的基础上，增加了个圆第个圆后，第，而是偶数，能被整除所以时，能被整除由知，对命题都成立题型四用数学归纳法证明几何问题平面上有个圆，其中每两个圆都相交能被整除证明当时，能被整除假设，时，能被整除，当时，显然，上式能被整除，即时，命题亦成立►变式训练求证为多项式，所以故当时，为了凑出归纳假设，采用了“加零分项”技巧另外，在推证时，还可以用整除的定义，将归纳假设表示出来，假设时成立，能被整除，则由归纳假设，上式中的两项均能被整除，故时命题成立由知，对，命题成立规律方法在推证时时，能被整除，则当时时，能被整除，则当时由归纳假设，上式中的两项均能被整除，故时命题成立由知，对，命题成立规律方法在推证时，为了凑出归纳假设，采用了“加零分项”技巧另外，在推证时，还可以用整除的定义，将归纳假设表示出来，假设时成立，能被整除，则为多项式，所以故当时，显然，上式能被整除，即时，命题亦成立►变式训练求证能被整除证明当时，能被整除假设，时，能被整除，当时而是偶数，能被整除所以时，能被整除由知，对命题都成立题型四用数学归纳法证明几何问题平面上有个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且三个圆都不相交于同点求证这个圆把平面分成个部分分析证明第二步时，通常需要借助于图形的直观性，说清楚在满足条件的个圆的基础上，增加了个圆第个圆后，第个圆与前个圆相交，被分成多少段弧，进而说明增加了多少个区域，从而建立起与之间的递推关系证明当时，个圆把平面分成两个部分，而，因此，命题成立假设，时命题成立，即个圆把平面分成个部分如果增加个满足条件的任个圆，则这个圆必与前个圆相交于个点这个点把圆分成段弧，每段弧把它所在的原有平面分成个部分因此，这是平面被分割的总数在原来的基础上又增加了部分，即有即当时，也成立根据可知，个圆把平面分成个部分规律方法用数学归纳法证明几何问题的类型及证法在几何问题中，常有与有关的几何证明，其中有交点个数直线条数内角和划分区域等问题这些问题可用数学归纳法证明利用数学归纳法证明这些问题时，关键是“找项”，即儿何元素从个变成个时，所证的几何量将增加多少，这需用到几何知识或借助于几何图形来分析，在实在分析不出来的情况下，将和分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何命题的大技巧►变式训练用数学归纳法证明凸边形的对角线有条证明当时，个圆把平面分成两个部分，而，因此，命题成立假设，时命题成立，即个圆把平面分成个部分如果增加个满足条件的任个圆，则这个圆必与前个圆相交于个点这个点把圆分成段弧，每段弧把它所在的原有平面分成个部分因此，这是平面被分割的总数在原来的基础上又增加了部分，即有即当时，也成立根据可知，个圆把平面分成个部分规律方法用数学归纳法证明几何问题的类型及证法在几何问题中，常有与有关的几何证明，其中有交点个数直线条数内角和划分区域等问题这些问题可用数学归纳法证明利用数学归纳法证明这些问题时，关键是“找项”，即儿何元素从个变成个时，所证的几何量将增加多少，这需用到几何知识或借助于几何图形来分析，在实在分析不出来的情况下，将和分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何命题的大技巧►变式训练用数学归纳法证明凸边形的对角线有条证明当时这就说明三角形没有对角线，故结论正确假设当，时结论正确，即凸边形的对角线有条，则当时，凸边形„的对角线条数由以下三部分的条数相加而得由归纳假设知，凸边形„的对角线条数为对角线是条而顶点与另外个顶点，„可画出条对角线，所以凸边形的对角线的条数是，所以当时结论也正确，由和知，对从起的所有自然数命题均成立题型五数学归纳法在数列中的应用已知数列中其前项和满足且，计算猜想的表达式，并用数学归纳法加以证明解析当时，则有，由此猜想用数学归纳法证明当时猜想成立假设时猜想成立，即成立，那么时，即时猜想也成立由可知，对任意自然数，猜想结论均成立规律方法数学归纳法在数列中的应用，般是先用不完全归纳法猜想出结论，再用数学归纳法证明►变式训练已知数列中，为常数，是的前项和，且是与的等差中项求猜想的表达式，并用数学归纳法加以证明证明由已知当时所以，即当时所以有，由，