19课程设计_矩阵的特征值与特征向量的计算x文档

值于与对应的特征向量的个线性组合应用幂法计算的主特征值及对应的特征向量时，如果或，迭代向量的各个不等于零的分量将随而趋于无究或趋于零，这样电算时就可能溢出为此，就南非要将迭且有，设，不全为零当由此，当充分大时，接近其中，对于任意初始向量不全为零且则由幂法有如果主特征值为实的重根，即有矩阵的特征值与特征向量计算第页共页又设有个线性无关的特征向量，可能很慢定理设个线性无关的特征向量设特征值满足幂法且则从而是说明相邻迭代向量分量的比值收敛到主特征，且收敛速度由比值来度量，越小收敛越快，但越小收敛越快，但，而接近于时，收敛越接近特征向量下面考虑主特征值的计算用表示的第个分量，考虑相邻迭代向量的分量的比值，设即矩阵的特征值与特征向量计算第页共页且收敛速度由比值确定且有这说明，当充分大时，有，或越来展开式且设且有由假设式，则量，由矩阵的乘幂构造向量序列称为迭代向量下面来分折关系与及由设为中个基本，于是，有，对应特征向量为，即且线性无关设特征值满足即为强占优幂法的基本思想，是任取个非零初始向冥法及反冥法冥法幂法是种计算矩阵的主特征值的种迭代法，它最大优点是方法简单，矩阵的特征值与特征向量计算第页共页适合于计算大型稀疏矩阵的主特征值设，其特征值为说明阶矩阵阶矩阵阶单位阵，矩阵特征值实数域上的维向量实数域上的维向量实属上的规范化向量范化正交组，即则对于任何非零向量符号对称矩阵，对于任意非零向量，称为对应于向量的商定理设为对称矩阵其特征值次序记作，对应的特征向量组成规个特征向量，则是的特征向量定理设，则的每个特征值必属于下述个圆盘之中，矩阵的特征值与特征向量计算第页共页定义设是阶是关定理定理如果，是矩阵的特征值，则有定理设与为相似矩阵，则与有相同的特征值若是的关定理定理如果，是矩阵的特征值，则有定理设与为相似矩阵，则与有相同的特征值若是的个特征向量，则是的特征向量定理设，则的每个特征值必属于下述个圆盘之中，矩阵的特征值与特征向量计算第页共页定义设是阶是对称矩阵，对于任意非零向量，称为对应于向量的商定理设为对称矩阵其特征值次序记作，对应的特征向量组成规范化正交组，即则对于任何非零向量符号说明阶矩阵阶矩阵阶单位阵，矩阵特征值实数域上的维向量实数域上的维向量实属上的规范化向量冥法及反冥法冥法幂法是种计算矩阵的主特征值的种迭代法，它最大优点是方法简单，矩阵的特征值与特征向量计算第页共页适合于计算大型稀疏矩阵的主特征值设，其特征值为，对应特征向量为，即且线性无关设特征值满足即为强占优幂法的基本思想，是任取个非零初始向量，由矩阵的乘幂构造向量序列称为迭代向量下面来分折关系与及由设为中个基本，于是，有展开式且设且有由假设式，则即矩阵的特征值与特征向量计算第页共页且收敛速度由比值确定且有这说明，当充分大时，有，或越来越接近特征向量下面考虑主特征值的计算用表示的第个分量，考虑相邻迭代向量的分量的比值，设从而是说明相邻迭代向量分量的比值收敛到主特征，且收敛速度由比值来度量，越小收敛越快，但越小收敛越快，但，而接近于时，收敛可能很慢定理设个线性无关的特征向量设特征值满足幂法且则如果主特征值为实的重根，即有矩阵的特征值与特征向量计算第页共页又设有个线性无关的特征向量，其中，对于任意初始向量不全为零且则由幂法有且有，设，不全为零当由此，当充分大时，接近于与对应的特征向量的个线性组合应用幂法计算的主特征值及对应的特征向量时，如果或，迭代向量的各个不等于零的分量将随而趋于无究或趋于零，这样电算时就可能溢出为此，就南非要将迭代向量加以规范化设有非零向量等或归范化其中表示向量绝对值最大的元素，即如果有草药，则其中为所有绝对值最大的分量中最小指标显然有下面性性质设，为实数，则矩阵的特征值与特征向量计算第页共页在定理条件下幂法可改进为任取初始向量且迭代规范化，，，于是，由上式产生迭代向量序列及规范化向量且改进幂法计算公式为设且对于规范化迭代下面考查，与计算及的关系由且有其中当考查规范化向量序列由及式，则有矩阵的特征值与特征向量计算第页共页当考查迭代向量序列终止条件这两步保证取出来的按模最大特征值是原值，而非其绝对值。

