1、题型二次方程根的分布问题栏目链接例若关于的方程有实根，求实数的取值范围分析因为，故问题等价于关于的二次方程有正根时，求实数的取值范围，故可利用元二次方程与二次函数之间的关系进行求解解析设问题转化为求函数在轴的正方向上至少有个交点的条件，所以栏目链接或解得或故所求的取值范围是，名师点评对于含字母的元二次方程的实根分布的问题，通常可根据图象具有的特征列出字母参数应满足的条件求解注意换元法及转化法的运用栏目链接►变式迁移为何值时，方程的两实根都大于解析方法令，则⇒栏目链接方法二⇒⇒⇒题型综合应用栏目链接例已知且⊆，求实数的取值范围分析根据元二次不等式解法，先求出集合，再由⊆确定集合的情况，即不等式解的情况，最后由二次函数元二次不等式元二次方程三者间关系确定系数的条件，。

2、式迁移解关于的不等式当时，不等式解集为栏目链接名师点评解不等式时，由于，因此不能完全按元二次不等式的解法求解因为当时，原不等式化为，此时不等式的解集为，所以解题时应分与两时，原不等式化为当时，解得当时，解得当时，原不等式的解集为当时，原不等式的解集为原不等式的解集为题型含有字母参数的不等式解法栏目链接例设，解关于的不等式分析进行分类讨论求解解析当时，恒成立，原不等式的解集为当或，或原不等式的解集为或原不等式可化为，化简得，即解得数在轴的正方向上至少有个交点的条件，所以栏目链接或解得或故所求的取值范围是，名师点评对于含字母的解得根，求实数的取值范围分析因为，故问题等价于关于的二次方程有正根时，求实数的取值范围，故可利用元二次方程与二次函数之。

3、求的取值范围是，名师点评对于含字母的解得或，或原不等式的解集为或原不等式可化为，化简得，即解得原不等式的解集为题型含有字母参数的不等式解法栏目链接例设，解关于的不等式分析进行分类讨论求解解析当时，恒成立，原不等式的解集为当时，原不等式化为当时，解得当时，解得当时，原不等式的解集为当时，原不等式的解集为当时，不等式解集为栏目链接名师点评解不等式时，由于，因此不能完全按元二次不等式的解法求解因为当时，原不等式化为，此时不等式的解集为，所以解题时应分与两种情况来讨论在解出的两根为，后，认为也是易出现错误的地方这时也应分情况来讨论，即当时当时，栏目链接►变式迁移解关于的不等式解析，当时或当时当时当时，解集为∅当时。

4、般形式的不等式时，应先化为般形式，在具体求解个般形式的元二次不等式的过程中，要密切结合元二次方程的根的情况以及二次函数的图象分式不等式的解法先通过移项通分整理成标准型或，再化成整式不等式来解如果能判断出分母的正负，直接去分母也可栏目链接►变式迁移解下列不等式解析原不等式可化为，原不等式的解集为∅原不等式可化为，所以原不等式的解集为栏目链接原不等式可化为，解得或，或原不等式的解集为或原不等式可化为，化简得，即解得原不等式的解集为题型含有字母参数的不等式解法栏目链接例设，解关于的不等式分析进行分类讨论求解解析当时解析，当时或当时当时当时，解集种情况来讨论在解出的两根为，后，认为也是易出现错误的地方这时也应分情况来讨论，即当时当时，栏目链接►变。

5、，解得当时，解得当时，原不等式的解集为当时，原不等式的解集为当时，不等式解集为栏目链接名师点评解不等式时，由于，因此不能完全按元二次不等式的解法求解因为当时，原不等式化为，此时不等式的解集为，所以解题时应分与两种情况来讨论在解出的两根为，后，认为也是易出现错误的地方这时也应分情况来讨论，即当时当时，栏目链接►变式迁移解关于的不等式解析，当时或当时当时当时，解集为∅当时题型二次方程根的分布问题栏目链接例若关于的方程有实根，求实数的取值范围分析因为，故问题等价于关于的二次方程有正根时，求实数的取值范围，故可利用元二次方程与二次函数之间的关系进行求解解析设问题转化为求函数在轴的正方向上至少有个交点的条件，所以栏目链接或解得或故。

6、出不等式组即可解析，又⊆，当∅时，即，栏目链接即时，满足⊆当∅时，⊆，设方程的两根为则，⊆，设，其图象与轴的交点在区间，之内，如下图，结合图象知，必须满足栏目链接，⇒，或，⇒综上知所以实数的取值范围是，名师点评对于⊆易丢掉∅导致出错借助数形结合使问题浅显易懂，同时掌握元二次不等式的解集与元二次方程的根二次函数图象的相互转化是至关重要的栏目链接►变式迁移已知若∩∅，求实数的取值范围解析由∩∅，或，若∅，有⇒若∅，如图，则有⇒综上所述，的取值范围是，，元二次不等式栏目链接情景导入项体育活动中，甲小组有人，游戏规则是每人在规定时间内从地跑到地可得分，经测试甲小组至多有人不能在比赛时完成这个任务，甲小组在比赛中得分要多于分，问至少应有多少人参赛你能解决这个问题吗学。

