1、�𝑚得由于直线与椭圆有两个交点,则,即,解得,解得所求的取值范围是,题型四直线与椭圆的位置关系设分别是椭圆𝑦𝑏的左右焦点,过的直线与相交于两点,且成等差数列求若直线的斜率为,求的值由定义与已知条件找到的关系用表示,根据第问建立等式由椭圆定义知,又,得的方程为,其中𝑏设则两点坐标满足方程组𝑦𝑥𝑐,𝑥𝑦𝑏化简得则𝑐𝑏,𝑏𝑏因为直线的斜率为,所以,即则𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏解得当直线斜率为与圆锥曲线交于点,时,则𝑘,而𝑥𝑥𝑥𝑥,可根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的元二次方程,利用根与系数的关系得到两根之和两根之积的代数式,然后再进行整体代入求解已知椭圆𝑥𝑎𝑦𝑏的离心率为,过坐标原点且斜率为的直线与相交于求,的值若动圆与椭圆和直线都没有公共点,试求的取值范围依题。

2、两个交点,则,即,解得,解得所求的取值的距离为求椭圆的方程设椭圆与直线相交于不同的两点,当𝐴𝑀𝐴𝑁时,求的取值范围依题意可设椭圆方程为𝑥𝑎,则右焦点𝑎,由题设知𝑎故,本题主要考查椭圆的方程与基本量,考查椭圆的几何性质与离心率的计算等,意在考查学生的分析转化能力和运算求解能力已知椭圆的个顶点为焦点在轴上,若右焦点到直线设由题意知,则𝑐𝑥即𝑥,𝑦代入的方程,得𝑐𝑎𝑏将及𝑎𝑏代入,得𝑎𝑎𝑎解得,解得𝑐𝑎,𝑐𝑎舍去故的离心率为由题意,原点为的中点,轴,直线与轴的交点,是线段的中点即由,得在轴上的截距为,以及,建立方程组关系,求出点的坐标代入椭圆方程即可得出结论根据𝑎𝑏及题设知𝑏𝑎即将代入若直线的斜率为,求的离心率若直线在轴上的截距为,且,求,根据条件求出的坐标,。

3、条件求出的坐标,利用直线的斜率为,建立关于,的方程即可求出的离心率根据直线在轴上的截距为,以及,建立方程组关系,求出点的坐标代入椭圆方程即可得出结论根据𝑎𝑏及题设知𝑏𝑎即将代入,解得𝑐𝑎,𝑐𝑎舍去故的离心率为由题意,原点为的中点,轴,直线与轴的交点,是线段的中点即由,得设由题意知,则𝑐𝑥即𝑥,𝑦代入的方程,得𝑐𝑎𝑏将及𝑎𝑏代入,得𝑎𝑎𝑎解得故,本题主要考查椭圆的方程与基本量,考查椭圆的几何性质与离心率的计算等,意在考查学生的分析转化能力和运算求解能力已知椭圆的个顶点为焦点在轴上,若右焦点到直线的距离为求椭圆的方程设椭圆与直线相交于不同的两点,当𝐴𝑀𝐴𝑁时,求的取值范围依题意可设椭圆方程为𝑥𝑎,则右焦点𝑎,由题设知𝑎,解得故所求椭圆的方程为𝑥由𝑦𝑘�。

4、𝑎𝑎𝑏𝑎,解得,由𝑥𝑦消去,得动圆𝑎𝑏𝑎𝑏𝑎,即𝑏𝑎,解得𝑏𝑎,又,𝑏𝑎令𝑥𝑎𝑦𝑏,解得题型三双曲线的几何性质如图,是双曲线𝑥𝑎𝑦𝑏的左右焦点,过的直线与双曲线的左右两支分别交于点若为等边三角形,则双曲线的离心率为设的边长为,则由双曲线的定义,为等边三角形,可求的值,在中,由余弦定理,可得结论设的边长为,则由双曲线的定义,可得𝐵𝐹在中𝐴𝐹,由余弦定理可得𝑎𝑎,𝑐𝑎本题主要考查双曲线的几何性质以及等边三角形的性质,考查了余弦定理的运用中心在原点,焦点在轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点且范围是,题型四直线与椭圆的位置关系设分别是椭圆𝑦𝑏的左右焦点,过的直线与相交于两点,且成等差数列求,解得故所求椭圆的方程为𝑥由𝑦𝑘𝑥𝑚得由于直线与椭圆有。