同样，取个矩阵进行测试计算结果为矩阵的特征值与特征向量计算第页共页例利用你所编制的子程序求如下矩阵从到阶按模最小的特征值及对应特征向量。

代码见附录，程序结果如下图同样只给出阶时的特征值，具体结果见附录矩阵的特征值与特征向量计算第页共页参考文献姜启源，谢金星，叶俊编数学模型第三版北京高等教育出版社，王建卫，曲中水凌滨编著程序设计北京中国水利水电出版社，李庆扬，王能超，易大义编著数值分析第四版武汉华中科技大学出版社，矩阵的特征值与特征向量计算第页共页附录这个函数用来生成老师要求记算的那个矩阵，是指定阶数先全部初始化为设置主对角线上的值为设置主对角线傍边的两条斜线上的的值为这个函数用于使用幂法求矩阵特征向量和特征值矩阵，初始向量，精度，记录上次迭代得到的特征值这个程序用于求阶矩阵的特征值和特征向量生成要计算的矩阵生成初始微量矩阵的特征值与特征向量计算第页共页计算阶特征值输出特征值以下三句代码为输出特征值和特征微量阶使用反幂法求矩阵按模最小特征值，为按模最小特征值，是对应特征向量相当于规范化初始向量按模最小为按模最大的倒数终止条件这两步保证取出来的按模最大特征值是原值，而非其绝对值。

这个程序用于使用反幂法求阶矩阵的特征值和特征向量阶特征值阶矩阵的特征值与特征向量计算第页共页使用幂法求矩阵最大特征值和特征向量结果阶阶阶阶矩阵的特征值与特征向量计算第页共页阶阶阶阶阶矩阵的特征值与特征向量计算第页共页阶阶使用反幂法求矩阵按模最小特征值和特征向量结果阶矩阵的特征值与特征向量计算第页共页阶阶阶阶阶矩阵的特征值与特征向量计算第页共页阶阶阶阶矩阵的特征值与特征向量计算第页共页阶矩阵的特征值与特征向量计算矩阵的特征值与特征向量的计算摘要物理，力学，工程技术中的很多问题在数学上都归结于求矩阵特征值的问题，例如振动问题桥梁的振动，机械的振动，电磁振动等物理学中些临界值的确定问题以及理论物理中的些问题。

矩阵特征值的计算在矩阵计算中是个很重要的部分，本文使用幂法和反幂法分别求矩阵的按模最大，按模最小特征向量及对应的特征值。

幂法是种计算矩阵主特征值的种迭代法，它最大的优点是方法简单，对于稀疏矩阵比较合适，但有时收敛速度很慢。

其基本思想是任取个非零的初始向量。

由所求矩阵构造向量序列。

再通过所构造的向量序列求出特征值和特征向量。

反幂法用来计算矩阵按模最小特征向量及其特征值，及计算对应于个给定近似特征值的特征向量。

本文中主要使用反幂法计算个矩阵的按模最小特征向量及其对应的特征值。

计算矩阵按模最小特征向量的基本思想是将其转化为求逆矩阵的按模最大特征向量。

然后通过这个按模最大的特征向量反推出原矩阵的按模最小特征向量。

关键词矩阵特征值特征向量冥法反冥法矩阵的特征值与特征向量计算矩阵的特征值与特征向量计算目录引言相关定理。

符号说明冥法及反冥法冥法反冥法算法参考文献附录矩阵的特征值与特征向量计算第页共页引言在本论文中，我们主要讨论矩阵的特征值和特征向量的计算，我们知道，有很多现实中的问题都可以用到矩阵特征值与特征向量计算的知识，比如，在物理力学和工程技术方面有很多的应用，并且发挥着极其重要的作用因为这些问题都可归结为求矩阵特征值的问题，具体到些具体问题，如振动问题，物理中些临界值的确定问题以及些理论物理中的问题在本论文中，我们主要介绍求矩阵的特征值与特征向量的些原理和方法，原理涉及高得代数中矩阵的相关定理，方法主要介绍冥法及反冥法并利用算法的程