1、的加减法,数乘向量外,还需要充分利用平面几何的些定理平行四边形的对角线交于点𝐶𝑁𝐶𝐷𝑂𝐵,用,表示𝑂𝑀𝑀𝑁𝐵𝐴𝑂𝑀𝑂𝐵𝐵𝑀𝑂𝑁𝑂𝐶𝐶𝑁𝑂𝐷𝑂𝐷𝑂𝐷,𝑀𝑁𝑂𝑁𝑂𝑀题型三共线向量定理设两个非零向量与不共线若𝐴𝐵𝐶𝐷,求证三点共线试确定实数,使和共线要证三点共线,只需证𝐴𝐵𝐵𝐷共线两向量共线,可得两向量系数的比例关系由此可得的方程,即可求得的值𝐴𝐵𝐶𝐷𝐵𝐷共线,又它们有公共点,三点共线与共线,则存在实数,使,即又,是两个不共线的非零向量共线向量定理的条件和结论是充要条件关系,既可以证明向量共线,也可以由向量共线求参数利用两向量共线证明三点共线要强调有个公共点设是所在平面上的点,且𝑀𝐵𝑀𝐴𝑀𝐶,。

2、线与共线,则存在实试确定实数,使和共线要证三点共线,只需证𝐴𝐵𝐵𝐷共线两向量共线,可得两向量系数的比例关系由此可得的方程,即可求得的值𝐴𝐵𝑀𝑁𝑂𝑁𝑂𝑀题型三共线向量定理设两个非零向量与不共线若𝐴𝐵𝐶𝐷,求证三点共线�用,表示𝑂𝑀𝑀𝑁𝐵𝐴𝑂𝑀𝑂𝐵𝐵𝑀𝑂𝑁𝑂𝐶𝐶𝑁𝑂�知向量来表示另外些向量,是用向量解题的基本功,除综合利用向量的加减法,数乘向量外,还需要充分利用平面几何的些定理平行四边形的对角线交于点𝐶𝑁𝐶𝐷即𝐷𝐸𝐴𝐶𝐵𝐶𝐵𝐴𝑀𝑁𝑀𝐷𝐷𝐵𝐵𝑁𝐸𝐷𝐵𝐷𝐵𝐶用已先把𝐴𝐶转化为𝐵𝐶与𝐵𝐴的差,即可得到𝐴𝐶,而𝐶𝐸与𝐴𝐶是共线向量𝑀𝑁先转化为𝑀𝐷𝐷𝐵𝐵。

3、的可能为零向量,从而不正确两个相等的非零向量可以在同直线上,此时就构不成四边形,更不可能是个平行四边形的四个顶点,所以命题不正确向量的平行只要方向相同或相反即可,与起点是否相同无关,所以命题不正确正确综上所述,正确命题的序号是题型二向量的数乘运算及其几何意义如图所示,是中边的中点,分别是的中点已知𝐵𝐶试用分别表示𝐴𝐶𝐶𝐸和𝑀𝑁结合图形可先把𝐴𝐶转化为𝐵𝐶与𝐵𝐴的差,即可得到𝐴𝐶,而𝐶𝐸与𝐴𝐶是共线向量𝑀𝑁先转化为𝑀𝐷𝐷𝐵𝐵𝑁的和,然后再转化为的和差关系由三角形中位线知�,故𝐷𝐸𝐵𝐶,即𝐷𝐸𝐴𝐶𝐵𝐶𝐵𝐴𝑀𝑁𝑀𝐷𝐷𝐵𝐵𝑁𝐸𝐷𝐵𝐷𝐵𝐶用已知向量来表示另外些向量,是用向量解题的基本功,除综合利用向量。

