平面向量数量积的几何意义数量积的几何意义数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积平面向量数量积的性质及其坐标表示已知非零向量为向量，的夹角几何表示坐标表示模数量积夹角⊥的充要条件与的关系当且仅当时等号成立基础训练答案判断正误，正确的打，错误的打“”向量在另个向量方向上的投影为数量，而不是向量由可得或已知中，边最长，且，则，所以，即，故⊥因为，所以，由此得，的单位向量，又与垂直若，求，的值解析证明由题意，得，即又因为视点三平面向量的垂直已知与为两个不共线的单位向量，为实数，若向量与向量垂直，则答案解析与是不共线安徽若非零向量，满足，则与夹角的余弦值为答案解析由两边平方并整理，得而，所以设与的夹角为，则，由于，所以已知，都是非零向量，且，则与的夹角为答案解析由，得，所以由⊥得，即，由得视点二平面向量的夹角面向量数量积的性质多维探究型视点平面向量的模威海模拟设，，向量且⊥，，则答案解析数量积可解决长度夹角垂直等问题，解题时应灵活选择相应公式求解考情平面向量数量积的性质是高考的重点，归纳起来常见的命题角度有平面向量的模平面向量的夹角平面向量的垂直考点二平法当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即，当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若则运用两向量的点在线段上运动，故当点与点重合时，在上的投影最大，此时所以的最大值为自我感悟解题规律向量数量积的两种运算方大值为解法二是正方形，又,又在边上，故设,则，故又,又的最的值为的最大值为答案解析解法如图所示，以，所在的直线分别为轴和轴建立平面直角坐标系，由于正方形边长为，故，当时，根据已知可，得，故的面积为已知正方形的边长为，点是边上的动点，则运算自主练透型调研山东在中，已知，当时，的面积为答案解析根据平面向量数量积的概念，得试题调研考点突破精研析巧运用全面攻克考点平面向量数量积的运试题调研考点突破精研析巧运用全面攻克考点平面向量数量积的运算自主练透型调研山东在中，已知，当时，的面积为答案解析根据平面向量数量积的概念，得，当时，根据已知可，得，故的面积为已知正方形的边长为，点是边上的动点，则的值为的最大值为答案解析解法如图所示，以，所在的直线分别为轴和轴建立平面直角坐标系，由于正方形边长为，故,又在边上，故设,则，故又,又的最大值为解法二是正方形，又点在线段上运动，故当点与点重合时，在上的投影最大，此时所以的最大值为自我感悟解题规律向量数量积的两种运算方法当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即，当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若则运用两向量的数量积可解决长度夹角垂直等问题，解题时应灵活选择相应公式求解考情平面向量数量积的性质是高考的重点，归纳起来常见的命题角度有平面向量的模平面向量的夹角平面向量的垂直考点二平面向量数量积的性质多维探究型视点平面向量的模威海模拟设，，向量且⊥，，则答案解析由⊥得，即，由得视点二平面向量的夹角已知，都是非零向量，且，则与的夹角为答案解析由，得，所以而，所以设与的夹角为，则，由于，所以安徽若非零向量，满足，则与夹角的余弦值为答案解析由两边平方并整理，得视点三平面向量的垂直已知与为两个不共线的单位向量，为实数，若向量与向量垂直，则答案解析与是不共线的单位向量，又与垂直若，求，的值解析证明由题意，得，即又因为，所以，即，故⊥因为，所以，由此得由，得又，故，代入，得，而，所以，平面向量与三角函数的综合问题的解题思路题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等名师归纳类题练熟好题研习已知向量,若，求的值若求的值解因为，所以，于是，故由知所以从而，即，于是又由知所以或因此或名师叮嘱素养培优学方法提能力启智培优易错易误忽略向量共线条件致误典例广州模拟已知且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为答案且解析与均为非零向量，且夹角为锐角，即当与共线时，存在实数，使，此处在求解时，常因忽略“与共线”的情形致误，出现错误的原因是误认为与，为锐角等价即，即当时，与共线综上可知，的取值范围为且防范措施，的夹角为锐角并不等价于等价于与夹角为锐角或依据两向量的夹角求向量坐标中的参数时，要注意或的情形其中跟踪训练已知若与的夹角为钝角，则的取值范围是答案且解析由，即，解得又当时故所求的范围为且名师指导必明个易误点若是实数，则⇒但对于向量就没有这样的性质，即若向量满足，不定有，即等式两边不能同时约去个向量，但可以同时乘以个向量数量积运算不适合结合律，即，这是由于表示个与共线的向量，表示个与共线的向量，而与不定共线，因此与不定相等必会种方法明确两个结论两个