1、“.....已知交于,交于求证证明得三角形内角平分线定理在中，若为的平分线，则三角形外角平分线定理在中，为的外角的平分线，则证明,设的高为则,作交于点平行于三角形的边，并且和其他两边相交的直线所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。是的中点同理可得例如图，已知,直角三角形中的比例射影定理在直角三角形中，为斜边边上的高，则为的平分线证明过作的平行线交于点。......”。

2、“.....若为的平分线，则三角形外角平分线定理在中，为的外角的平分线，则证明,交于求证证明得三角形内原三角形三边对应成比例。是的中点同理可得例如图，已知交于,如图在中，为中线上的点，连结延长交于点求证证明,作交于点平行于三角形的边，并且和其他两边相交的直线所截得的三角形的三边与为平行四边形，平行于三角形边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例同理可得例,或两边的延长线，所得的对应线段成比例例证明如图，是平行四边形边上点，连结，并延长交的延长线于点求证四边形，则在中......”。

3、“.....平行线分线段成比例定理推论平行于三角形边的直线截其他两边在直角三角形中，为斜边边上的高，则在中,是的平分线，证明过作的平行线交于点。，直角三角形中的比例射影定理为的平分线三角形外角平分线定理在中，为的外角的平分线，则证明,设的高为则得三角形内角平分线定理在中，若为的平分线，则同理可得例如图，已知交于,交于求证证明,作交于点平行于三角形的边，并且和其他两边相交的直线所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。是的中点......”。

4、“.....并且和其他两边相交的直线所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。是的中点同理可得例如图，已知交于,交于求证证明得三角形内角平分线定理在中，若为的平分线，则三角形外角平分线定理在中，为的外角的平分线，则证明,设的高为则为的平分线证明过作的平行线交于点。，直角三角形中的比例射影定理在直角三角形中，为斜边边上的高，则在中,是的平分线则在中，是的平分线则......”。

5、“.....所得的对应线段成比例例证明如图，是平行四边形边上点，连结，并延长交的延长线于点求证四边形为平行四边形，平行于三角形边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例同理可得例,如图在中，为中线上的点，连结延长交于点求证证明,作交于点平行于三角形的边，并且和其他两边相交的直线所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。是的中点同理可得例如图，已知交于,交于求证证明得三角形内角平分线定理在中，若为的平分线，则三角形外角平分线定理在中，为的外角的平分线，则证明......”。

6、“.....，直角三角形中的比例射影定理在直角三角形中，为斜边边上的高，则在中,是的平分线则在中，是的平分线则,中于在边上且则课题本节内容是关于几何中的些比例关系，这几节内容现在在初中课本中已“淡化”，但是这几个结论在高中的“立体几何”和“平面解析几何”中有时会用到因此,在本节中首先把这几个定理内容介绍给同学们,然后利用这三个定理来解决些题目其中对于“平行线分线段成比例”介绍几条稍有难度的题目，而“三角形内外角平分线性质定理”和“直角三角形中的比例”的题目直接围绕定理展开......”。

7、“.....截得的对应线段成比例定理的基本图形如图，因为，所以也可以说推论的基本图形平行线分线段成比例定理推论平行于三角形边的直线截其他两边或两边的延长线，所得的对应线段成比例例证明如图，是平行四边形边上点，连结，并延长交的延长线于点求证四边形为平行四边形，平行于三角形边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例同理可得例,如图在中，为中线上的点，连结延长交于点求证证明,作交于点平行于三角形的边，并且和其他两边相交的直线所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。是的中点同理可得例如图，已知交于......”。

8、“.....若为的平分线，则三角形外角平分线定理在中，为的外角的平分线，则证明,设的高为则,作交于点平行于三角形的边，并且和其他两边相交的直线所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。是的中点同理可得例如图，已知交于,交于求证证明得三角形内角平分线定理在中，若为的平分线，则三角形外角平分线定理在中，为的外角的平分线，则证明......”。

9、“.....，直角三角形中的比例射影定理在直角三角形中，为斜边边上的高，则在中,是的平分线则在中，是的平分线则,同理可得例如图，已知交于,交于求证证明三角形外角平分线定理在中，为的外角的平分线，则证明,设的高为则证明过作的平行线交于点。，直角三角形中的比例射影定理，则在中，是的平分线则,平行线分线段成比例定理推论平行于三角形边的直线截其他两边为平行四边形，平行于三角形边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例同理可得例,原三角形三边对应成比例......”。