1、即,即解得,三双曲线的垂直和对称问题已知直线与双曲线相交于两点是否存在这样的实数,使关于对称若存在，求若不存在，说明理由练习题三双曲线的对称问题典型例题例已知双曲线方程过点,作直线交双曲线于,两点,若线段的中点在直线上,求直线斜率的取值范围,过点,作斜率为直线,交双曲线于,两点,若线段的中点在直线上,求的取值范围四双曲线的范围问题解设直线的方程为,由得,解得的中点在直线上典型例题四双曲线的范围问题,解设直线的方程为直线与双曲线交于,的中点典型例题二双曲线的弦中点问题练习题已知双曲线与点,求过。

2、中点在直线上典型点,若线段的中点在直线上,求直线斜率的取值范围,过点,作斜率为直线,交双曲线于,两点,若线段的中点在直线上,求的取值范围四双曲线的范围问题解设直线的是否存在这样的实数,使关于对称若存在，求若不存在，说明理由练习题三双曲线的对称问题典型例题例已知双曲线方程过点,作直线交双曲线于,两解得,三双曲线的垂直和对称问题已知直线与双曲线相交于两点,又设方程的两根为得,它有两个实根，必须,原点，在以为直径的圆上，⊥，即,即，例直线和曲线相交，交点为，当为何值时，以为直径的圆经过坐标原点。,典型例题同步导学页题垂直与对称问题解将代入,双曲线的对称问题解将代入又设方程的两根为得,它有两个实根，必须,原点，在以为直径的圆上即。

3、,解当时显然不成立,当时设双曲线上关于直线对称的两点为,由,可设直线的方程为,将代入中得,显然,即典型例题三双曲线的对称问题,又由根与系数的关系,得的中点的坐标为,在直线上,即把代入得解得或或,即或且的取值范围是典型例题三双曲线的对称问题解将代入又设方程的两根为得,它有两个实根，必须,原点，在以为直径的圆上，例直线和曲线相交，交点为，当为何值时，以为直径的圆经过坐标原点。,典型例题同步导学页题垂直与对称问题解将代入又设方程的两根为得,它有两个实根，必须,原点，在以为直径的圆上，⊥。

4、两条三条两条零条交点的个直线，。练习直线与双曲线的位置关系双曲线的左焦点为,点为左支下半支上任意点异于顶点,则直线的斜率的变化范围是练习直线与双曲线的位置关系过原点与双曲线交于两点的直线斜率的取值范围是练习直线与双曲线的位置关系例以，为中点作双曲线为的条弦，求直线的方程。典型例题解法当过点的直线和轴垂直时，直线被双曲线截得的弦的中点不是点。当过点的直线和轴不垂直时，设其斜率为。则直线的方程为由,得二双曲线的弦中点问题,设则是方程的两个不等实根弦的中点是中点坐标公式与韦达定理,得由得方程为,由得,解得的。

5、二双曲线的弦中点问题,与相交于两点,与渐近线相交于两点可见,的中点横坐标都相同,从而中点重合若直线的斜率不存在,由对称性知结论亦成立证明若有斜率，设的方程为典型例题二双曲线的弦中点问题练习题已知双曲线与点,求过点,的直线的斜率的取值范围,使与有个交点两个交点没有交点是否存在过的弦,使的中点为若试判断以点为中点的弦是否存在或存在直线不存在练习题二双曲线的弦中点问题经检验此直线与双曲线不相交,不合题意因此中点弦不存在典型例题解读页例题例双曲线的离心率为,且,其中,求双曲线的方程若双曲线存在关于直线的对称点,求实数的取值范围双曲线的方程为三双曲线的对称问题。

6、点,的直线的斜率的取值范围,使与有个交点两个交点没有交点是否存在过的弦,使的中点为若试判断以点为中点的弦是否存在或存在直线不存在练习题二双曲线的弦中点问题经检验此直线与双曲线不相交,不合题意因此中点弦不存在典型例题解读页例题例双曲线的离心率为,且,其中,求双曲线的方程若双曲线存在关于直线的对称点,求实数的取值范围双曲线的方程为三双曲线的对称问题,解当时显然不成立,当时设双曲线上关于直线对称的两点为,由,可设直线的方程为,将代入中得,显然,即典型例题三双曲线的对称问题,又由根与系数的关系,得的中点的坐标为,在直线上,即。

