给出下列命题向量与向量的长度相等,方向相反两个相等向量的起点相同,则其终点必相同与是共线向量,则四点共线其中不正确的命题的个数是解析正确中,而不等于正确中与所在直线还可能平行,综上可知不正确故选设,是两个不共线的向量,且向量与共线,则解析由题意存在实数,使,即则解得,答案考点突破剖典例找规律平面向量的基本概念考点例下列有关向量相等的命题若,则若,是不共线的四点,则是四边形为平行四边形的充要条件若则的充要条件是且其中正确命题的序号是设为单位向量,若为平面内的个向量,则故选,与同向,存在实数,使解析如图,连并延长交于点,则点为的中点,且所以面内四点,且,那么定有中点,是中点,与交于点,设,,,则,为已知,是平则,求差用三角形法则,求首尾相连向量的和用三角形法则找出图形中的相等向量共线向量,将所求向量与已知向量转化到同个平行四边形或三角形中求解即时训练吉林省实验中学模拟在中,是,已知,所以答案反思归纳向量线性运算的解题策略向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则,般共起点的向量求和用平行四边形法,将代入,得,解得故选由平行四边形法则有,得,又高考四川卷如图,在平行四边形中,对角线与交于点,,则解析如图,连接,则二平面向量的线性运算例南昌模拟如图,在中,设,,的中点为,的中点为,的中点恰为,则等于准确理解向量的基本概念熟记些常用结论向量相等具有传递性,向量共线不具有传递性,但非零向量的共线具有传递性向量与数量不同,数量可以比较大小,向量则不能,但向量的模是非负实数,故可比较大小考点个数是故选不正确相反向量满足方向相反,长度相等不正确,两向量不能比较大小不正确当时,与可能不共线正确答案反思归纳解平面向量有关概念问题的关键点向量是既有大小又有方向的量,与的模相等,但方向不定相同,故是假命题若与平行,则与的方向有两种情况是同向,二是反向,反向时,故也是假命题综上所述,假命题的,的长度相等且方向相同,故不正确当且,不定也可以是故且不是的充要条件,而是必要不充分条件综上所述,正确命题的序号是故选平行四边形,则且,因此,正确,的长度相等且方向相同,又的长度相等且方向相同,向不定相同正确,且,又,是不共线的四点,四边形为平行四边形反之,若四边形为,且,则,为实数,若,则与共线两向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件其中错误命题的序号为解析不正确两个向量的长度相等,但它们的方向,且,则,为实数,若,则与共线两向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件其中错误命题的序号为解析不正确两个向量的长度相等,但它们的方向不定相同正确,且,又,是不共线的四点,四边形为平行四边形反之,若四边形为平行四边形,则且,因此,正确,的长度相等且方向相同,又的长度相等且方向相同的长度相等且方向相同,故不正确当且,不定也可以是故且不是的充要条件,而是必要不充分条件综上所述,正确命题的序号是故选向量是既有大小又有方向的量,与的模相等,但方向不定相同,故是假命题若与平行,则与的方向有两种情况是同向,二是反向,反向时,故也是假命题综上所述,假命题的个数是故选不正确相反向量满足方向相反,长度相等不正确,两向量不能比较大小不正确当时,与可能不共线正确答案反思归纳解平面向量有关概念问题的关键点准确理解向量的基本概念熟记些常用结论向量相等具有传递性,向量共线不具有传递性,但非零向量的共线具有传递性向量与数量不同,数量可以比较大小,向量则不能,但向量的模是非负实数,故可比较大小考点二平面向量的线性运算例南昌模拟如图,在中,设,,的中点为,的中点为,的中点恰为,则等于高考四川卷如图,在平行四边形中,对角线与交于点,,则解析如图,连接,则,得,又,将代入,得,解得故选由平行四边形法则有,已知,所以答案反思归纳向量线性运算的解题策略向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则,般共起点的向量求和用平行四边形法则,求差用三角形法则,求首尾相连向量的和用三角形法则找出图形中的相等向量