则直线的位置关系是异面垂直等边三角形与正方形有公共边，二面角的余弦值为，分别是的中点，则所成角的余弦值等于答案解析过点作⊥平面，垂足为，取中点，连接，则为二面角的平面角，设，则则为正方形的中心，如图所示建立直角坐标系，则，，，，，，图，连接交于点，连接，过作⊥于点，连接⊥，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如右图所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标为所以，解得组能力提升练太原调研已知正四棱柱中则与平面所成角的正弦值等于答案解析如所以，又因为，所以因为∥平面，平面的个法向量，因为，所以，即因为设平面的法向量为，由得，令，得设与平面所成角为底面，得两两垂直，所以以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系则，，所以⊥因为，是中点，所以⊥，又因为∩，所以⊥平面在平面中，过点作∥，因为⊥平面，所以⊥平面，又⊥线段上，且，∥平面，求实数的值解证明因为⊥底面，⊂底面，所以⊥，又因为⊥，∩，所以⊥平面，又因为⊂平面石家庄二模如图，在三棱锥中，⊥底面，⊥，为的中点，为的中点求证⊥平面求与平面所成角的正弦值设点在，得其中个设二面角的大小为，且由题意知为锐角，则，，因此，即所求二面角的正弦值为的正弦值为解法二在图中，平面的个法向量为设平面的法向量为，又，由此为二面角的平面角在中由∽知，因此，从而，即二面角因此，从而⊥，所以⊥解法在图中，过作⊥，垂足为，连由平面⊥平面，从而⊥平面，又⊥，由三垂线定理知⊥因作垂直的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系易得，因而，，所以，即⊥又⊥，因此⊥平面，又⊂平面，所以⊥证法二由题意，以为坐标原点，在平面内过作垂直的直线为轴，所在直线为轴，在平面内过，分别为的中点求证⊥求二面角的正弦值解证法过作⊥，垂足为，连由≌可证出≌所以解法二点到平面的距离，即到的距离，易得点到的距离为辽宁高考如图，和所在平面互相垂直，且，解法二点到平面的距离，即到的距离，易得点到的距离为辽宁高考如图，和所在平面互相垂直，且分别为的中点求证⊥求二面角的正弦值解证法过作⊥，垂足为，连由≌可证出≌所以，即⊥又⊥，因此⊥平面，又⊂平面，所以⊥证法二由题意，以为坐标原点，在平面内过作垂直的直线为轴，所在直线为轴，在平面内过作垂直的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系易得，因而，，所以因此，从而⊥，所以⊥解法在图中，过作⊥，垂足为，连由平面⊥平面，从而⊥平面，又⊥，由三垂线定理知⊥因此为二面角的平面角在中由∽知，因此，从而，即二面角的正弦值为解法二在图中，平面的个法向量为设平面的法向量为，又，由，得其中个设二面角的大小为，且由题意知为锐角，则，，因此，即所求二面角的正弦值为石家庄二模如图，在三棱锥中，⊥底面，⊥，为的中点，为的中点求证⊥平面求与平面所成角的正弦值设点在线段上，且，∥平面，求实数的值解证明因为⊥底面，⊂底面，所以⊥，又因为⊥，∩，所以⊥平面，又因为⊂平面，所以⊥因为，是中点，所以⊥，又因为∩，所以⊥平面在平面中，过点作∥，因为⊥平面，所以⊥平面，又⊥底面，得两两垂直，所以以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系则，设平面的法向量为，由得，令，得设与平面所成角为，因为，所以，即因为所以，又因为，所以因为∥平面，平面的个法向量，所以，解得组能力提升练太原调研已知正四棱柱中则与平面所成角的正弦值等于答案解析如图，连接交于点，连接，过作⊥于点，连接⊥，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如右图所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标为，其中，证明若是的中点，则，又，于是，所以⊥，即⊥由题设知是平面内的两个不共线向量设是平面的个法向量，则，即取，得又平面的个法向量是，所以，而二面角的余弦值为，因此，解得，或舍去，此时设，而，由此得点，所以因为∥平面，且平面的个法向量是，所以，即，亦即，从而于是，将四面体视为以为底面的三棱锥，则其高故四面体的体积课标全国卷Ⅱ如图，长方体中点，分别在，上，过点，的平面与此长方体的面相交，交线围成个正方形在图中画出这个正方形不必说明画法和理由求直线与平面所成角的正弦值解交线围成的正方形如图作⊥，垂足为，则，因为为