5、�𝑐椭圆方程为𝑥𝑦题型二椭圆的定义及应用动圆与已知圆外切,与圆内切,求动圆圆心组成集合的曲线方程两圆相切时,圆心之间的距离与两圆的半径有关,据此可以找出动圆圆心满足的条件两定圆的圆心和半径分别是,设动圆圆心为半径为,由条件可得所以,由椭圆定义知道动圆圆心组成的集合是椭圆,其焦点是且,所以,⇒,所求曲线方程是𝑥𝑦判断动点集合是否是椭圆,关键是看动点是否满足到两定点距离等于常数大于两定点距离已知圆及点点是圆上任意点,线段的垂直平分线与相交于点,求点的轨迹方程如图所示,是线段的垂直平分线,由题意知点的轨迹是以为焦点的椭圆,且即,点的轨迹方程为𝑥𝑦题型三椭圆的几何性质设分别是椭圆𝑥𝑎𝑦𝑏的左右焦点,是上点,且与轴垂直,直线与的另个交点为若直线的斜率为,求的离心率若直线在轴上的截距为,且,求,根据。

6、意,𝑥不妨设由,得所以𝑎𝑏解得,由𝑥𝑦消去,得动圆𝑎𝑏𝑎𝑏𝑎,即𝑏𝑎,解得𝑏𝑎,又,𝑏𝑎令𝑥𝑎𝑦𝑏,解得题型三双曲线的几何性质如图,是双曲线𝑥𝑎𝑦𝑏的左右焦点,过的直线与双曲线的左右两支分别交于点若为等边三角形,则双曲线的离心率为设的边长为,则由双曲线的定义,为等边三角形,可求的值,在中,由余弦定理,可得结论设的边长为,则由双曲线的定义,可得𝐵𝐹在中𝐴𝐹,由余弦定理可得𝑎𝑎,𝑐𝑎本题主要考查双曲线的几何性质以及等边三角形的性质,考查了余弦定理的运用中心在原点,焦点在轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点且,椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为,离心率之比为∶求这两曲线方程若为这两曲线的个交点,求的值由已知得,设椭圆长短半轴长分别为,双曲线实半轴虚半轴长分别为。

7、利用直线的斜率为,建立关于,的方程即可求出的离心率根据直线,点的轨迹方程为𝑥𝑦题型三椭圆的几何性质设分别是椭圆𝑥𝑎𝑦𝑏的左右焦点,是上点,且与轴垂直,直线与的另个交点为点的轨迹方程如图所示,是线段的垂直平分线,由题意知点的轨迹是以为焦点的椭圆,且即是𝑥𝑦判断动点集合是否是椭圆,关键是看动点是否满足到两定点距离等于常数大于两定点距离已知圆及点点是圆上任意点,线段的垂直平分线与相交于点,求圆圆心为半径为,由条件可得所以,由椭圆定义知道动圆圆心组成的集合是椭圆,其焦点是且,所以,⇒,所求曲线方程外切,与圆内切,求动圆圆心组成集合的曲线方程两圆相切时,圆心之间的距离与两圆的半径有关,据此可以找出动圆圆心满足的条件两定圆的圆心和半径分别是,设动𝑐即𝑆𝐴𝐵𝐵𝑐𝑐椭圆方程为𝑥𝑦题型二椭圆的。

8、合的思想椭圆的概念把平面内到两个定点的距离之和等于常数大于的点的集合叫椭圆这两定点叫作椭圆的焦点,两焦点间的距离叫作椭圆的焦距集合其中,且,为常数集合其中,且,为常数,则若,则集合为椭圆若,则集合为线段若图形续表焦点在轴上焦点在轴上范围对称性关于轴轴原点对称顶点长轴顶点,短轴顶点长轴顶点短轴顶点,焦点轴长轴长,短轴长焦距离心率,的关系式正确理解椭圆标准方程椭圆的标准方程满足三个条件,右边是中间是,的系数都放在分母上确定,的时候要注意比较大小理解椭圆离心率的几何意义椭圆的离心率是反映椭圆的扁圆程度的量,越接近于,椭圆越圆越接近于,椭圆越扁设椭圆𝑥𝑎𝑦𝑏的左右焦点分别为,点是上的点,⊥,,则椭圆的离心率为由题意可得,而,则,而𝑏𝑎即,𝑐𝑎是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的充分而不必要条件必要而不充分。

