以堆数的全排列数，不平均分堆则不需要除，避免产生计数的重复或遗漏考点探究平面内有条直线任意两条都相交，任意三条都不交于点，则这条直线的交点的个数为题，解决的关键是要搞清事件是否与顺序有关，前者堆与堆之间只要元素个数相同，是不可区分的，而后者则即使两组元素个数相同，但因组不同，仍然是可区分的，解决这类问题的方法是以位臵为主，或以元素为主，或先分堆分步可得共有种分法甲先选，有种方法，乙再选，有种方法，丙再选，有种方法，丁再选，有种方法，剩下的本给戊，所以共有种分法考点探究栏目链接点评本题是个分堆，分配问考点探究栏目链接解析不妨把本书记为先从本书中取本作堆，再从剩下的本书中余下的本书中取本给乙，最后剩下的本书全给丙，故共有种方法本题实质上与问题致列情况各有多少种不同分法分成堆，每堆本分成堆，每堆分别为本，本，本分给甲本，乙本，丙本分给甲乙丙人，其中甲乙各得本，丙得本分给甲乙两人各本，丙丁两人各本，戊本种从人中任选人的选法有种其中名女生都入选的选法有种，男生甲和女生乙同时入选的选法有种所以符合条件的选法共有种栏目链接考点排列组合应用题考点探究栏目链接例有本不同的书下方法先从名男生中选人，有种选法，再从除甲外的名女生中选人，有种选法由分步计数原理，共有种方法二从名男生中选名，从名女生中选名，共种选法，其中女生甲不入选的方法有种所以共有探究从名男生和名女生中任选人参加数学课外小组选名男生和名女生，且女生甲必须入选的方法数为最多选名女生，且男生甲和女生乙不同时入选的方法数为栏目链接考点探究解析个四边形需要四个不共线的点，所以这个点确定四边形的个数为点评当个组合数的分类较多，或正面求解较复杂时，可用从反面考虑，在整体中把不符合的组合数去掉得到满足条件的组合数考点探究变式多少个四边形考点探究栏目链接解析确定条直线需要两个点，因为有个点共线，所以这个点所确定直线的条数为确定个三角形需要三个不共线的点，所以这个点确定三角形的个数为确定，故总的排法有种考点用间接法求组合数考点探究栏目链接例平面上有个点，其中有个点共线，除此外无点共线用这个点可以确定多少条直线用这个点可以确定多少个三角形用这个点可以确定另外，两个小孩定要排在起，则这六人的入园顺序排法种数为种种种种栏目链接解析第步将两位爸爸排在两端有种排法第二步将两个小孩视作人与两位妈妈任意排在中间的三个位臵上有种排法，从另外四人中选人有种，剩余人选人分别去三个城市有种，共种故选栏目链接考点探究变式探究张王两家夫妇各带个小孩起到动物园游玩，购票后排队依次入园，为安全起见，首尾定要排两位爸爸，只选乙，则选甲乙，则故选方法二类无甲乙有种，二类甲乙有人参加有，三类甲乙都参加有，共有种，故选方法三甲乙两人不去巴黎实际问题中的计数问题般都可以由两个计数原理来求出在每类或每步计数中，如果能用组合数公式计数就直接按组合数公式计算栏目链接考点探究解析方法分类计数不选甲乙，则只选甲，则原理求组合数考点探究例从人中选人分别到巴黎伦敦悉尼莫斯科四个城市游览，要求每个城市有人游览，每人只游览个城市，且这人中甲乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有种种种种点评考点探究栏目链接解析方获胜至少要下盘棋，至多要下盘棋，问题可理解为在盘对局中，甲方有且只有盘对局获胜，则甲方获得比赛胜利，所以共有种可能不同的数组有组考点结合两个计数原考点探究栏目链接解析方获胜至少要下盘棋，至多要下盘棋，问题可理解为在盘对局中，甲方有且只有盘对局获胜，则甲方获得比赛胜利，所以共有种可能不同的数组有组考点结合两个计数原理求组合数考点探究例从人中选人分别到巴黎伦敦悉尼莫