7、把代入得解得或或,即或且的取值范围是典型例题三即典型例题三双曲线的对称问题,又由根与系数的关系,得的中点的坐标为,在直线上,于直线对称的两点为,由,可设直线的方程为,将代入中得,显然,,其中,求双曲线的方程若双曲线存在关于直线的对称点,求实数的取值范围双曲线的方程为三双曲线的对称问题,解当时显然不成立,当时设双曲线上关此直线与双曲线不相交,不合题意因此中点弦不存在典型例题解读页例题例双曲线的离心率为,且个交点两个交点没有交点是否存在过的弦,使的中点为若试判断以。

8、轴上的截距为若存在,求出的值若不存在,说明理由不存在四双曲线的范围问题练习四双曲线的范围问题设双曲线与直线相交于两个不同的点。求双曲线的离心率的取值范围。设直线与轴的交点为，且求的值。,练习解读页题四双曲线的范围问题,所以由得消去所以直线与双曲线位置的判定方法有几何法和代数法中点弦问题可通过设出直线与双曲线的交点坐标，利用点在曲线上代点作差后结合韦达定理整体运算，使问题获解，但须注意检验直线与双曲线是否相交。涉及双曲线的参数范围问题，求解的办法是利用问题的存在性，如直线与双曲线相交时或是运用判别式大于零列不等式求解。小结拓展延伸,已知为双曲线右支上的点,分别为左右焦点，若，试求点的坐标。已知双曲线左右焦点分别为，双曲线左支上的点到左准线的距离为，且,成等比数列，。

9、点为中点的弦是否存在或存在直线不存在练习题二双曲线的弦中点问题经检验典型例题二双曲线的弦中点问题练习题已知双曲线与点,求过点,的直线的斜率的取值范围,使与有,与渐近线相交于两点可见,的中点横坐标都相同,从而中点重合若直线的斜率不存在,由对称性知结论亦成立证明若有斜率，设的方程为设则由得典型例题二双曲线的弦中点问题,与相交于两点直线的方程为典型例题二双曲线的弦中点问题例设两动点分别在双曲线的两条渐近线上滑动，且，求线段的中点的轨迹方程,直线的方程为典型例题二双曲线的弦中点问题例设两动点分别在双曲线的两条渐近线上滑动，且，求线段的中点的轨迹方程设则由得典型例题。

10、于,两点,若线段的中点在直线上,求的取值范围四双曲线的范围问题解设直线的方程为,由得,解得的中点在直线上典型例题四双曲线的范围问题,解设直线的方程为直线与双曲线交于,的中点则并把代入得即因关于的方程应有两个解,故或典型例题四双曲线的范围问题例过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线，若直线与双曲线右支有且只有个交点，求双曲线离心率的取值范围,，由,得典型例题四双曲线的范围问题练习参考解读页题直线和双曲线的左支交于,两点,直线过点,和线段的中点求的取值范围是否存在值,使在。

11、试求点的坐标椭圆与直线的位置关系及判断方法判断方法∆联立方程组消去个未知数复习相离相切相交直线与双曲线位置关系初步感知分类相离相切相交。根据交点个数判定相离个交点相交个交点相交两个交点相切个交点图象法把直线方程代入双曲线方程得到元次方程得到元二次方程直线与双曲线的渐近线平行相交个交点计算判别式相交相切相离代数法判断直线与双曲线位置关系的操作流程图消去，得二次项系数为时，与双曲线的渐近线平行或重合。重合无交点平行有个交点。二次项系数不为时,上式为元二次方程直线与双曲线相交两个交点直线与双曲线相切直线与双曲线相离判断直线与双曲线位置关系的具体步骤代数法相切点相离相交两点同侧异侧点直线与渐近线平行典型例题特别注意解不定相切，相交不定两解，两解不定同支直线与双曲线的位置关系例如果直线与双曲线没有公共点，求的取值范围。。

12、把代入得解得或或,即或且的取值范围是典型例题三双曲线的对称问题解将代入又设方程的两根为得,它有两个实根，必须,原点，在以为直径的圆上，例直线和曲线相交，交点为，当为何值时，以为直径的圆经过坐标原点。,典型例题同步导学页题垂直与对称问题解将代入又设方程的两根为得,它有两个实根，必须,原点，在以为直径的圆上，⊥，即,即解得,三双曲线的垂直和对称问题已知直线与双曲线相交于两点是否存在这样的实数,使关于对称若存在，求若不存在，说明理由练习题三双曲线的对称问题典型例题例已知双曲线方程过点,作直线交双曲线于,两点,若线段的中点在直线上,求直线斜率的取值范围,过点,作斜率为直线,交双曲线。

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