正方形，所以于是，所以以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设是平面的法向量，则，即，所以可取又，故，所以与平面所成角的正弦值为江苏高考如图，在四棱锥中，已知⊥平面，且四边形为直角梯形，求平面与平面所成二面角的余弦值点是线段上的动点，当直线与所成的角最小时，求线段的长解以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则各点的坐标为，因为⊥平面，所以是平面的个法向量，因为，设平面的法向量为，则，即，令，解得，所以是平面的个法向量从而所以平面与平面所成二面角的余弦值为因为，设，又，则，又，从而，设，∈则，当且仅当，即时的最大值为因为在，上是减函数，此时直线与所成角取得最小值又因为，所以第七章立体几何立体几何中的向量方法练习理组基础达标练若直线的方向向量为，平面的法向量为，有可能使∥的是答案解析若∥，则，而选项中，选项中，选项中，选项中，故选海口模拟在空间中，已知则异面直线与所成角的大小为答案解析即与所成的角为西安模拟如图所示，正方体的棱长为，分别为和上的点则与平面的位置关系是相交平行垂直不能确定答案解析分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，，，又⊥是平面的法向量，且⊄平面，∥平面辽宁五校联考长方体中设点关于直线的对称点为，则与两点之间的距离为答案解析将长方体中含有的平面取出，过点作⊥，延长到，使，则是关于的对称点，如图所示，过作⊥，垂足为，连接依题意所以，故选潍坊模拟正三棱柱中则与平面所成角的正弦值为答案解析建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，平面的个法向量为，所以与平面所成的角的正弦值为如图所示，在正方体中，是底面正方形的中心，是的中点，是的中点，则直线的位置关系是平行相交异面垂直异面不垂直答案解析建立坐标系如图，设正方体的棱长为，则，则直线的位置关系是异面垂直等边三角形与正方形有公共边，二面角的余弦值为，分别是的中点，则所成角的余弦值等于答案解析过点作⊥平面，垂足为，取中点，连接，则为二面角的平面角，设，则则为正方形的中心，如图所示建立直角坐标系，则，，，，，如图所示，正方体的棱长为，是上的点，则点到平面的距离是答案解析解法以点为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，设点，连接，则连接，易知⊥平面，则为平面的个法向量点到平面的距离是解法二点到平面的距离，即到的距离，易得点到的距离为辽宁高考如图，和所在平面互相垂直，且分别为的中点求证⊥求二面角的正弦值解证法过作⊥，垂足为，连由≌可证出≌所以，即⊥又⊥，因此⊥平面，又⊂平面，所以⊥证法二由题意，以为坐标原点，在平面内过作垂直的直线为轴，所在直线为轴，在平面内过作垂直的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系易得，因而，，所以因此，从而⊥，所以⊥解法在图中，过作⊥，垂足为，连由平面⊥平面，从而⊥平面，又⊥，由三垂线定理知⊥因此解法二点到平面的距离，即到的距离，易得点到的距离为辽宁高考如图，和所在平面互相垂直，且分别为的中点求证⊥求二面角的正弦值解证法过作⊥，垂足为，连由≌可证出≌所以，即⊥又⊥，因此⊥平面，又⊂平面，所以⊥证法二由题意，以为坐标原点，在平面内过作垂直的直线为轴，所在直线为轴，在平面内过作垂直的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系易得，因而，，所以因此，从而⊥，所以⊥解法在图中，过作⊥，垂足为，连由平面⊥平面，从而⊥平面，又⊥，由三垂线定理知⊥因此为二面角的平面角在中由∽知，因此，从而，即二面角的正弦值为解法二在图中，平面的个法向量为设平面的法向量为，又，由，得其中个设二面角的大小为，且由题意知为锐角，则，，因此，即所求二面角的正弦值为石家庄二模如图，在三棱锥中，⊥底面，⊥，为的中点，为的中点求证⊥平面求与平面所成角的正弦值设点在线段上，且，∥平面，求实数的值解证明因为⊥底面，⊂底面，所以⊥，又因为⊥，∩，所以⊥平面，又因为⊂平面，所以⊥因为，是中点，所以⊥，又因为∩，所以⊥平面在平面中，过点作∥，因为⊥平面，所以⊥平面，又⊥底面，得两两垂直，所以以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系则，设平面的法向量为，由得，令，得设与平面所成角为，因为，所以，即因为所以，又因为