4、𝑂𝐴𝐴𝐵𝐴𝐶,,则与的夹角为设与的夹角为,因为,所以𝑎𝑏,又因为,所以已知点则向量𝐴𝐵在𝐶𝐷方向上的投影为因为𝐴𝐵𝐶𝐷所以𝐴𝐵𝐶𝐷则向量𝐴𝐵在𝐶𝐷方向上的投影为𝐴𝐵𝐶𝐷𝐶𝐷已知为等边三角形设点,满足𝐴𝑃𝐴𝐵若𝐵𝑄𝐶𝑃,则由𝐵𝑄𝐶𝐴𝐴𝑃,解得已知与均为单位向量,其夹角为,有下列四个命题⇔,⇔由向量共线求参数利用两向量共线证明三点共线要强调有个公共点设是所在平面上的点,且𝑀𝐵𝑀𝐴𝑀𝐶,是中点,则𝑀𝐷𝑀𝐵的值为为中点,�数,使,即又,是两个不共线的非零向量共线向量定理的条件和结论是充要条件关系,既可以证明向量共线,也可以𝐵𝐷𝐵𝐶𝐶𝐷𝐴𝐵𝐴𝐵,𝐵𝐷共线,又它们有公共点,三点共。

5、它们的方向不定相同正确𝐴𝐵𝐷𝐶,𝐴𝐵𝐷𝐶且𝐴𝐵𝐷𝐶,又,是不共线的四点,四边形为平行四边形反之,若四边形为平行四边形,则𝐴𝐵𝐷𝐶且𝐴𝐵𝐷𝐶,因此,𝐴𝐵𝐷𝐶正确的模相等且方向相同又的模相等且方向相同的模相等且方向相同,故不正确当且方向相反时,即使,也不能得到,故“且”不是的充要条件,而是必要不充分条件综上所述,正确命题的序号是准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键,特别是对相等向量零向量等概念的理解要到位,充分利用反例进行否定也是行之有效的方法给出下列四个命题与共线,与共线,则与也共线任意两个相等的非零向量的始点与终点是个平行四边形的四顶点向量与不共线,则与都是非零向量有相同起点的两个非零向量不平行其中所有正确命题的序号是零向量与任向量都共线,命题。

6、是中点,则𝑀𝐷𝑀𝐵的值为为中点𝑀𝐷𝑀𝐷,𝑀𝐷𝑀𝐵见精练案选择题在中,已知是中点,设𝐶𝐵则𝐴𝑀𝐴𝑀𝐴𝐶𝐶𝑀𝐶𝐴𝐶𝐵已知向量与不共线,且𝐴𝐵,若三点共线,则实数,满足的条件是因为三点共线,所以存在实数,使得𝐴𝐵𝐴𝐷,即,所以由平面向量基本定理可得𝜆𝑛所以设都是非零向量,下列四个条件中,使𝑎𝑎𝑏𝑏成立的充分条件是且可以推得𝑎𝑎𝑏𝑏或𝑎𝑎𝑏𝑏,则为既不必要也不充分条件可以推得𝑎𝑎𝑏𝑏,为既不充分也不必要条件同为充分不必要条件故选已知点是平面上的定点,的内角所对的边分别为若动点满足𝑂𝑃𝑂𝐴𝐴𝐵𝐴𝐶,,,则动点的轨迹定通过的重心垂心内心外心根据题意,在中,动点满足𝑂𝑃𝑂𝐴𝐴𝐵𝐴𝐶。

7、𝑁的和,然后再转化为的和差关系由三角形中位线知�,故题型二向量的数乘运算及其几何意义如图所示,是中边的中点,分别是的中点已知𝐵𝐶试用分别表示𝐴𝐶𝐶𝐸和𝑀𝑁结合图形可非零向量可以在同直线上,此时就构不成四边形,更不可能是个平行四边形的四个顶点,所以命题不正确向量的平行只要方向相同或相反即可,与起点是否相同无关,所以命题不正确正确综上所述,正确命题的序号是与终点是个平行四边形的四顶点向量与不共线,则与都是非零向量有相同起点的两个非零向量不平行其中所有正确命题的序号是零向量与任向量都共线,命题中的可能为零向量,从而不正确两个相等的本概念是解决该类问题的关键,特别是对相等向量零向量等概念的理解要到位,充分利用反例进行否定也是行之有效的方法给出下列四个命题与共线,与共线,则与也共线任意两个。