斯科四个城市游览，要求每个城市有人游览，每人只游览个城市，且这人中甲乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有种种种种点评实际问题中的计数问题般都可以由两个计数原理来求出在每类或每步计数中，如果能用组合数公式计数就直接按组合数公式计算栏目链接考点探究解析方法分类计数不选甲乙，则只选甲，则只选乙，则选甲乙，则故选方法二类无甲乙有种，二类甲乙有人参加有，三类甲乙都参加有，共有种，故选方法三甲乙两人不去巴黎，从另外四人中选人有种，剩余人选人分别去三个城市有种，共种故选栏目链接考点探究变式探究张王两家夫妇各带个小孩起到动物园游玩，购票后排队依次入园，为安全起见，首尾定要排两位爸爸，另外，两个小孩定要排在起，则这六人的入园顺序排法种数为种种种种栏目链接解析第步将两位爸爸排在两端有种排法第二步将两个小孩视作人与两位妈妈任意排在中间的三个位臵上有种排法，故总的排法有种考点用间接法求组合数考点探究栏目链接例平面上有个点，其中有个点共线，除此外无点共线用这个点可以确定多少条直线用这个点可以确定多少个三角形用这个点可以确定多少个四边形考点探究栏目链接解析确定条直线需要两个点，因为有个点共线，所以这个点所确定直线的条数为确定个三角形需要三个不共线的点，所以这个点确定三角形的个数为确定个四边形需要四个不共线的点，所以这个点确定四边形的个数为点评当个组合数的分类较多，或正面求解较复杂时，可用从反面考虑，在整体中把不符合的组合数去掉得到满足条件的组合数考点探究变式探究从名男生和名女生中任选人参加数学课外小组选名男生和名女生，且女生甲必须入选的方法数为最多选名女生，且男生甲和女生乙不同时入选的方法数为栏目链接考点探究解析方法先从名男生中选人，有种选法，再从除甲外的名女生中选人，有种选法由分步计数原理，共有种方法二从名男生中选名，从名女生中选名，共种选法，其中女生甲不入选的方法有种所以共有种从人中任选人的选法有种其中名女生都入选的选法有种，男生甲和女生乙同时入选的选法有种所以符合条件的选法共有种栏目链接考点排列组合应用题考点探究栏目链接例有本不同的书下列情况各有多少种不同分法分成堆，每堆本分成堆，每堆分别为本，本，本分给甲本，乙本，丙本分给甲乙丙人，其中甲乙各得本，丙得本分给甲乙两人各本，丙丁两人各本，戊本考点探究栏目链接解析不妨把本书记为先从本书中取本作堆，再从剩下的本书中余下的本书中取本给乙，最后剩下的本书全给丙，故共有种方法本题实质上与问题致分步可得共有种分法甲先选，有种方法，乙再选，有种方法，丙再选，有种方法，丁再选，有种方法，剩下的本给戊，所以共有种分法考点探究栏目链接点评本题是个分堆，分配问题，解决的关键是要搞清事件是否与顺序有关，前者堆与堆之间只要元素个数相同，是不可区分的，而后者则即使两组元素个数相同，但因组不同，仍然是可区分的，解决这类问题的方法是以位臵为主，或以元素为主，或先分堆后排列注意平均分堆问题要除以堆数的全排列数，不平均分堆则不需要除，避免产生计数的重复或遗漏考点探究平面内有条直线任意两条都相交，任意三条都不交于点，则这条直线的交点的个数为有张分别标有数字，的红色卡片和张分别标有数字，的蓝色卡片，从这张卡片中取出张卡片排成行，如果取出的张卡片所标的数字之和等于，那么不同的排法共有种用数字作答栏目链接变式探究考点探究解析这条直线交点的个数为取出的张卡片所标的数字之和等于，共有三种情况，所取卡片是，的共有种排法，所取卡片是，的共有种排法，所取卡片是则其中卡片颜色可为无红色，张红色，张红色，张红色，全是红色，共有排法种，所以共有排法种栏目链接感悟高考