，既有又有的量用，„或„表示向量的模向量的，也就是表示向量的有向线段的或称模或大小方向大小长度名称定义表示零向量长度为的向量用表示，方向是任意的，规定零向量与任向量共线单位向量长度等于个单位的向量用表示，平行向量方向相同或相反的非零向量相等向量相等且方向的向量相反向量相等，方向的向量向量的相反向量是长度相同长度相反向量的线性运算向量运算定义法则或几何意义运算律加法求两个向量的运算加法交换律加法结合律和三角形平行四边形向量运算定义法则或几何意义运算律减法减去个向量相当于加上这个向量的数乘实数与向量的积是个边的中点求的值若过的重心，且求证解，又，此等式不可能成立，故错误对于选项，当点，都在线段上时取值都应在,之间，此时要成立只有，则，重合，不符，故错误故应选已知点是的重心，是设，是两个不共线向量若三点共线，则实数的值是答案解析对于选项，若为线段中点则，得，点在外部答案解析由，得，即，所以点在线段上，故应选江苏徐州月用师生共研型调研山东师大附中模拟已知平面内点及，若，则点与的位置关系是点在线段上点在线段上点在线段上答案解析，是边长为的正三角形，为三角形高的倍，所以考点三共线向量定理及其应若，则归纳类题练熟好题研习如图所示，向量，在条直线上，若，则解析即，故选进行向量的线性运算时，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，选用从同顶点出发的基本向量或首尾相连的向量，运用向量加减法运算及数乘运算来解名师点，为边中点，且，那么答案解析因为为边中点又则答案解析，所以，故选若是所在平面内平移后的向量与原向量是相等向量解题时不要把它与函数图象的平移混为谈自我感悟解题规律考点二平面向量的线性运算师生共研型调研宁波模拟在中，若是边上点，且量定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小向量是自由向量，所以平行向量就是共线向量，二者是等价的提醒向量可以平移，向，二是反向，反向时，故也是假命题综上所述，假命题的个数是向量的两个特征有大小，有方向向量既可以用有向线段字母表示，也可以用坐标表示相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向，则上述命题中，假命题的个数是答案解析向量是既有大小又有方向的量，与的模相同，但方向不定相同，故是假命题若与平行，则与的方向有两种情况是同与，都平行，但，不定平行不正确的充要条件是且，同向设为单位向量，若为平面内的个向量，则若与平行，则若与平行且且其中假命题的个数为答案解析不正确两个向量起点相同，终点相同，则两向量相等但两个向量相等，不定有相同的起点和终点正确根据向量相等的定义知不正确若时，且其中假命题的个数为答案解析不正确两个向量起点相同，终点相同，则两向量相等但两个向量相等，不定有相同的起点和终点正确根据向量相等的定义知不正确若时，与，都平行，但，不定平行不正确的充要条件是且，同向设为单位向量，若为平面内的个向量，则若与平行，则若与平行且，则上述命题中，假命题的个数是答案解析向量是既有大小又有方向的量，与的模相同，但方向不定相同，故是假命题若与平行，则与的方向有两种情况是同向，二是反向，反向时，故也是假命题综上所述，假命题的个数是向量的两个特征有大小，有方向向量既可以用有向线段字母表示，也可以用坐标表示相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小向量是自由向量，所以平行向量就是共线向量，二者是等价的提醒向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量解题时不要把它与函数图象的平移混为谈自我感悟解题规律考点二平面向量的线性运算师生共研型调研宁波模拟在中，若是边上点，且则答案解析，所以，故选若是所在平面内点，为边中点，且，那么答案解析因为为边中点又即，故选进行向量的线性运算时，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，选用从同顶点出发的基本向量或首尾相连的向量，运用向量加减法运算及数乘运算来解名师归纳类题练熟好题研习如图所示，向量，在条直线上，若，则解析若，则答案解析，是边长为的正三角形，为三角形高的倍，所以考点三共线向量定理及其应用师生共研型调研山东师大附中模拟已知平面内点及，若，则点与的位置关系是点在线段上点在线段上点在线段上点在外部答案解析由，得，即，所以点在线段上，故应选江苏徐州月设，是两个不共线向量若三点共线，则实数的值是答案解析对于选项，若为线段中点则，得，此等式不可能成立，故错误对于选项，当点，都在线段上时取值都应在,之间，此时要成立只有，则，重合，不符，故错误故应选已知点是的重心，是边的中点求的值若过的重心，且求证解，又，证明显然是的重心，由三点共线，得，有且只有个实数，使而，，又，不共线，，，消去，整理，得，故名师叮嘱素养培优学方法提能力启智培优易错易误忽视零向量的特殊性致误典例荆州模拟下列命题正确的是向量，共线的充要条件是有且仅有个实数，使在中，不等式中两个等号不可能同时成立向量，不共线，则向量与向量必不共线答案解析不正确，当时，有无数个实数满足此处在求解时，常因忽视“共线向量定理中的条件”而致误不正确，在中，此处在