示焦点在轴上的双曲线,当上述两种条件都不满足时,不表示双曲线,所以表示双曲线的条件是等轴双曲线的定义及性质实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,其标准方程为,离心率渐近线方程为它们互相,并且平分实轴和虚轴所成的角垂直基础自测已知方程表示双曲线,则的取值范围为,,解析由方程表示双曲线可知,解得故选高考重庆卷设分别为双曲线的左右焦点,双曲线上存在点使得,则该双曲线的离心率为解析根据已知条件,知,所以,所以,双曲线的离心率,故选高考广东卷若实数满足,这两个方程表示的是双曲线焦距都是故选已知双曲线的个焦点坐标为则其渐近线方程为解析由,可得,双曲线方程为,,故从而,所以由得,所以在双曲线中,得,即故,解得,从而由于,故选椭圆中又因为四边形为矩形,所以所以,即在第二四象限的公共点若四边形为矩形,则的离心率是解析由得,故,即所以双曲线的渐近线方程为的离心率为,则的渐近线方程为高考浙江卷如图是椭圆与双曲线的公共焦点分别是已知双曲线方程或求其渐近线方程只需把改写为整理即可即时训练高考新课标全国卷Ⅰ已知双曲线线斜率的关系已知双曲线的离心率求渐近线方程要注意及判断焦点所在的坐标轴已知渐近线方程求离心率时,若焦点位置不确定,则或,因此离心率有两种可能答案反思归纳求双曲线的离心率即是求与的比值,只需根据条件列出关于的方程或不等式即可解决,并且需注意双曲线的离心率与渐近近线为分别与联立,解得,,,的中点,由⊥得,,化简为则由双曲线定义可知,即,化简得,故选如图,设线段的中点为,由题意得,直线垂直于直线,双曲线的两渐高考浙江卷设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点若点,满足,则该双曲线的离心率是解析在中长春第四次调研双曲线的左右焦点分别是,过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点,若垂直于轴,则双曲线的离心率为设双曲线方程为,根据条件求出若已知双曲线的渐近线方程,可利用有公共渐近线的双曲线方程为,再由条件求出的值即可考点二双曲线的几何性质例是指整条双曲线还是双曲线的支求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法若已知双曲线的焦点位置可设双曲线的标准方程,再根据及渐近线之间的关系,求出的值若不能确定焦点位置,则可反思归纳运用双曲线定义解题的两个注意点在解决与双曲线的焦点有关的距离问题时,通常考虑利用双曲线的定义在运用双曲线的定义解题时,应特别注意定义中的条件“差的绝对值”,弄清楚,由双曲线的定义知,点的轨迹是以,为焦点的双曲线的左支,且,则动圆圆心的轨迹方程为答案,即,由双曲线定义得,两边平方得,得设动圆的半径为,则,即,由双曲线定义得,两边平方得,得设动圆的半径为,则,由双曲线的定义知,点的轨迹是以,为焦点的双曲线的左支,且,则动圆圆心的轨迹方程为答案反思归纳运用双曲线定义解题的两个注意点在解决与双曲线的焦点有关的距离问题时,通常考虑利用双曲线的定义在运用双曲线的定义解题时,应特别注意定义中的条件“差的绝对值”,弄清楚是指整条双曲线还是双曲线的支求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法若已知双曲线的焦点位置可设双曲线的标准方程,再根据及渐近线之间的关系,求出的值若不能确定焦点位置,则可设双曲线方程为,根据条件求出若已知双曲线的渐近线方程,可利用有公共渐近线的双曲线方程为,再由条件求出的值即可考点二双曲线的几何性质例长春第四次调研双曲线的左右焦点分别是,过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点,若垂直于轴,则双曲线的离心率为高考浙江卷设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点若点,满足,则该双曲线的离心率是解析在中则由双曲线定义可知,即,化简得,故选如图,设线段的中点为,由题意得,直线垂直于直线,双曲线的两渐近线为分别与联立,解得,,,的中点,由⊥得,,化简为答案反思归纳求双曲线的离心率即是求与的比值,只需根据条件列出关于的方程或不等式即可解决,并且需注意双曲线的离心率与渐近线斜率的关系已知双曲线的离心率求渐近线方程要注意及判断焦点所在的坐标轴已知渐近线方程求离心率时,若焦点位置不确定,则或,因此离心率有两种可能已知双曲线方程或求其渐近线方程只需把改写为整理即可即时训练高考新课标全国卷Ⅰ已知双曲线的离心率为,则的渐近线方程为高考浙江卷如图是椭圆与双曲线的公共焦点分别是,在第二四象限的公共点若四边形为矩形,则的离心率是解析由得,故,即所以双曲线的渐近线方程为,故选椭圆中又因为四边形为矩形,所以所以,即由得,所以在双曲线中,得,即故,解得,从而由于,,故从而,所以成等比数列反思归纳直线与双曲线的位置关系判断直线与双曲线,的位置关系时,由消去后得判断方程特征交点个数位置关系直线与双曲线的渐近线平行,直线与双曲线相交相交,相切直线与双曲线相离解决与双曲线有关的参数的取值范围或最值问题的常用方法利用数形结合法求解或构造参数满足的不等式组,通过解不等式组求得参数的取值范围建立目标函数,进而转化为求解函数的值域解决直线与双曲线相交问题时,若涉及弦的中点或斜率,般用点差法求解要注意验证求得的结果是否符合题意即时训练大连模拟过双曲线的右焦点,倾斜角为的直线交双曲线于,两点,为坐标原点求求的面积解由双曲线的方程,得直线的方程为设由得,直线的方程可化为,原点到直线的距离为解决双曲线相关问题时应注意定义中两个