平面的法向量分别为直线的方向向量平面的法向量分别是直线的方向向量平面的法向量分别是，解析，⊥，与斜交，⊂或题型二求平面的法向量栏目链接已知是直角梯形，，⊥平面，试建立适当的坐标系求平面与平面的个法向量求平面的个法向量栏目链接解析以点为原点，所在的直线分别为轴轴轴，建立如图所示的坐标系，则，，⊥平面，是平面的个法向量法向量平行栏目链接►变式训练如图，在正三棱柱中，是的中点，求证平面证明以为坐标原点建立空间直角坐标系设正三棱柱的底面边长为，侧棱长为法向量为因为，所以，所以平面平面栏目链接规律方法证明面面平行可用以下方法转化为证明相应的线线平行或线面平行分别求出这两个平面的法向量，然后证明这两个，所以，取，所以平面的个法向量为同理由，可得，令，所以平面的个，栏目链接设平面与平面的法向量分别为和，则，所以所以所以，的中点求证平面平面栏目链接解析如图，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系设正方体棱长为，则所以对点坐标为，与平面不垂直，所以错故选答案题型三利用空间向量证明平行问题栏目链接例如图所示，正方体中分别是棱平面的个法向量为其中正确的个数为个个个个栏目链接解析所以对所以对直线⊥平面由列出等式解由得出的方程组，取其中个为直线的个方向向量为平面的个法向量为令得规律方法求法向量的解题步骤设平面的法向量为在平面内选取两个不共线的向量，在平面中，，设平面的法向量是，则⊥，⊥栏目链接所以，得方程组，，⊥平面，是平面的个法向量⊥，⊥，⊥平面，是平面的个法向量平面与平面的个法向量求平面的个法向量栏目链接解析以点为原点，所在的直线分别为轴轴轴，建立如图所示的坐标系，则，与斜交，⊂或题型二求平面的法向量栏目链接已知是直角梯形，，⊥平面，试建立适当的坐标系求直线的方向向量平面的法向量分别是直线的方向向量平面的法向量分别是，解析，⊥目链接►变式训练根据下列条件，判断相应的直线与直线平面与平面直线与平面的位置关系直线与的方向向量分别是平面的法向量分别为，目链接规律方法解决此类问题要注意两个问题搞清直线的方向向量平面的法向量和直线平面的位置关系之间的内在联系要熟练掌握判断向量共线垂直的方法，在把向量关系转化为几何关系时，注意其等价性栏目目链接规律方法解决此类问题要注意两个问题搞清直线的方向向量平面的法向量和直线平面的位置关系之间的内在联系要熟练掌握判断向量共线垂直的方法，在把向量关系转化为几何关系时，注意其等价性栏目链接►变式训练根据下列条件，判断相应的直线与直线平面与平面直线与平面的位置关系直线与的方向向量分别是平面的法向量分别为直线的方向向量平面的法向量分别是直线的方向向量平面的法向量分别是，解析，⊥，与斜交，⊂或题型二求平面的法向量栏目链接已知是直角梯形，，⊥平面，试建立适当的坐标系求平面与平面的个法向量求平面的个法向量栏目链接解析以点为原点，所在的直线分别为轴轴轴，建立如图所示的坐标系，则，，⊥平面，是平面的个法向量⊥，⊥，⊥平面，是平面的个法向量在平面中，，设平面的法向量是，则⊥，⊥栏目链接所以，得方程组，令得规律方法求法向量的解题步骤设平面的法向量为在平面内选取两个不共线的向量由列出等式解由得出的方程组，取其中个为直线的个方向向量为平面的个法向量为平面的个法向量为其中正确的个数为个个个个栏目链接解析所以对所以对直线⊥平面所以对点坐标为，与平面不垂直，所以错故选答案题型三利用空间向量证明平行问题栏目链接例如图所示，正方体中分别是棱，的中点求证平面平面栏目链接解析如图，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系设正方体棱长为，则，所以所以，栏目链接设平面与平面的法向量分别为和，则，所以，所以，取，所以平面的个法向量为同理由，可得，令，所以平面的个法向量为因为，所以，所以平面平面栏目链接规律方法证明面面平行可用以下方法转化为证明相应的线线平行或线面平行分别求出这两个平面的法向量，然后证明这两个法向量平行栏目链接►变式训练如图，在正三棱柱中，是的中点，求证平面证明以为坐标原点建立空间直角坐标系设正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，则，，，，，设平面的个法向量为，栏目链接则，，不妨令，则由于，因此⊥又⊄平面，平面栏目链接析疑难提能力栏目链接对向量与平面平行的理解不够而致误典例设是平面的法向量，是直线的方向向量，则和的位置关系解析由，⊥，⊂或易错剖析本易出现只有这种情况的错误，错误的原因是忽视了直线与平面平行和向量与平面平行的不同立体几何中的向量方法栏目链接理解直线的方向向量和平面的法向量能用向量语言表述线线线面面面的平行关系栏目链接研题型学习法题型利用方向向量和法向量判定线面位置关系栏目链接例设，分别是不重合的直线，的方向向量，根据下列条件判断与的位置关系，设，分别是不同的平面，的法向量，根据下列条件判断，的位置关系，，栏目链接设是平面的法向量，是直线的方向向量，根据下列条件判断和的位置关系，解析，，，⊥，⊥与不共线，也不垂直，与相交或异面栏目链接，，⊥，⊥，，与不共线，也不垂直，与相交但不垂直，⊥，⊂或，⊥与不共线，也不垂直，与相交，但不垂直栏目链接规律方法解决此类问题要注意两个问题搞清直线的方向向量平面的法向量和直线平面的位置关系之间的内在联系要熟练掌握判断向量共线垂直的方法，在把向量关系转化为几何关系时，注意其等价性栏目链接►变式训练根据下列条件，判断相应的直线与直线平面与平面直线与平面的位置关系直线与的方向向量分别是平面的法向量分别为直线的方向向量平面的法向量分别是直线的方向向量平面的法向量分别是，解析，⊥，与斜交，⊂或题型二求平面的法向量栏目链接已知是直角梯形，，⊥平面，试建立适当的坐标系求平面与平面的个法向量求平面的个法向量栏目链接解析以点为原点，所在的直线分别为轴轴轴，建立如图所示的坐标系，则，，⊥平面，是平面的个法向量目链接►变式训练根据下列条件，判断相应的直线与直线平面与平面直线与平面的位置关系直线与的方向向量分别是平面的法向量分别为与斜交，⊂或题型二求平面的法向量栏目链接已知是直角梯形，，⊥平面，试建立适当的坐标系求，，⊥平面，是平面的个法向量⊥，⊥，⊥平面，是平面的个法向量，令得规律方法求法向量的解题步骤设平面的法向量为在平面内选取两个不共线的向量平面的个法向量为其中正确的个数为个个个个栏目链接解析所以对所以对直线⊥平面的中点求证平面平面栏目链接解析如图，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系设正方体棱长为，则栏目链接设平面与平面的法向量分别为和，则，所以法向量为因为，所以，所以平面平面栏目链接规律方法证明面面平行可用以下方法转化为证明相应的线线平行或线面平行分别求出这两个平面的法向量，然后证明这两个平面的法向量分别为直线的方向向量平面的法向量分别是直线的方向向量平面的法向量分别是，解析，⊥，与斜交，⊂或题型二求平面的法向量栏目链接已知是直角梯形，，⊥平面，试建立适当的坐标系求平面与平面的个法向量求平面的个法向量栏目链接解析以点为原点，所在的直线分别为轴轴轴，建立如图所示的坐标系，则，，⊥平面，是平面的个法向量