8、平面向量的概念,理解两个向量相等的含义理解向量的几何表示向量的线性运算掌握向量加法减法的运算,并理解其几何意义掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义了解向量线性运算的性质及其几何意义向量的有关概念向量既有大小,又有方向的量叫作向量向量的大小叫作向量的模零向量长度为的向量,其方向是任意的单位向量长度等于个单位的向量平行向量方向相同或相反的非零向量,又叫共线向量,规定与任向量共线相等向量长度相等且方向相同的向量相反向量长度相等且方向相反的向量二向量的线性运算向量运算定义法则或几何意义运算律加法求两个向量和的运算交换律结合律减法求与的相反向量的和的运算叫作与的差对于两个向量和的运算,分清“平行四边形法则”与“三角形法则”的区别对于两个向量差的运算,方面两个向量应该移成同起点,另方面注意所。

9、等的非零向量的始点,故不正确当且方向相反时,即使,也不能得到,故“且”不是的充要条件,而是必要不充分条件综上所述,正确命题的序号是准确理解向量的基为平行四边形,则𝐴𝐵𝐷𝐶且𝐴𝐵𝐷𝐶,因此,𝐴𝐵𝐷𝐶正确的模相等且方向相同又的模相等且方向相同的模相等且方向相同确两个向量的模相等,但它们的方向不定相同正确𝐴𝐵𝐷𝐶,𝐴𝐵𝐷𝐶且𝐴𝐵𝐷𝐶,又,是不共线的四点,四边形为平行四边形反之,若四边形𝐵𝐷𝐶”是“四边形为平行四边形”的充要条件若则的充要条件是“且”其中正确命题的序号是根据平面向量基本知识进行判断即可不正确𝐵𝐷𝐶”是“四边形为平行四边形”的充要条件若则的充要条件是“且”其中正确命题的序号是根据平面向量基本知识进行判断即可不正确两个向量的模相等,但。

10、�𝑎𝑎𝑏𝑎𝐵𝑐𝑎𝑎𝑏,利用余弦定理得𝑎𝑐𝑏𝑐𝑎𝑎𝑏,整理得,则或舍,则三解答题设两向量,满足,的夹角为,若向量与向量的夹角为钝角,求实数的取值范围由已知得𝑒𝑒欲使夹角为钝角,需,得设此时即当时,向量与的夹角为当两向量夹角为钝角时,的取值范围是,,已知,是两个不共线的非零向量,若,起点相同,当为何值时,三向量的终点在条直线上若且与夹角为,则当为何值时,的值最小由题意可设,,化简得𝑚,与不共线𝑚⇒𝑚,𝑡当时,的终点在条直线上当时,有最小值已知向量,当时,求的值设函数,已知在中,内角的对边分别为,若,求,的取值范围𝑥𝑥𝑥𝑥由正弦定理𝑎𝐴𝑏𝐵可得,或,单元总结见学生用书平面向量的概念及运算见学生用书平面向量的实际背景及基本概念了解向量的实际背景理。

11、得差向量的方向三向量的数乘运算及其几何意义定义实数与向量的积是个向量,这种运算叫作向量的数乘,记作,它的长度与方向规定如下当时,与的方向相同当时,与的方向相反当时,运算律设,是两个实数,则实数与向量的积是个向量,常见错误有,四共线向量定理向量与共线的充要条件是存在唯个实数,使小结论已知𝑂𝐴𝑂𝐵𝑂𝐶,为常数,则三点共线的充要条件是在平面四边形中,为平面上点,若𝑃𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃𝐷𝐴𝐵𝐶𝐷,则点为四边形对角线的交点的中点的中点上点由𝑃𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃𝐷𝐴𝐵𝐶𝐷可得𝑃𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃𝐷𝑃𝐵𝑃𝐴𝑃𝐷𝑃𝐶,于是有𝑃𝐴𝑃𝐶,即𝑃𝐴𝑃𝐶,所以为的中点在中𝐴𝐶若点满足𝐵𝐷𝐷𝐶,则𝐴𝐷由题意可知𝐵𝐶�。