7、的关系进行求解解析设问题转化为求函当时当时，解集为∅当时题型二次方程根的分布问题栏目链接例若关于的方程有实当时，栏目链接►变式迁移解关于的不等式解析，当时或当时，时，原不等式化为，此时不等式的解集为，所以解题时应分与两种情况来讨论在解出的两根为，后，认为也是易出现错误的地方这时也应分情况来讨论，即当时，当时，原不等式的解集为当时，不等式解集为栏目链接名师点评解不等式时，由于，因此不能完全按元二次不等式的解法求解因为当进行分类讨论求解解析当时，恒成立，原不等式的解集为当时，原不等式化为当时，解得当时，解得当时，原不等式的解集为，化简得，即解得原不等式的解集为题型含有字母参数的不等式解法栏目链接例设，解关于的不等式分析栏目。

8、化简得，即解得原不等式的解集为题型含有字母参数的不等式解法栏目链接例设，解关于的不等式分析进行分类讨论求解解析当时，恒成立，原不等式的解集为当时，原不等式化为当时，解得当时，解得当时，原不等式的解集为当时，原不等式的解集为当时，不等式解集为栏目链接名师点评解不等式时，由于，因此不能完全按元二次不等式的解法求解因为当时，原不等式化为，此时不等式的解集为，所以解题时应分与两种情况来讨论在解出的两根为，后，认为也是易出现错误的地方这时也应分情况来讨论，即当时解析原不等式可化为，原不等式的解集为∅原不等式可化为，所以原不等式的解集为，化简得，即解得原不等式的解集为题型含有字母参数的不等式解法栏目链接例设，解关于的不等式分析当时，原不等式的解集为。

9、接原不等式可化为，解得或，或原不等式的解集为或原不等式可化为解析原不等式可化为，原不等式的解集为∅原不等式可化为，所以原不等式的解集为分整理成标准型或，再化成整式不等式来解如果能判断出分母的正负，直接去分母也可栏目链接►变式迁移解下列不等式分整理成标准型或，再化成整式不等式来解如果能判断出分母的正负，直接去分母也可栏目链接►变式迁移解下列不等式解析原不等式可化为，原不等式的解集为∅原不等式可化为，所以原不等式的解集为栏目链接原不等式可化为，解得或，或原不等式的解集为或原不等式可化为，化简得，即解得原不等式的解集为题型含有字母参数的不等式解法栏目链接例设，解关于的不等式分析进行分类讨论求解解析当时，恒成立，原不等式的解集为当时，原不等式化为当。

10、关系栏目链接栏目链接典例解析题型元二次不等式及简单分式不等式解法栏目链接例解下列不等式解析原不等式变形为，因为，解方程，得原不等式的解集为栏目链接因为，而，故原不等式的解集为⇔⇔，原不等式的解集为即此不等式等价于且，解得或原不等式的解集为或栏目链接名师点评当所给不等式是非般形式的不等式时，应先化为般形式，在具体求解个般形式的元二次不等式的过程中，要密切结合元二次方程的根的情况以及二次函数的图象分式不等式的解法先通过移项通分整理成标准型或，再化成整式不等式来解如果能判断出分母的正负，直接去分母也可栏目链接►变式迁移解下列不等式解析原不等式可化为，原不等式的解集为∅原不等式可化为，所以原不等式的解集为栏目链接原不等式可化为，解得或，或原不等式的解集为或原不等式可化为。

11、当时，不等式解集为栏目链接名师点评解不等式时，由于，因此不能完全按元二次不等式的解法求解因为当当时，栏目链接►变式迁移解关于的不等式解析，当时或当时，根，求实数的取值范围分析因为，故问题等价于关于的二次方程有正根时，求实数的取值范围，故可利用元二次方程与二次函数之间的关系进行求解解析设问题转化为求函或，或原不等式的解集为或原不等式可化为，化简得，即解得时，原不等式化为当时，解得当时，解得当时，原不等式的解集为当时，原不等式的解集为种情况来讨论在解出的两根为，后，认为也是易出现错误的地方这时也应分情况来讨论，即当时当时，栏目链接►变式迁移解关于的不等式般形式的不等式时，应先化为般形式，在具体求解个般形式的元二次不等式的过程中，要密切结合元二次方。

12、元二次不等式后你将很容易地解决这类问题栏目链接课标点击栏目链接能熟练地解元二次不等式掌握三个二次的关系，体会函数与方程的数学思想方法经历从实际情境抽象出元二次不等式模型的过程栏目链接要点导航知识点几种不等式的解法栏目链接元次不等式的解法步骤化标准形或求解集元二次不等式的解法步骤化标准形或判断，进步求方程的根根据及的正负，写出解集元高次不等式的解法这里只研究能分解成若干个次因式积的形式的元高次不等式，其步骤如下栏目链接化为标准型，设，则化成或在序轴简化的数轴上标根个，将序轴分成个区间判断在这个区间上的正负，从而得到解集这种方法叫做穿根法，也叫标根法或穿针引线法分式不等式的解法栏目链接步骤如下化标准形式，或是关于的代数式同解变形为或通过元高次不等式的求解步骤完成知识点二次项系数是正数的二次函数元二次方程和元二次不等式间的主。

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