距离之差的绝对值,若无绝对值,则其对应的轨迹为双曲线支区分双曲线中的大小关系与椭圆中大小关系,在双曲线中,而在椭圆中双曲线的离心率,,而椭圆的离心率,助学微博双曲线为等轴双曲线⇔离心率⇔双曲线的两条渐近线互相垂直与双曲线有公共渐近线的双曲线的方程可设为已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时,只要令双曲线的标准方程中为就得到两渐近线方程,即方程就是双曲线的两条渐近线方程思想方法融思想促迁移方程思想在求双曲线的离心率中的应用典例高考湖南卷设,是双曲线的两个焦点,是上点若,且的最小内角为,则的离心率为解析不妨设,由,可得,,,整理得即,答案方法点睛双曲线方程中参数不能分别求出时,可利用方程思想求离心率,其关键是建立个关于的方程,利用双曲线中关系消去,求得离心率即时训练西安模拟已知双曲线,过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于两点,是坐标原点若⊥,则双曲线的离心率为解析设右焦点为则又⊥,故,即,从而,即,解得舍去负值,故选第节双曲线最新考纲了解双曲线的定义几何图形和标准方程知道它的简单几何性质范围对称性顶点离心率渐近线理解数形结合思想的应用编写意图双曲线是历年高考命题的重点热点,多与圆椭圆抛物线等综合命题,常以选择题填空题形式呈现,本节围绕双曲线的定义及标准方程,双曲线的几何性质离心率和渐近线等以及直线与双曲线的位置关系三个重点精心选题,重在巩固基础知识和基本方法,突出方程思想数形结合思想的应用考点突破思想方法夯基固本夯基固本抓主干固双基知识梳理双曲线的定义平面内与两个定点,的距离的等于常数小于的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的,两焦点间的距离叫做双曲线的差的绝对值焦点焦距质疑探究平面内与两定点,的距离之差的绝对值等于常数的动点的轨迹定为双曲线吗提示只有当时,动点的轨迹不存在双曲线的标准方程及简单几何性质见附表质疑探究方程表示双曲线的条件是什么提示若,表示焦点在轴上的双曲线,当上述两种条件都不满足时,不表示双曲线,所以表示双曲线的条件是等轴双曲线的定义及性质实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,其标准方程为,离心率渐近线方程为它们互相,并且平分实轴和虚轴所成的角垂直基础自测已知方程表示双曲线,则的取值范围为,,解析由方程表示双曲线可知,解得故选高考重庆卷设分别为双曲线的左右焦点,双曲线上存在点使得,则该双曲线的离心率为解析根据已知条件,知,所以,所以,双曲线的离心率,故选高考广东卷若实数满足,这两个方程表示的是双曲线焦距都是故选已知双曲线的个焦点坐标为则其渐近线方程为解析由,可得,双曲线方程为,其渐近线方程为答案高考北京卷设双曲线的两个焦点为个顶点是则的方程为解析根据已知条件可判断双曲线的中心在坐标原点,焦点在轴上,所以于是,所以双曲线的方程为答案考点突破剖典例找规律双曲线的定义及标准方程考点例高考江西卷过双曲线的右顶点作轴的垂线,与的条渐近线相交于点若以的右焦点为圆心半径为的圆经过,两点为坐标原点,则双曲线的方程为合肥模拟已知分别为双曲线的左右焦点,点在双曲线上,且,则已知圆,定点求过定点且和圆外切的动圆圆心的轨迹方程为解析设双曲线的右焦点为,则,其中,且,不妨将直线代入双曲线的条渐近线方程,得,则,由,得,即,所以,所以,解得,所以,所以所求双曲线的方程为故选由题意知在中,由余弦定理得,即,由双曲线定义得,两边平方得,得设动圆的半径为,则,由双曲线的定义知,点的轨迹是以,为焦点的双曲线的左支,且,则动圆圆心的轨迹方程为答案反思归纳运用双曲线定义解题的两个注意点在解决与双曲线的焦点有关的距离问题时,通常考虑利用双曲线的定义在运用双曲线的定义解题时,应特别注意定义中的条件“差的绝对值”,弄清楚是指整条双曲线还是双曲线的支求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法若已知双曲线的焦点位置可设双曲线的标准方程,再根据及渐近线之间的关系,求出的值若不能确定焦点位置,则可设双曲线方程为,根据条件求出若已知双曲线的渐近线方程,可利用有公共渐近线的双曲线方程为,再由条件求出的值即可考点二双曲线的几何性质例长,即,由双曲线定义得,两边平方得,得设动圆的半径为,则,由双曲线的定义知,点的轨迹是以,为焦点的双曲线的左支,且,则动圆圆心的轨迹方程为答案反思归纳运用双曲线定义解题的两个注意点在解决与双曲线的焦点有关的距离问题时,通常考虑利用双曲线的定义在运用双曲线的定义解题时,应特别注意定义中的条件“差的绝对值”,弄清楚是指整条双曲线还是双曲线的支求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法若已知双曲线的焦点位置可设双曲线的标准方程,再根据及渐近线之间的关系,求出的值若不能确定焦点位置,则可设双曲线方程为,根据条件求出若已知双曲线的渐近线方程,可利用有公共渐近线的双曲线方程为,再由条件求出的值即可考点二双曲线的几何性质例长春第四次调研双曲线的左右焦点分别是,过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点,若垂直于轴,则双曲线的离心率为高考浙江卷设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点若点,满足,则该双曲线的离心率是解析在中则由双曲线定义可知,即,化简得,故选如图,设线段的中点为,由题意得,直线垂直于直线,双曲线的两