特别注意利用公式求弦长时,是在方程有解的情况下进行的,不要忽略判别式,判别式是检验所求参数的值是否有意义的依据大于零基础自测直线与椭圆的位置关系是相交相切相离不确定解析,显然直线恒过点而点在椭圆内,故直线和椭圆总相交湖北孝感模拟已知抛物线的准线过双曲线的左顶点,且此双曲线的条渐近线方程为,则双曲线的焦距为解析因为抛物线的准线,所以,双曲线的渐近线方程为,故,,双曲线的焦距为已知直线与抛物线相切,则等于解析联立方程组消去得,由已知得解得如图,中心均为原点的双曲线与椭圆有公共焦点是双曲线的两顶点若将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是解析设双曲线的实轴长得因为直线与抛物与的距离可得,解得因为所以,故符合题意的直线存在,其方程为圆与直线的方程若不存在,说明理由解将,代入,得,所以故所求的抛物线的方程为,其准线方程为假设存在符合题意的直线,其方程为由,知抛物线过点,求抛物线的方程,并求其准线方程是否存在平行于为坐标原点的直线,使得直线与抛物线有公共点,且直线与的距离等于若存在,求出得弦长问题,较少单独考查弦长的求解,般是已知弦长或三角形面积的信息求参数或直线圆锥曲线的方程解决此类问题的关键是设出点的坐标,利用根与系数的关系,求得弦长或面积,列出方程求解即时训练已时反思归纳研究直线与圆锥曲线的位置关系,般是联立直线与圆锥曲线的方程,根据方程组解的个数判断,当已知直线与圆锥曲线相交于两点时,要注意判别式大于的条件直线与圆锥曲线相交所,同理可得,,当且仅当时取等号,所以,当又≨在的垂直平分线上,≨由,得,,与关于原点对称,且,问的面积是否存在最小值若存在,求出此最小值及相应直线的方程若不存在,请说明理由解在线段的垂直平分线上,所以,得哈师大附中月考如图,已知圆,点是圆上任意点线段的垂直平分线和半径相交于求动点的轨迹的方程已知是轨迹上的三个动点,点在第象限,所以故选椭圆的半焦距,所以椭圆的右焦点为抛物线的焦点所以所以所求抛物线方程为答案考点二直线与圆锥曲线例解得,所以,点到直线的距离故解得所以双曲线方程为故,则双曲线的离心率为若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为解析由双曲线的方程知,故双曲线的渐近线为,由问题的关键尤其是区分椭圆和双曲线标准方程中三者的关系即时训练河北省正定中学三模已知双曲线的中心在原点,双曲线两条渐近线与抛物线交于,两点,且故双曲线的方程为答案反思归纳圆锥曲线间的综合问题,涉及两种及以上的曲线的方程和性质的相关运算,准确记忆方程中各参数的几何意义,彼此之间的关系和相关几何性质是解决此类轴长为故选椭圆的焦点坐标为离心率为由于双曲线与椭圆有相同的焦点,因此又双曲线的离心率,所以,所以,有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为解析设双曲线方程为,由抛物线的准线方程为,代入上式得≨,≨故双曲线的实等轴双曲线的中心在原点,焦点在轴上,与抛物线的准线交于,两点则的实轴长为已知双曲线和椭圆等轴双曲线的中心在原点,焦点在轴上,与抛物线的准线交于,两点则的实轴长为已知双曲线和椭圆有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为解析设双曲线方程为,由抛物线的准线方程为,代入上式得≨,≨故双曲线的实轴长为故选椭圆的焦点坐标为离心率为由于双曲线与椭圆有相同的焦点,因此又双曲线的离心率,所以,所以故双曲线的方程为答案反思归纳圆锥曲线间的综合问题,涉及两种及以上的曲线的方程和性质的相关运算,准确记忆方程中各参数的几何意义,彼此之间的关系和相关几何性质是解决此类问题的关键尤其是区分椭圆和双曲线标准方程中三者的关系即时训练河北省正定中学三模已知双曲线的中心在原点,双曲线两条渐近线与抛物线交于,两点,且,则双曲线的离心率为若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为解析由双曲线的方程知,故双曲线的渐近线为,由解得,所以,点到直线的距离故解得所以双曲线方程为故所以故选椭圆的半焦距,所以椭圆的右焦点为抛物线的焦点所以所以所求抛物线方程为答案考点二直线与圆锥曲线例哈师大附中月考如图,已知圆,点是圆上任意点线段的垂直平分线和半径相交于求动点的轨迹的方程已知是轨迹上的三个动点,点在第象限,与关于原点对称,且,问的面积是否存在最小值若存在,求出此最小值及相应直线的方程若不存在,请说明理由解在线段的垂直平分线上,所以,得又≨在的垂直平分线上,≨由,得,,同理可得,,当且仅当时取等号,所以,当时反思归纳研究直线与圆锥曲线的位置关系,般是联立直线与圆锥曲线的方程,根据方程组解的个数判断,当已知直线与圆锥曲线相交于两点时,要注意判别式大于的条件直线与圆锥曲线相交所得弦长问题,较少单独考查弦长的求解,般是已知弦长或三角形面积的信息求参数或直线圆锥曲线的方程解决此类问题的关键是设出点的坐标,利用根与系数的关系,求得弦长或面积,列出方程求解即时训练已知抛物线过点,求抛物线的方程,并求其准线方程是否存在平行于为坐标原点的直线,使得直线与抛物线有公共点,且直线与的距离等于若存在,求出直线的方程若不存在,说明理由解将