12、,则与的夹角为设与的夹角为,因为,所以𝑎𝑏,又因为,所以已知点则向量𝐴𝐵在𝐶𝐷方向上的投影为因为𝐴𝐵𝐶𝐷所以𝐴𝐵𝐶𝐷则向量𝐴𝐵在𝐶𝐷方向上的投影为𝐴𝐵𝐶𝐷𝐶𝐷已知为等边三角形设点,满足𝐴𝑃𝐴𝐵若𝐵𝑄𝐶𝑃,则由𝐵𝑄𝐶𝐴𝐴𝑃,解得已知与均为单位向量,其夹角为,有下列四个命题⇔,⇔,⇔,⇔,其中真命题是𝑎𝑏𝑎,又⇒,是真命题,故选二填空题已知向量且⊥,则实数由⊥,得,解得在正三角形中是边上的点,且满足𝐵𝐶𝐵𝐷,则𝐴𝐵𝐴𝐷在正三角形中是边上的点,且满足𝐵𝐶𝐵𝐷,则点为线段的中点,故有,且,则𝐴𝐵在中,角的对边分别为,且向量,与向量,共线,若角,则角由已知得𝐴𝐵𝐴𝐵𝑎𝑏𝑎𝑏𝐴𝐵�。

参考资料：

[1]TOP28高考数学第一轮复习 第四章 三角函数与解三角形课件 理 北师大版.ppt文档免费在线阅读（第404页，发表于2022-06-24）

[2]TOP21高考数学第一轮复习 第三章 数列课件 理 北师大版.ppt文档免费在线阅读（第325页，发表于2022-06-24）

[3]TOP30高考数学第一轮复习 第九章 直线、平面、简单几何体课件 理 北师大版.ppt文档免费在线阅读（第548页，发表于2022-06-24）

[4]TOP23高考数学第一轮复习 第七章 直线和圆课件 理 北师大版.ppt文档免费在线阅读（第281页，发表于2022-06-24）

[5]TOP22高考数学第一轮复习 第六章 不等式课件 理 北师大版.ppt文档免费在线阅读（第247页，发表于2022-06-24）

[6]TOP23高考数学第一轮复习 第八章 圆锥曲线课件 理 北师大版.ppt文档免费在线阅读（第439页，发表于2022-06-24）

[7]TOP24高考数学第一轮复习 第二章 函数与导数课件 理 北师大版.ppt文档免费在线阅读（第809页，发表于2022-06-24）

[8]TOP30高考数学大一轮复习 第6章 第1节 不等关系与不等式课件 文 新人教版.ppt文档免费在线阅读（第48页，发表于2022-06-24）

[9]TOP29高考数学大一轮复习 第5章 第5节 数列的综合应用课件 文 新人教版.ppt文档免费在线阅读（第53页，发表于2022-06-24）

[10]TOP38高考数学大一轮复习 第3章 第5节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式课件 文 新人教版.ppt文档免费在线阅读（第67页，发表于2022-06-24）

[11]TOP36高考数学大一轮复习 第3章 第7节 正弦定理和余弦定理的应用举例课件 文 新人教版.ppt文档免费在线阅读（第57页，发表于2022-06-24）

[12]TOP31高考数学大一轮复习 第3章 第6节 正弦定理和余弦定理课件 文 新人教版.ppt文档免费在线阅读（第57页，发表于2022-06-24）

[13]TOP38高考数学大一轮复习 第3章 第2节 同角三角函数的基本关系及诱导公式课件 文 新人教版.ppt文档免费在线阅读（第46页，发表于2022-06-24）

[14]TOP49高考数学大一轮复习 第3章 第4节 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及三角函数模型的应用课件 文 新人教版.ppt文档免费在线阅读（第69页，发表于2022-06-24）

[15]TOP32高考数学大一轮复习 第3章 第3节 三角函数的图象与性质课件 文 新人教版.ppt文档免费在线阅读（第87页，发表于2022-06-24）

[16]TOP38高考数学大一轮复习 第3章 第1节 任意角、弧度制及任意角的三角函数课件 文 新人教版.ppt文档免费在线阅读（第54页，发表于2022-06-24）

[17]TOP30高考数学大一轮复习 第2章 第12节 导数的综合应用课件 文 新人教版.ppt文档免费在线阅读（第57页，发表于2022-06-24）

[18]TOP34高考数学大一轮复习 第2章 第11节 导数在研究函数中的应用课件 文 新人教版.ppt文档免费在线阅读（第60页，发表于2022-06-24）

[19]TOP32高考数学大一轮复习 第2章 第10节 导数的概念及其运算课件 文 新人教版.ppt文档免费在线阅读（第35页，发表于2022-06-24）

[20]TOP27高考数学大一轮复习 第2章 第8节 函数与方程课件 文 新人教版.ppt文档免费在线阅读（第41页，发表于2022-06-24）