9、定义及应用动圆与已知圆�易知𝑐,又为直角三角形,即即𝑐,设椭圆的中心为原点,长轴在轴上,上顶点为,左右焦点分别为,线段的中点分别为,且是面积为的直角三角形,求该椭圆的离心率和标准方程设所求的椭圆方程为𝑥𝑎𝑦�准方程,即设法建立关于的方程组,先定型再定量,若位置不确定时,考虑是否有两解,有时为了解题需要,椭圆方程可设为,,由题目所给条件求出即可如图,准方程,即设法建立关于的方程组,先定型再定量,若位置不确定时,考虑是否有两解,有时为了解题需要,椭圆方程可设为,,由题目所给条件求出即可如图,设椭圆的中心为原点,长轴在轴上,上顶点为,左右焦点分别为,线段的中点分别为,且是面积为的直角三角形,求该椭圆的离心率和标准方程设所求的椭圆方程为𝑥𝑎𝑦𝑏易知𝑐,又为直角三角形,即即𝑐𝑐即𝑆𝐴𝐵𝐵。

10、过计算点,的坐标及弦长结合图形判断出四点共圆弦的中点问题有两种方法处理设点,坐标,将,坐标代入双曲线方程,两式相减后结合中点坐标公式和斜率公式建立等式联立方程组,用韦达定理已知双曲线𝑥𝑎𝑦𝑏的渐近线方程为,点为坐标原点,点,在双曲线上求双曲线的方程若不平行于轴的直线与双曲线交于,两点,且𝑂𝑃𝑂𝑄,求的最小值双曲线的渐近线方程为双曲线的方程可设为又点,在双曲线上,可解得,双曲线的方程为𝑥𝑦设直线的方程为,点将直线的方程代入双曲线的方程,可化为,𝑘𝑘𝑚𝑘,𝑚𝑘由𝑂𝑃𝑂𝑄,得,即化简得,𝑘𝑘当时,𝑘𝑘成立,且满足的最小值是椭圆见学生用书掌握椭圆的定义几何图形标准方程及简单性质了解椭圆的实际背景,了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用,了解椭圆的简单应用理解数形结。

11、条件充要条件既不充分也不必要条件将方程变形为𝑥𝑚𝑦𝑛,根据椭圆的定义,要使焦点在轴上,必须满足𝑚,且𝑛𝑚,解得又若,则𝑚,且𝑛𝑚,所以易知是充要条件已知椭圆的短轴长为,离心率为,则椭圆的焦点到长轴的个端点的距离为或以上都不对由题意知,又𝑎𝑏𝑎𝑎,得𝑎𝑏,焦点到长轴的个端点的距离为或若椭圆𝑥𝑦𝑚过点则其焦距为把点,的坐标代入椭圆方程得,所以,所以,故焦距为已知椭圆的两焦点分别是,是过点的弦,则三角形的周长是三角形的周长是,而,所以见学生用书椭圆的标准方程年考椭圆的定义年考椭圆的性质及应用年考椭圆的标准方程年全国卷已知椭圆𝑥𝑎𝑦𝑏的左右焦点为,离心率为,过的直线交于两点若的周长为,则的方程为𝑥𝑦𝑥𝑥𝑦𝑥𝑦由题意知,𝑐𝑎又的周长为,则由椭圆定义得,即,。

12、则𝑎𝑚解得,椭圆方程为𝑥𝑦,双曲线方程为𝑥𝑦不妨设分别为左右焦点,是第象限的个交点,则,又,𝑃𝐹𝐹𝐹𝐹𝑃𝐹𝐹题型四直线与双曲线的位置关系已知点过点的直线交双曲线𝑦于两点,且𝑂𝑁𝑂𝐴𝑂𝐵求直线的方程若过的直线交双曲线于两点,且𝐶𝐷𝐴𝐵,那么四点是否共圆为什么根据弦的中点是,待定直线的方程根据,的直线方程找出弦长,判断四点是否共圆由题意知直线的斜率存在设直线,代入𝑦,得令则是方程的两根,且𝑘𝑘𝑘𝑂𝑁𝑂𝐴𝑂𝐵,是的中点,解得,直线的方程为将代入方程得,解得或,不妨设𝐴𝐵,垂直平分,所在直线方程为,即,代入双曲线方程整理得,令,及中点则,𝑥𝑥即即到距离相等,四点共圆领会待定系数思想,先设直线方程,然后根据弦的中点待定系数领会数形结合思想,通。

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