猜想证明当时，左边右边，等式成立当时知等式也成立假设时，等式成立，即那么当时当时将代入，得，当时，等式也成立由可知，对任何正整数，等式都成立析疑难提能力未应用归纳假设而致误典例证明„证明当时，左边，右边，等式成立，假设当，且时，等式成立，有„那么当时，左边„右边这就是说，当时，等式也成立根据和，可知等式对任何都成立易错剖析本题证明的第二步很容易出错，具体表现在直接使用等比数列求和公式求出了当时，式子„的和，而没有利用“归纳假设”，这是在用数学归纳法证题时极易犯的错误数学归纳法研题型学方法题型用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明„分析按数学归纳法的解题步骤进行证明，要清楚等式两边的结构，特别当时，等式两边分别是什么当到等式两边发生了什么变化，这是解题的关键证明当时，左边，右边，等式成立假设时，等式成立，即„，那么当时，有„即时等式也成立综上，由与可知，对切，等式成立规律方法用数学归纳法证明与自然数有关的些等式命题关键在于“先看项”，弄清等式两边的结构规律，等式的两边各有多少项，项的多少与的取值是否有关系由到时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项►变式训练用数学归纳法证明„其中证明当时，左边，右边，左边右边，等式成立假设当，时等式成立，即„，那么，当时„，即当时等式也成立根据和，可知等式对任何都成立题型二用数学归纳法证明不等式用数学归纳法证明„分析利用数学归纳法，到时增加的项有„证明当时，左边，右边，左边右边，不等式成立假设当时，不等式成立，即„，则当时，有„„„，所以，当时不等式成立由和知，对于任意大于的正整数，不等式均成立规律方法用数学归纳法证明不等式的有关技巧证明不等式的第二步中，从到的推导过程中要应用归纳假设，有时需要对目标进行适当的放缩来实现在应用归纳假设证明时，在证明过程中，方向不明确时，可采用分析法完成，经过分析找到推证的方向后，再用综合法比较法等其他方法证明►变式训练设，且，证明„证明当时，左边右边，不等式成立假设当时不等式成立，即„那么当时，左边„右边所以当时，不等式成立由可知原不等式成立题型三用数学归纳法证明整除问题求证能被整除分析对于多项式如果，也是多项式，那么能被整除证明当时，命题显然成立设，时，能被整除，则当时由归纳假设，上式中的两项均能被整除，故时命题成立由知，对，命题成立规律方法在推证时，为了凑出归纳假设，采用了“加零分项”技巧另外，在推证时，还可以用整除的定义，将归纳假设表示出来，假设时成立，能被整除，则为多项式，所以故当时，显然，上式能被整除，即时，命题亦成立►变式训练求证由归纳假设，上式中的两项均能被整除，故时命题成立由知，对，命题成立规律方法在推证时，为多项式，所以故当时能被整除证明当时，能被整除假设，时，能被整除，当时，于两点，并且三个圆都不相交于同点求证这个圆把平面分成个部分分析证明第二步时，通常需要借助于图形的直观性，说清楚在满足条件的个圆的基础上，增加了个圆第个圆后，第，时命题成立，即个圆把平面分成个部分如果增加个满足条件的任个圆，则这个圆必与前个圆相交于个点这个点把圆分成段弧，每段弧把它所在的原有平面分成个部分因此个部分规律方法用数学归纳法证明几何问题的类型及证法在几何问题中，常有与有关的几何证明，其中有交点个数直线条数内角和划分区域等问题这些问题可用数学归纳法证明利用数学归纳法证明这出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何命题的大技巧►变式训练用数学归纳法证明凸边形的对角线有条证明当时，个圆把平面分成两个部分，而把它所在的原有平面分成个部分因此，这是平面被分割的总数在原来的基础上又增加了部分，即有即当时，也成立根据成立，那么时，即时猜想也成立由可知，对任意自然数，猜想结论均成立规律方法数学归纳法在数列中的应用，般是先用不完全归纳法猜想出结论，再用数学归纳法证明►变式训练已知数列中，为常数，是的前项和，且是与的等差中项求猜想的表达式，并用数学归纳法加以证明证明由已知当时所以，即当时所以有，由，猜想证明当时，左边右边，等式成立当时知等式也成立假设时，等式成立，即那么当时当时将