焦点，构成的称为焦点三角形解关此从而椭圆方程为►变式训练栏目链接由于点在椭圆上，所以，又，所以又，所以由余弦定理得点分别是且求椭圆的方程设点在这个椭圆上，且，求的余弦值解析依题意知，又，且，所以，即所以因及余弦定理求出，而无需单独求出和，这样可以减少运算量栏目链接已知椭圆的焦解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义三角形中的正弦定理和余弦定理等知识对于求焦点三角形的面积，若已知，可利用把看成个整体，运用公式，所以，所以栏目链接规律方法椭圆上点与椭圆的两焦点，构成的称为焦点三角形所示，由，得又在中，所以点的轨迹是圆当时，点的轨迹是焦点在轴上的椭圆题型三焦点三角形问题栏目链接例德州高二检测若，是椭圆的两个焦点，为椭圆上点，且，求的面积解析如图接►变式训练若将例“点在上，并且”改为“点在直线上，并且”，则点的轨迹是什么解析当时，点的轨迹是焦点在轴上的椭圆当时即所以因此从而椭圆方程为►变式训练栏目链接由于点在椭圆规律方法本题求轨迹方程的方法是代入法，将动点的坐标，利用相关点转移到已知曲线上，从而得出动点轨迹方程栏目链的焦点分别是且求椭圆的方程设点在这个椭圆上，且，求的余弦值解析依题意知，又，且，所以体，运用公式及余弦定理求出，而无需单独求出和，这样可以减少运算量栏目链接已知椭圆称为焦点三角形解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义三角形中的正弦定理和余弦定理等知识对于求焦点三角形的面积，若已知，可利用把看成个整以，所以，所以栏目链接规律方法椭圆上点与椭圆的两焦点，构成的的面积解析如图所示，由，得又在中，所上的椭圆当时，点的轨迹是圆当时，点的轨迹是焦点在轴上的椭圆题型三焦点三角形问题栏目链接例德州高二检测若，是椭圆的两个焦点，为椭圆上点，且，求出动点轨迹方程栏目链接►变式训练若将例“点在上，并且”改为“点在直线上，并且”，则点的轨迹是什么解析当时，点的轨迹是焦点在轴，在圆上，所以将，代入，得，即所以点的轨迹是个椭圆规律方法本题求轨迹方程的方法是代入法，将动点的坐标，利用相关点转移到已知曲线上，从而得出，在圆上，所以将，代入，得，即所以点的轨迹是个椭圆规律方法本题求轨迹方程的方法是代入法，将动点的坐标，利用相关点转移到已知曲线上，从而得出动点轨迹方程栏目链接►变式训练若将例“点在上，并且”改为“点在直线上，并且”，则点的轨迹是什么解析当时，点的轨迹是焦点在轴上的椭圆当时，点的轨迹是圆当时，点的轨迹是焦点在轴上的椭圆题型三焦点三角形问题栏目链接例德州高二检测若，是椭圆的两个焦点，为椭圆上点，且，求的面积解析如图所示，由，得又在中，所以，所以，所以栏目链接规律方法椭圆上点与椭圆的两焦点，构成的称为焦点三角形解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义三角形中的正弦定理和余弦定理等知识对于求焦点三角形的面积，若已知，可利用把看成个整体，运用公式及余弦定理求出，而无需单独求出和，这样可以减少运算量栏目链接已知椭圆的焦点分别是且求椭圆的方程设点在这个椭圆上，且，求的余弦值解析依题意知，又，且，所以，即所以因此从而椭圆方程为►变式训练栏目链接由于点在椭圆规律方法本题求轨迹方程的方法是代入法，将动点的坐标，利用相关点转移到已知曲线上，从而得出动点轨迹方程栏目链接►变式训练若将例“点在上，并且”改为“点在直线上，并且”，则点的轨迹是什么解析当时，点的轨迹是焦点在轴上的椭圆当时，点的轨迹是圆当时，点的轨迹是焦点在轴上的椭圆题型三焦点三角形问题栏目链接例德州高二检测若，是椭圆的两个焦点，为椭圆上点，且，求的面积解析如图所示，由，