,代入,得,所以故所求的抛物线的方程为,其准线方程为假设存在符合题意的直线,其方程为由,得因为直线与抛物与的距离可得,解得因为所以,故符合题意的直线存在,其方程为圆与圆锥曲线的综合问题考点三例如图,已知抛物线和☉,过抛物线上点,作两条直线与☉相切于两点,分别交抛物线于两点,圆心到抛物线准线的距离为求抛物线的方程当的平分线垂直于轴时,求直线的斜率若直线在轴上的截距为,求的最小值解≧点到抛物线准线的距离为,≨,≨抛物线的方程为≧当的平分线垂直于轴时,点≨,设≨,≨,≨,≨设≧,≨可得,直线的方程为,同理,直线的方程为,≨≨直线的方程为,令,得,≧关于的函数在,上单调递增,≨反思归纳圆与圆锥曲线的综合问题中,圆的有关问题多为背景的形式出现,以“圆的切线”为主,此类问题的重点仍为直线和圆锥曲线的位置关系为主,基本方法仍需把直线方程和圆锥曲线方程组成方程组,利用方程的理论解决相关问题准确把握椭圆双曲线抛物线的标准方程和几何性质,注意灵活利用定义求解相关量解决直线和圆锥曲线问题时,应注意直线斜率的讨论,联立方程组消元后,要注意判别式或符号的限制解决圆锥曲线与圆的综合问题,要注意各种曲线性质与定义的灵活应用,求解相关最值更要注意圆锥曲线中的焦点与圆心的应用助学微博规范答题得高分有依据圆锥曲线间的综合问题典例分高考陕西卷如图,曲线由上半椭圆,和部分抛物线连接而成,与的公共点为其中的离心率为求,的值过点的直线与,分别交于点,均异于点若⊥,求直线的方程满分展示解在,的方程中,令,可得,分且,是上半椭圆的左右顶点设的半焦距为,由及得分≨,分由知,上半椭圆的方程为易知,直线与轴不重合也不垂直,设其方程为,分代入的方程,整理得设点的坐标为≧直线过点,≨是方程的个根由根与系数的关系,得,从而,≨点的坐标为,分同理,由,得点的坐标为,分≨,≧⊥,≨,即,≧,≨,解得分经检验,符合题意,故直线的方程为分答题模板第步根据题中条件找到的关系式解得第二步根据条件设直线方程第三步直线方程分别与曲线,联立,表示点的坐标第四步利用向量转化条件⊥得到关于的方程,求解参数第五步检验,写出结论第节圆锥曲线的综合问题最新考纲了解圆锥曲线的简单应用理解数形结合的思想掌握解决直线与圆锥曲线位置关系的方法编写意图直线和圆锥曲线的位置关系是历年高考命题的重点和热点,通常作为解答题中的压轴题出现,试题有定的难度多种圆锥曲线的综合,多以选择题或填空题进行考查,属中等难度本节围绕高考命题的重点设置了圆锥曲线的综合问题直线和圆锥曲线圆与圆锥曲线等三个考点,精心选编例题和练习题,并根据该部分命题的热点设置了规范答题栏目,起到解题示范作用,并归纳了相应的解题步骤,让学生可以按部就班地解决相关问题,突破难点考点突破规范答题夯基固本夯基固本抓主干固双基知识梳理直线和圆锥曲线的位置关系已知直线,圆锥曲线,联立方程组,消去,整理得若且,则直线和圆锥曲线只有个公共点当曲线为双曲线时,直线与双曲线的渐近线平行当曲线为抛物线时,直线与抛物线的对称轴平行若,则当时,直线和圆锥曲线有公共点当时,直线和圆锥曲线相切,只有公共点当时,直线和圆锥曲线公共点两个不同的个没有质疑探究若直线和圆锥曲线只有个公共点,则直线和圆锥曲线相切吗提示不定相切,如图所示即与双曲线渐近线平行的直线与双曲线只有个公共点与抛物线对称轴平行的直线与抛物线只有个公共点,但此时它们的位置关系是相交而不是相切直线被圆锥曲线截得的弦长公式设直线与圆锥曲线的交点坐标为则为直线斜率直线与圆锥曲线相交时的常见问题的处理方法涉及弦长问题,常用“根与系数的关系”,采用设而不求,利用弦长公式计算弦长涉及弦中点的问题,常用“点差法”设而不求,将动点的坐标,弦中点坐标和弦所在直线的斜率联系起来,相互转化特别注意利用公式求弦长时,是在方程有解的情况下进行的,不要忽略判别式,判别式是检验所求参数的值是否有意义的依据大于零基础自测直线与椭圆的位置关系是相交相切相离不确定解析,显然直线恒过点而点在椭圆内,故直线和椭圆总相交湖北孝感模拟已知抛物线的准线过双曲线的左顶点,且此双曲线的条渐近线方程为,则双曲线的焦距为解析因为抛物线的准线,所以,双曲线的渐近线方程为,故,,双曲线的焦距为已知直线与抛物线相切,则等于解析联立方程组消去得,由已知得解得如图,中心均为原点的双曲线与椭圆有公共焦点是双曲线的两顶点若将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是解析设双曲线的实轴长,焦距,则椭圆的长轴长为因此双椭已知椭圆,过点,作圆的切线,切点分别为直线恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆的方程是解析≧圆的条切线为,直线恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,≨椭圆的右焦点为即,设点连接,则⊥≧,≨,又≧直线过点≨直线的方程为≧点,在直线上,≨又≧,≨,≨椭圆的方程为答案考点突破剖典例找规律圆锥曲线间的综合问题考点例等轴双曲线的中心在原点,焦点在轴上,与抛物线的准线交于,两点则的实轴长为已知双曲线和椭圆有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为解析设双曲线方程为,由抛物线的准线方程为,代入