共线向量,将所求向量与已知向量转化到同个平行四边形或三角形中求解即时训练吉林省实验中学模拟在中,是中点,是中点,与交于点,设,,,则,为已知,是平面内四点,且,那么定有解析如图,连并延长交于点,则点为的中点,且所以故选,与同向,存在实数,使,即是不共线的两个非零向量,解得,或又,反思归纳利用共线向量定理解题的方法证明向量共线,对于向量若存在实数,使,则与共线证明三点共线,若存在实数,使,则三点共线求参数的值,利用共线向量定理及向量相等的条件列方程组求参数的值即时训练在中,为边上任意点,为的中点,,则的值为解析法为边上任意点,可设,为的中点,,又,法二假设为的中点,则,为的中点,,答案助学微博进行向量运算时,要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中,充分利用相等向量相反向量,三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质,把未知向量用已知向量表示出来向量的线性运算类似于代数多项式的运算,实数运算中的去括号移项合并同类项提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用三点共线⇔存在实数对任意点不在直线上,有利用向量共线证明向量所在直线平行时,必须说明这两条直线不重合可由图形直观说明首尾顺次相接的多个向量的和等于从第个向量起点指向最后个向量终点的向量思想方法融思想促迁移方程思想在平面向量的线性运算中的运用典例如图所示,在中,,,与相交于点,设,试用和表示向量解设,则,三点共线,与共线故存在实数,使得,即,消去得,即,,又三点共线,与共线,可得联立,解得,故方法点睛在遇到三点共线向量相等时,常常运用方程思想求解如本题,根据向量共线定理及平面向量基本定理,利用待定系数法将所求向量用已知向量表示,构成方程组求解即时训练高考北京卷已知点,若平面区域由所有满足,的点组成,则的面积为解析设点由,得得由,得,即作出不等式约束条件下的可行域如图阴影部分所示,点,到直线的距离,点,之间的距离,故阴影部分的面积为答案第四篇平面向量必修第节平面向量的概念及线性运算最新考纲了解向量的实际背景理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义理解向量的几何表示掌握向量加法减法的运算,并理解其几何意义掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义了解向量线性运算的性质及其几何意义编写意图平面向量的概念及线性运算是高考必考内容,难度不大本节重点突出平面向量的线性运算及两个向量共线的含义,难点突破平面向量的有关概念,如零向量与其他向量的关系,向量与实数的区别等,通过思想方法栏目使学生体会了运用方程思想解有关平面向量的线性运算问题考点突破思想方法夯基固本夯基固本抓主干固双基向量的有关概念定义既有又有的量叫做向量知识梳理大小方向表示方法用字母表示如等用有向线段表示有向线段的长度表示向量的,箭头所指的方向表示向量的如,等大小方向模向量的叫做向量的模,记作,或,大小特殊向量名称定义备注零向量长度为的向量记作,的方向是任意的单位向量长度等于的向量非零向量的同向单位向量为平行共线向量方向相同或的非零向量与任向量平行或共线相等向量长度且方向的向量两个向量只有相等或不相等,不能比较大小相反向量长度且方向的向量的相反向量为零个单位相反相等相同相等相反向量的线性运算见附表共线向量定理向量与共线,当且仅当有唯个实数,使得质疑探究当,时,定有吗提示不定当时,有当时可以是任意向量,不定共线基础自测如图,已知分别是的边的中点,则下列说法正确的是解析由平面向量相等的概念知选如图为互相垂直的单位向量,则向量可表示为解析由题图可知则故选在中,,,若点满足,则等于解析如图所示,故选给出下列命题向量与向量的长度相等,方向相反两个相等向量的起点相同,则其终点必相同与是共线向量,则四点共线其中不正确的命题的个数是解析正确中,而不等于正确中与所在直线还可能平行,综上可知不正确故选设,是两个不共线的向量,且向量与共线,则解析由题意存在实数,使,即则