应用公理定理证明点共线线共点线共面的问题主干回顾基础通关固本源练基础理清教材平面的基本性质基础梳理名称内容数学语言表示作用公理如果条如图是正四面体的平面展开图分别为，的中点，在这个正四面体中，与平行与为异面直线与成角与垂直以上四个命题中，正确分别是，的中点时，与可以异面，也可以平行，故错误由正确，知⊥平面而⊥平面，平面平面，故对综上所述，其中正确命题的序号是⊥于点，连接，可证⊥平面，⊥，正确过，分别作⊥，⊥于点连接，则当不是的中点，不是的中点时，直线与直线相交当且，有以下四个结论⊥平面与是异面直线其中正确结论的序号是把你认为正确命题的序号都填上答案解析过作，因此与共面图中，共面，但∉平面，与异面所以图中与异面江南十校联考如图，正方体的棱长为，点，，是异面直线的图形有填上所有正确答案的序号答案解析图中，直线图中，三点共面，但∉平面，因此直线与异面图中，连接故错误如果点在直线上，则过点不存在与直线平行的平面，故错误正确，所以答案选景德镇质检在下面的四个图中分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线，是内两相交直线，则与相交的充要条件是，至少有条与相交则四个结论中正确的个数为答案解析如果由直线与点确定的平面与平行，则过点不可能做出与，都相交的直线间任点，定能作条直线与，都相交，为异面直线，过空间任点，定存在个与直线，都平行的平面⊥，∩，⊂，⊂与都斜交，则与定不垂直，所以，即的最小值是考点二空间中两直线的位置关系自主练透型调研已知为不同的直线为不同的平面，有下面四个命题，为异面直线，过空角形，所以其面积为，解得，所以，是边长为的等边三角形，将展开到同平面上，在平面中方向垂直于平面时，该几何体的侧左视图的面积为若，分别是线段，上的动点，则的最小值为答案解析由题意可得侧左视图是个有条直角边为的直角三确定条直线，然后证明其余点也在该直线上名师归纳类题练熟好题研习皖南八校联考在如图所示的几何体中，四边形是矩形，平面⊥，已知且当规定正主视图，所以，所以交于点证明空间点共线问题的方法公理法般转化为证明这些点是两个平面的公共点，再根据公理证明这些点都在这两个平面的交线上纳入直线法选择其中两点“交于点”互动探究证明由调研解析可知，且，所以四边形是梯形，所以与必相交设交点为，如图，则且又因为平面∩平面为，且，所以四边形是平行四边形，所以，所以，即与确定个平面且，，即，四点共面互动探究本调研条件不变，如何证明拟如图，在正方体中分别是和的中点，求证，四点共面证明如图，连接，因为，分别是和的中点，所以且又因为拟如图，在正方体中分别是和的中点，求证，四点共面证明如图，连接，因为，分别是和的中点，所以且又因为，且，所以四边形是平行四边形，所以，所以，即与确定个平面且，，即，四点共面互动探究本调研条件不变，如何证明“交于点”互动探究证明由调研解析可知，且，所以四边形是梯形，所以与必相交设交点为，如图，则且又因为平面∩平面，所以，所以交于点证明空间点共线问题的方法公理法般转化为证明这些点是两个平面的公共点，再根据公理证明这些点都在这两个平面的交线上纳入直线法选择其中两点确定条直线，然后证明其余点也在该直线上名师归纳类题练熟好题研习皖南八校联考在如图所示的几何体中，四边形是矩形，平面⊥，已知且当规定正主视图方向垂直于平面时，该几何体的侧左视图的面积为若，分别是线段，上的动点，则的最小值为答案解析由题意可得侧左视图是个有条直角边为的直角三角形，所以其面积为，解得，所以，是边长为的等边三角形，将展开到同平面上，在平面中，所以，即的最小值是考点二空间中两直线的位置关系自主练透型调研已知为不同的直线为不同的平面，有下面四个命题，为异面直线，过空间任点，定能作条直线与，都相交，为异面直线，过空间任点，定存在个与直线，都平行的平面⊥，∩，⊂，⊂与都斜交，则与定不垂直，是内两相交直线，则与相交的充要条件是，至少有条与相交则四个结论中正确的个数为答案解析如果由直线与点确定的平面与平行，则过点不可能做出与，都相交的直线，故错误如果点在直线上，则过点不存在与直线平行的平面，故错误正确，所以答案选景德镇质检在下面的四个图中分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线，是异面直线的图形有填上所有正确答案的序号答案解析图中，直线图中，三点共面，但∉平面，因此直线与异面图中，连接，，因此与共面图中，共面，但∉平面，与异面所以图中与异面江南十校联考如图，正方体的棱长为，点，，且，有以下四个结论⊥平面与是异面直线其中正确结论的序号是把你认为正确命题的序号都填上答案解析过作⊥于点，连接，可证⊥平面，⊥，正确过，分别作⊥，⊥于点连接，则当不是的中点，不是的中点时，直线与直线相交当，分别是，的中点时，与可以异面，也可以平行，故错误由正确，知⊥平面而⊥平面，平面平面，故对综上所述，其中正确命题的序号是如图是正四面体的平面展开图分别为，的中点，在这个正四面体中，与平行与为异面直线与成角与垂直以上四个命题中，正确命题的序号是答案解析如图所示，与为异面直线，与为异面直线，与成角，⊥判定空间直线位置关系的方法空间中两直线位置关系的判定，主要是异面平行和垂直的判定，客观题中，也可用下述结论过平面外点和平面内点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线对于异面直线，可采用直接法或反证法对