求解时，常因混淆向量与数量的关系致误，是向量，其模为，而是数量，没有方向不正确，当时，不等式显然成立此处在求解时，常受代数不等式的影响，而忽略了向量中的作用导致错误正确向量与不共线，与均不为零向量若与平行，则存在实数，使，即，无解，故假设不成立，即与不平行，故选防范措施共线向量定理中，要求，否则值可能不存在向量的加减及数乘运算的结果，仍然是个向量，而不是个数应熟练掌握向量不等式等号成立的条件跟踪训练下列说法不正确的有若，则与的方向相同或相反若，则相反向量必不相等若，且，则的充要条件是答案解析不正确，如不正确则或不正确，不正确，当时该命题也成立名师指导必明个易误点作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点在向量共线的重要条件中易忽视“”，否则可能不存在，也可能有无数个要注意向量共线与三点共线的区别与联系必会种方法向量的中线公式若为线段的中点，为平面内点，则三点共线等价关系三点共线⇔⇔为平面内异于的任点，⇔为平面内异于的任点，，，第四章平面向量第节平面向量的概念及其线性运算考情展望在平面几何图形中考查向量运算的平行四边形法则及三角形法则以四种命题及充分必要条件为知识载体，考查向量的有关概念借助共线向量定理探求点线关系或参数的值主干回顾基础通关固本源练基础理清教材向量的有关概念及表示基础梳理名称定义表示向量在平面中，既有又有的量用，„或„表示向量的模向量的，也就是表示向量的有向线段的或称模或大小方向大小长度名称定义表示零向量长度为的向量用表示，方向是任意的，规定零向量与任向量共线单位向量长度等于个单位的向量用表示，平行向量方向相同或相反的非零向量相等向量相等且方向的向量相反向量相等，方向的向量向量的相反向量是长度相同长度相反向量的线性运算向量运算定义法则或几何意义运算律加法求两个向量的运算加法交换律加法结合律和三角形平行四边形向量运算定义法则或几何意义运算律减法减去个向量相当于加上这个向量的数乘实数与向量的积是个，这种运算叫做向量的，记作当时，与的方向当时，与的方向当时，对向量加法的分配律对实数加法的分配律相反向量三角形向量数乘相同相反共线向量定理向量与共线，那么有且只有个实数，使基础训练答案判断正误，正确的打，错误的打“”向量与有向线段是样的，因此可以用有向线段来表示向量共线向量定理中，当时，则实数不唯三点共线的充要条件是对不在直线上的任意点，存在实数使得及若向量与不相等，则与定有不相等的模不共线不可能都是零向量不可能都是单位向量解析由向量的方向性与模的概念可知正确，故选是的边上的中点，则向量等于解析如图故选已知与是两个不共线向量，且向量与共线，则答案解析由已知，得，解得，试题调研考点突破精研析巧运用全面攻克考点平面向量有关概念自主练透型调研给出下列四个命题两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同若则若，，则的充要条件是且其中假命题的个数为答案解析不正确两个向量起点相同，终点相同，则两向量相等但两个向量相等，不定有相同的起点和终点正确根据向量相等的定义知不正确若时，与，都平行，但，不定平行不正确的充要条件是且，同向设为单位向量，若为平面内的个向量，则若与平行，则若与平行且，则上述命题中，假命题的个数是答案解析向量是既有大小又有方向的量，与的模相同，但方向不定相同，故是假命题若与平行，则与的方向有两种情况是同向，二是反向，反向时，故也是假命题综上所述，假命题的个数是向量的两个特征有大小，有方向向量既可以用有向线段字母表示，也可以用坐标表示相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小向量是自由向量，所以平行向量就是共线向量，二者是等价的提醒向量可以平移，平移且其中假命题的个数为答案解析不正确两个向量起点相同，终点相同，则两向量相等但两个向量相等，不定有相同的起点和终点正确根据向量相等的定义知不正确若时，与，都平行，但，不定平行不正确的充要条件是且，同向设为单位向量，若为平面内的个向量，则若与平行，则若与平行且，则上述命题中，假命题的个数是答案解析向量是既有大小又有方向的量，与的模相同，但方向不定相同，故是假命题若与平行，则与的方向有两种情况是同向，二是反向，反向时，故也是假命题综上所述，假命题的个数是向量的两个特征有大小，有方向向量既可以用有向线段字母表示，也可以用坐标表示相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小向量是自由向量，所以平行向量就是共线向量，二者是等价的提醒向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量解题时不要把它与函数图象的平移混为谈自我感悟解题规律考点二平面向量的线性运算师生共研型调研宁波模拟在中，若是边上点，且则答案解析，所以，故选若是所在平面内点，为边中点，且，那么答案解析因为为边中点又即，故选进行向量的线性运算时，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，选用从同顶点出发的基本向量或首尾相连的向量，运用向量加减法运算及数乘运算来解名师归纳类题练熟好题研习如图所示，向量，在条直线上，若，则解析若，则答案解析，是边