向量与的夹角为锐角，则有，反之不成立因为夹角为时不成立两个向量与的夹角为钝角，则有，反之不成立因为夹角为时不成立利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧谢谢大家第四章平面向量第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例考情展望以客观题的形式考查平面向量数量积的计算向量垂直条件与数量积的性质以平面向量数量积为工具，与平面几何三角函数解析几何等知识交汇命题，主要考查运算能力及数形结合思想主干回顾基础通关固本源练基础理清教材基础梳理向量的夹角定义已知两个非零向量和，如图所示，作则叫做向量与的夹角，也可记作，范围向量夹角的范围是与同向时，夹角与反向时，夹角垂直关系如果向量与的夹角是，我们说与垂直，记作⊥平面向量的数量积定义条件两个非零向量，以及它们的夹角表达形式向量的投影设为与的夹角，则向量在方向上的投影是向量在方向上的投影是平面向量数量积的几何意义数量积的几何意义数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积平面向量数量积的性质及其坐标表示已知非零向量为向量，的夹角几何表示坐标表示模数量积夹角⊥的充要条件与的关系当且仅当时等号成立基础训练答案判断正误，正确的打，错误的打“”向量在另个向量方向上的投影为数量，而不是向量由可得或已知中，边最长，且，则的形状为钝角三角形在四边形中，且，则四边形为矩形已知向量，和实数，则下列选项中错误的是解析，只有与共线时，才有，可知是错误的山东师大附中模拟平面向量与的夹角为则解析所以，所以，故选新课标全国Ⅰ已知两个单位向量，的夹角为，若，则答案解析解法又解法二由知，向量的终点共线，在平面直角坐标系中设则，把的坐标代入，得若非零向量，满足，则与夹角的余弦值为答案解析试题调研考点突破精研析巧运用全面攻克考点平面向量数量积的运算自主练透型调研山东在中，已知，当时，的面积为答案解析根据平面向量数量积的概念，得，当时，根据已知可，得，故的面积为已知正方形的边长为，点是边上的动点，则的值为的最大值为答案解析解法如图所示，以，所在的直线分别为轴和轴建立平面直角坐标系，由于正方形边长为，故,又在边上，故设,则，故又,又的最大值试题调研考点突破精研析巧运用全面攻克考点平面向量数量积的运算自主练透型调研山东在中，已知，当时，的面积为答案解析根据平面向量数量积的概念，得，当时，根据已知可，得，故的面积为已知正方形的边长为，点是边上的动点，则的值为的最大值为答案解析解法如图所示，以，所在的直线分别为轴和轴建立平面直角坐标系，由于正方形边长为，故,又在边上，故设,则，故又,又的最大值为解法二是正方形，又点在线段上运动，故当点与点重合时，在上的投影最大，此时所以的最大值为自我感悟解题规律向量数量积的两种运算方法当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即，当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若则运用两向量的数量积可解决长度夹角垂直等问题，解题时应灵活选择相应公式求解考情平面向量数量积的性质是高考的重点，归纳起来常见的命题角度有平面向量的模平面向量的夹角平面向量的垂直考点二平面向量数量积的性质多维探究型视点平面向量的模威海模拟设，，向量且⊥，，则答案解析由⊥得，即，由得视点二平面向量的夹角已知，都是非零向量，且，则与的夹角为答案解析由，得，所以而，所以设与的夹角为，则，由于，所以安徽若非零向量，满足，则与夹角的余弦值为答案解析由两边平方并整理，得视点三平面向量的垂直已知与为两个不共线的单位向量，为实数，若向量与向量垂直，则答案解析与是不共线的单位向量，又与垂直运算自主练透型调研山东在中，已知，当时，的面积为答案解析根据平面向量数量积的概念，得的值为的最大值为答案解析解法如图所示，以，所在的直线分别为轴和轴建立平面直角坐标系，由于正方形边长为，故大值为解法二是正方形，又法当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即，当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若则运用两向量的面向量数量积的性质多维探究型视点平面向量的模威海模拟设，，向量且⊥，，则答案解析已知，都是非零向量，且，则与的夹角为答案解析由，得，所以安徽若非零向量，满足，则与夹角的余弦值为答案解析由两边平方并整理，得的单位向量，又与垂直若，求，的值解析证明由题意，得，即又因为平面向量数量积的几何意义数量积的几何意义数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积平面向量数量积的性质及其坐标表示已知非零向量为向量，的夹角几何表示坐标表示模数量积夹角⊥的充要条件与的关系当且仅当时等号成立基础训练答案