于平行直线，可利用三角形梯形中位线的性质公理及线面平行与面面平行的性质定理对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决自我感悟解题规律考情以柱体锥体为载体求异面直线所成的角或角的三角函数值，是高考的高频考点之，题型全面，选择填空和解答题都有所涉及，难度中等偏下考点三异面直由余弦定理，得，所以两异面直线所成角的余弦值为故选名师叮嘱素养培优学方法提能力启智培优求两条异面直线所成角的大小，其般方法是通过平行移动直线，把异面直线问题转化为同平面中两相交直线问题来解决根据空间等角定理及推论，可知异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往可以选在其中条直线上线段的端点或中点，再通过解三角形得到，具体解题步骤如下技巧方法求解异面直线所成的角的种好方法平移法补形法在些较为规则的图形中求两异面直线所成的角，可采用补形的方法将两条异面直线放在个规则图形中处理，具体步骤为求异面直线所成的角常采用“平移直线法”，平移的方法般有三种利用图中已有的平行线平移，利用特殊点线段的端点或中点作平行线平移，补形平移计算异面直线所成的角时通常放在三角形中进行典例已知三棱锥中且直线，成角，点，分别是，的中点，求直线和所成的角思维导图平移法平移异面直线为相交直线取的中点确定为异面直线与所成的角或补角解三角形或结合题意，得到结果所成角为或补形法补成个长方体平移直线得异面直线所成的角由矩形性质得到结果所成的角为或规范解答解平移法如图，设为的中点，连接，则，平移所以为异面直线与所成的角或补角定角在中，，所以为异面直线与所成的角或补角，且为等腰三角形当时，，即异面直线和所成的角为当时，，即异面直线和所成的角为求角所以直线和所成的角为或结论补形法由，可以把该三棱锥放在长方体中进行考虑，如图，由，分别是，的中点，所以，即为与所成的角连接交于，所以，即为与所成的角或其补角定角所以或，由矩形的性质可得或求角所以直线和所成的角为或结论跟踪训练已知长方体中求异面直线和所成角的余弦值解解法平移法连接交于点，取棱的中点，连接，綊，或其补角是和所成的角，，与所成的角的余弦值为解法二补形法如图，在长方体的旁补个全等的长方体，连接则，所以或其补角是和所成的角因为，所以在中，所以与所成角的余弦值为名师指导必明个易误点异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”，实质上两异面直线不能确定任何个平面，因此异面直线既不平行，也不相交直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”必会种方法求异面直线所成角的方法平移法，即选定平移其中条或两条直线使其转化为平面角问题，这是求异面直线所成角的常用方法补形法，即采用补形法作出平面角证明共面问题的两种途径首先由条件中的部分线或点确定个平面，再证其他线或点在此平面内将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证明这两个平面重合证明共线问题的两种途径先由两点确定条直线，再证其他点都在这条直线上直接证明这些点都在同条特定直线上证明共点问题的常用方法先证其中两条直线交于点，再证其他直线经过该点第七章立体几何第三节空间点直线平面之间的位置关系考情展望本节以考查点线面的位置关系为主，同时考查逻辑推理能力与空间想象能力以棱柱棱锥为依托考查异面直线所成角考查应用公理定理证明点共线线共点线共面的问题主干回顾基础通关固本源练基础理清教材平面的基本性质基础梳理名称内容数学语言表示作用公理如果条直线上的在个平面内，那么这条直线在此平面内，且，⇒⊂判定直线在平面内判定点在平面内公理过条直线上的，有且只有个平面若三点不同在条直线上，则三点确定个平面确定平面证明点线共面两点不在三点名称内容数学语言表示作用公理如果两个的平面有公共点，那么它们有且只有条过该点的公共直线，且⇒∩，且判定两个平面是否相交证明点在直线上证明三点共线证明三线共点画两个相交平面的交线不重合个注公理的三个推论名称内容数学语言表示作用推论经过有且只有个平面若∉，则点和直线确定个平面推论经过直线有且只有个平面若∩，则与确定个平面，使⊂，⊂推论经过两条有且只有个平面若，则与确定个平面，使⊂，⊂确定平面证明点线共面条直线和直线外点两条相交平行直线空间中直线和平面的位置关系位置关系符号表示公共点直线在平面内有公共点直线与平面平行公共点直线与平面斜交直线在平面外直线与平面垂直有且只有公共点⊂无数个没有∩⊥个空间中两个平面的位置关系位置关系符号表示公共点两平面平行公共点两平面相交斜交垂直有条公共没有∩⊥直线基础训练答案判断正误，正确的打，错误的打“”如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合正方体各面所在平面将空间分成部分设平面与平面相交于，直线⊂，直线⊂，∩，则点定不在直线上四边形定是平面图形已知表示不同的点，表示直线表示不同的平面，则下列推理错误的是，，，⇒⊂，，，⇒∩⊄，⇒∉，，⊄⇒∩解析若与相交于点，那么可判断是错误的下列说法正确的是若⊂，⊂，则与是异面直线若与异面，与异面，则与异面若，不同在平面内，则与异面若，不同在任何个平面内，则与异面解析由异面直线的定义可知正确答案或解析如果这四点在同平面内，那么确定个平