的交点的两条线段长的相等切线长定理从圆外点引圆的两条切线,它们的相等,圆心和这点的连线平分两条切线的夹角比例中项积切线长积基础自测给出下列命题圆心角等于圆周角的倍相等的圆周角所对的弧也相等等腰梯形定有外接圆弦切角所夹弧的度数等于弦切角的度数在圆内接四边形中,∶∶∶∶∶∶,则有其中错误的是解析错误,若弧不样,则圆心角与圆周角的关系不确定错误,只有同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧才相等正确,可以推出等腰梯形的对角互补,所以有外接圆错误,弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角,所夹的弧的度数等于该弧所对圆心角的度数,所以弦切角所夹弧的度数等于弦切角度数的倍正确,圆内接四边形的对角互补如图所示,点是圆上的点,且,,则☉的面积为解析连接,,又,为等边三角形,而故圆的面积为圆内接模拟如图,为圆的直径,为垂直于的条弦,垂足为,弦与交于,且是外接圆的直径,又是圆的切线,所以⊥,所以反思归纳圆内接四边形的性质定理是圆中性质定理是圆中探求角的相等或互补关系的常用定理,使用时要注意观察图形,要弄清四边形的外角和它的内对角的位置,其性质定理是沟通角的相等关系的重要依据,解题时要注意相关角的定理的灵活应用即时训练唐山积与外接圆面积的比值为变式本题中已知条件不变,证明证明由例知,⊥,且是外接圆的直径,又是圆的切线,所以⊥,所以反思归纳圆内接四边形的,所以过,四点的圆的直径为由,有又,所以而,故过,四点的圆的面,故,所以因为,四点共圆,所以,故所以,因此是外接圆的直径解连接,因为证明是外接圆的直径若,求过四点的圆的面积与外接圆面积的比值证明因为为外接圆的切线,所以,由题设知考点二四点共圆问题例高考新课标全国卷Ⅱ如图,为外接圆的切线,的延长线交直线于点,分别为弦与弦上的点,且,四点共圆知,故是的中垂线,所以设的中点为,连接,则从而,所以⊥,故外接圆的半径等于证明连接,交于点由弦切角定理得,而,故,又⊥,所以为直径,则,由勾股定理可得解由如图,直线为圆的切线,切点为,点在圆上,的角平分线交圆于点,垂直交圆于点证明设圆的半径为延长交于点,求外接圆的半径得反思归纳涉及圆的切线问题时常常利用弦切角定理实现弦切角与圆周角的相互转化,利用圆周角圆心角定理及其推论实现圆周角圆心角及所对弧的度数之间的相互转化即时训练高考新课标全国卷Ⅰ从而≌,于是又因为,所以,故由于⊥,所以⊥,为直角于是为直径由,从而由于⊥,所以,于是故是直径连接,由于是直径,故在与中,直径若,求证证明因为,所以由于为切线,故,又由于,故,所以周角圆心角弦切角和圆的切线问题例高考辽宁卷如图所示,交圆于,两点,切圆于,为上点且,连接并延长交圆于点,作弦垂直,垂足为求证为圆的,则的长为解析在中由弦切角定理知,所以由切割线定理知,解得答案考点突破剖典例找规律考点圆可知,即,解得答案高考重庆卷如图所示,在中,,过作的外接圆的切线,⊥,与外接圆交于点可知,即,解得答案高考重庆卷如图所示,在中,,过作的外接圆的切线,⊥,与外接圆交于点,则的长为解析在中由弦切角定理知,所以由切割线定理知,解得答案考点突破剖典例找规律考点圆周角圆心角弦切角和圆的切线问题例高考辽宁卷如图所示,交圆于,两点,切圆于,为上点且,连接并延长交圆于点,作弦垂直,垂足为求证为圆的直径若,求证证明因为,所以由于为切线,故,又由于,故,所以,从而由于⊥,所以,于是故是直径连接,由于是直径,故在与中,从而≌,于是又因为,所以,故由于⊥,所以⊥,为直角于是为直径由得反思归纳涉及圆的切线问题时常常利用弦切角定理实现弦切角与圆周角的相互转化,利用圆周角圆心角定理及其推论实现圆周角圆心角及所对弧的度数之间的相互转化即时训练高考新课标全国卷Ⅰ如图,直线为圆的切线,切点为,点在圆上,的角平分线交圆于点,垂直交圆于点证明设圆的半径为延长交于点,求外接圆的半径证明连接,交于点由弦切角定理得,而,故,又⊥,所以为直径,则,由勾股定理可得解由知,故是的中垂线,所以设的中点为,连接,则从而,所以⊥,故外接圆的半径等于考点二四点共圆问题例高考新课标全国卷Ⅱ如图,为外接圆的切线,的延长线交直线于点,分别为弦与弦上的点,且,四点共圆证明是外接圆的直径若,求过四点的圆的面积与外接圆面积的比值证明因为为外接圆的切线,所以,由题设知,故,所以因为,四点共圆,所以,故所以,因此是外接圆的直径解连接,因为,所以过,四点的圆的直径为由,有又,所以而,故过,四点的圆的面积与外接圆面积的比值为变式本题中已知条件不变,证明证明由例知,⊥,且是外接圆的直径,又是圆的切线,所以⊥,所以反思归纳圆内接四边形的性质定理是圆中探求角的相等或互补关系的常用定理,使用时要注意观察图形,要弄清四边形的外角和它的内对角的位置,其性质定理是沟通角的相等关系的重要依据,解题时要注意相关角的定理的灵活应用即时训练唐山模拟如图,为圆的直径,为垂直于的条弦,垂足为,弦与交于,且是外接圆的直径,又是圆的切线,所以⊥,所以反思归纳圆内接四边形的性质定理是圆中探求角的相等或互补关系的常用定理,使用时要注意观察图形,要弄清四边形的外角和它的内对角的位置,其性质定理是沟通角的相等关系的重要依据,解题时要注意相关角的定理的灵活应用即时训练唐山模拟如图,为圆的直径,为垂直于的条弦,垂足为,弦与交于点证明,四点共圆证明证明连接,则因为⊥,所以所以,即,四点共圆连接由