得又在中，所以，所以，所以栏目链接规律方法椭圆上点与椭圆的两焦点，构成的称为焦点三角形解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义三角形中的正弦定理和余弦定理等知识对于求焦点三角形的面积，若已知，可利用把看成个整体，运用公式及余弦定理求出，而无需单独求出和，这样可以减少运算量栏目链接已知椭圆的焦点分别是且求椭圆的方程设点在这个椭圆上，且，求的余弦值解析依题意知，又，且，所以，即所以因此从而椭圆方程为►变式训练栏目链接由于点在椭圆上，所以，又，所以又，所以由余弦定理得即的余弦值等于栏目链接析疑难提能力栏目链接对椭圆标准方程掌握不准致误典例若方程表示椭圆，则的取值范围是以上皆不正确栏目链接解析把方程化为标准形式，由，得，，答案易错剖析本题的解答易出现两个错误不能将椭圆方程化为标准形式不能正确求解三角不等式组椭圆及其标准方程二栏目链接进步理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程会求与椭圆有关的轨迹方程栏目链接研题型学习法题型利用椭圆定义求轨迹方程栏目链接例已知两圆动圆在圆内部且和圆内切，和圆外切，求动圆圆心的轨迹方程解析如图所示，设动圆圆心为半径为由题意得动圆内切于圆，所以圆外切于圆，所以所以，所以动圆圆心的轨迹是以，为焦点的椭圆，栏目链接且，故所求轨迹方程为规律方法利用椭圆的定义求动点的轨迹方程，应先根据动点具有的条件，验证是否符合椭圆的定义，即动点到两定点距离之和是否是常数，且该常数定值大于两点的距离，若符合，则动点的轨迹为椭圆，然后确定椭圆的方程这就是用定义法求椭圆标准方程的方法，要注意检验栏目链接►变式训练已知两定点且是与的等差中项，则动点的轨迹方程是解析因为是和的等差中项，所以所以的轨迹应是以，为焦点的椭圆这里，所以轨迹方程为答案题型二与椭圆有关的轨迹问题栏目链接例已知圆，从这个圆上任意点向轴作垂线段，点在上，并且，求点的轨迹解析设点的坐标为点的坐标为则，因为，在圆上，所以将，代入，得，即所以点的轨迹是个椭圆规律方法本题求轨迹方程的方法是代入法，将动点的坐标，利用相关点转移到已知曲线上，从而得出动点轨迹方程栏目链接►变式训练若将例“点在上，并且”改为“点在直线上，并且”，则点的轨迹是什么解析当时，点的轨迹是焦点在轴上的椭圆当时，点的轨迹是圆当时，点的轨迹是焦点在轴上的椭圆题型三焦点三角形问题栏目链接例德州高二检测若，是椭圆的两个焦点，为椭圆上点，且，求的面积解析如图所示，由，得又在中，所以，所以，所以栏目链接规律方法椭圆上点与椭圆的两焦点，构成的称为焦点三角形解关出动点轨迹方程栏目链接►变式训练若将例“点在上，并且”改为“点在直线上，并且”，则点的轨迹是什么解析当时，点的轨迹是焦点在轴的面积解析如图所示，由，得又在中，所称为焦点三角形解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义三角形中的正弦定理和余弦定理等知识对于求焦点三角形的面积，若已知，可利用把看成个整的焦点分别是且求椭圆的方程设点在这个椭圆上，且，求的余弦值解析依题意知，又，且，所以接►变式训练若将例“点在上，并且”改为“点在直线上，并且”，则点的轨迹是什么解析当时，点的轨迹是焦点在轴上的椭圆当时，所示，由，得又在中，所以解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义三角形中的正弦定理和余弦定理等知识对于求焦点三角形的面积，若已知，可利用把看成个整体，运用公式点分别是且求椭圆的方程设点在这个椭圆上，且，求的余弦值解析依题意知，又，且，所以，即所以因焦点，构成的称为焦点三角形解关