品味高考栏目链接两人进行乒乓球比赛，先赢局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形各人输赢局次的不同视为不同情形共有种种种种感悟高考解析依题意知比赛局数至少为局，至多为局依甲赢计算打局结束甲全胜只有种打局结束甲前局赢局，第局必胜有种打局结束甲前局赢局，第局必胜有种故甲胜共有种，同样乙胜也有种，所以共有种故选栏目链接感悟高考•重庆卷从名骨科名脑外科和名内科医生中选派人组成个抗震救灾医疗小组，则骨科脑外科和内科医生都至少有人的选派方法种数是用数字作答解析利用直接法分类求解脑内三骨的选法有种，脑二内二骨的选法有种，脑三内骨的选法有种，二脑内二骨的选法有种，二脑二内骨的选法有种，三脑内骨的选法有种，满足题意的选法共种栏目链接感悟高考高考测验解析若前组开关只接通个，则后组有种，此时有种若前组开关接通两个，则后组有种，所以总共有种故选栏目链接如下图所示，若使电路接通灯亮，则开关不同的开闭方式有种种种种感悟高考有五位学生参加网页设计比赛，决出了第到第五的名次两位学生去问成绩，教师对说你的名次不知道，但肯定没得第名又对说你是第三名请你分析下，这五位学生的名次排列共有种不同的可能用数字作答栏目链接解析因为不是第名，是第三名，所以可能是第二名，第四名或第五名，剩下的上有种情况，所以共有种不同的可能高考总复习数学理科第十章计数原理概率随机变量及其分布第三节排列与组合二能综合运用排列与组合知识解决简单的实际问题考纲要求栏目链接课前自修基础回顾排列组合都是研究事物在种给定的模式下所有可能的配置的数目问题，它们之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队，因此，分析解决排列组合问题的基本思维是“先组，后排”解排列组合的应用题，要注意四点仔细审题，判断是组合问题还是排列问题要按元素的性质分类，按事件发生的过程进行分步栏目链接课前自修深入分析严密周详，注意分清是乘还是加，既不少也不多，辩证思维，多角度分析，全面考虑，这不仅有助于提高逻辑推理能力，也尽可能地避免出错对于附有条件的比较复杂的排列组合应用题，要周密分析，设计出合理的方案，把复杂问题分解成若干简单的基本问题后应用分类计数原理或分步计数原理来解决由于排列组合问题的答案般数目较大，不易直接验证，因此在检查结果时，应着重检查所设计的解决问题的方案是否完备，有无重复或遗漏，也可采用多种不同的方法求解，看看是否相同在对排列组合问题分类时，分类标准应统，否则易出现遗漏或重复栏目链接课前自修基础自测栏目链接甲乙人从门课程中各选修门，则甲乙所选的课程中恰有门相同的选法有种种种种课前自修栏目链接•衡水调研从，六个数字中，选出个偶数和两个奇数，组成个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有个个个个解析选出符合题意的三个数有种方法，每三个数可排成个三位数，所以共有个符合题意的三位数课前自修已知，，满足这个关系式的集合共有解析由题意知集合中的元素，必取，另外，从中可以不取，取个，取个，取个故有栏目链接课前自修高三学生希望报名参加所高校中的所学校的自主招生考试，由于其中两所学校的考试时间相同，因此该学生不能同时报考这两所学校该学生不同的报考方法种数是用数字作答栏目链接考点用定义法求组合数考点探究栏目链接例方程共有组正整数解，则等于名战士站成排，从中任选个互不相邻的战士去执行项任务，则不同的选派方法的种数是点评组合数计数对应的元素不考虑其在位臵上的顺序，解决有关组合数计数问题时，关键是理解所取的元素在分配中没