,四点共圆,所以在中所以与圆有关的比例线段考点三例高考新课标全国卷Ⅱ如图,是☉外点,是切线,为切点,割线与☉相交于点,为的中点,的延长线交☉于点证明证明连结,由题设知,故,因为,,,所以,从而,因此由切割线定理得,因为,所以由相交弦定理得,所以反思归纳证明与圆有关的比例线段,常用到三角形相似相交弦定理割线定理以及切割线定理等,同时要注意圆的有关性质,直角三角形中的射影定理角平分线的性质的灵活运用即时训练太原模拟如图,是圆的直径,为圆上点,⊥,垂足为,点为圆上任点交于点,交于点求证∶∶证明因为是圆的直径,所以⊥,又因为⊥,所以,所以,所以∶∶延长与☉交于点,由相交弦定理,得,且,所以,结合知助学微博涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化关于圆周上的点,常作直径或半径圆周角或弦切角相交弦定理切割线定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角弦切角圆的切线等相关知识的综合应用判断四点共圆的关键是判断四边形的对角是否互补或外角与其内对角是否相等几何证明问题规范答题得高分有依据典例分高考新课标全国卷Ⅰ如图,四边形是☉的内接四边形,的延长线与的延长线交于点,且证明设不是☉的直径,的中点为,且,证明为等边三角形满分展示证明由题设知,四点共圆,所以分由已知得,故分设的中点为,连接,则由知⊥,故在直线上分又不是☉的直径,为的中点,故⊥,即⊥所以,故又,故分由知,,所以为等边三角形分答题模板第步由圆内接四边形的性质证第二步由等腰三角形的性质证第三步等量代换得第四步由线段垂直平分线的性质及垂径定理证⊥第五步由垂径定理证⊥第六步由证第七步等量代换得第八步下结论为等边三角形第节直线与圆的位置关系最新考纲会证明并应用圆周角定理圆的切线的判定定理及性质定理会证明并应用相交弦定理圆内接四边形的性质定理与判定定理切割线定理编写意图圆的切线的判定与性质圆内接四边形的性质与判定相交弦定理切割线定理,是高考重点考查的内容,难度中档偏下本节围绕高考命题的规律进行设点选题,重点突出圆周角定理弦切角定理及圆内接四边形的性质的理解与运用,四点共圆的判定方法,难点突破利用相交弦定理切割线定理解决与圆有关的比例线段的计算与证明,规范答题栏目凸显了几何证明问题的思考方法和答题步骤的养成,凸显了逻辑思维能力和推理论证能力的培养课时训练着重考查基础知识基本方法和基本能力,具有极高的思维价值,能够极大地激发学生动手操作的能力考点突破规范答题夯基固本夯基固本抓主干固双基知识梳理圆周角定理圆心角定理弦切角定理圆周角定理圆上条弧所对的圆周角等于它所对的的半圆心角定理圆心角的度数等于它所对弧的推论同弧或等弧所对的相等同圆或等圆中,相等的所对的弧也相等推论半圆或直径所对的圆周角是的圆周角所对的弦是弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的推论弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的半圆心角圆周角圆周角度数直角直径圆周角圆内接四边形的判定定理和性质定理定理或推论内容判定定理如果个四边形的对角,那么这个四边形的四个顶点共圆判定定理的推论如果四边形的个外角等于它的,那么这个四边形的四个顶点共圆性质定理圆的内接四边形的对角圆内接四边形的外角等于它的内角的互补内角的对角互补对角圆的切线定义定理及推论内容定义如果条直线与个圆有唯公共点,则这条直线叫做这个圆的切线,公共点叫做切点判定定理经过半径的并且这条半径的直线是圆的切线性质定理圆的切线经过切点的半径性质定理的推论经过圆心且垂直于切线的直线必经过经过切点且垂直于切线的直线必经过外端垂直于垂直于切点圆心直线与圆位置关系的有关定理定理内容切割线定理从圆外点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的相交弦定理圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的相等割线定理从圆外点引圆的两条割线,这点到每条割线与圆的交点的两条线段长的相等切线长定理从圆外点引圆的两条切线,它们的相等,圆心和这点的连线平分两条切线的夹角比例中项积切线长积基础自测给出下列命题圆心角等于圆周角的倍相等的圆周角所对的弧也相等等腰梯形定有外接圆弦切角所夹弧的度数等于弦切角的度数在圆内接四边形中,∶∶∶∶∶∶,则有其中错误的是解析错误,若弧不样,则圆心角与圆周角的关系不确定错误,只有同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧才相等正确,可以推出等腰梯形的对角互补,所以有外接圆错误,弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角,所夹的弧的度数等于该弧所对圆心角的度数,所以弦切角所夹弧的度数等于弦切角度数的倍正确,圆内接四边形的对角互补如图所示,点是圆上的点,且,,则☉的面积为解析连接,,又,为等边三角形,而故圆的面积为圆内接四边形中,,,则等于解析如图,延长,交于点,则,所以,所以高考湖南卷如图,已知,是☉的两条弦,⊥,则☉的半径等于解析设,的交点为,由已知可得为的中点,则在直角三角形中,设圆的半径为,延长交圆于点,由圆的相交弦定理可知,即