误两向量平行与两向量同向混淆致误解析由题意，知，所以，即把代入，得，即，解得或当时当时，其中，当，时两向量，反向，不符合题意，所以舍去当，时与同向，所以，防范措施如果认为“同向”就是“平行”，那么将得出两组解导致错误两向量平行和两向量同向不是等价的，同向是平行的种情况两向量同向能推出两向量平行，但反过来不成立，也就是说，“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要条件跟踪训练与向量方向相同的单位向量是答案解析设与平行的单位向量为，且，则，且，联立解得，当时方向相同，故名师指导必明个易误点共线向量定理中⇔存在，使，易忽视共面向量定理中，注意有序实数对，所以又⊂平面，⊄平面，所以平面空间共线向量定理共面向量定理的应用名师归纳类题练熟三点四点共面平面证明连接，则，由共面向量定理的推论，知，四点共面因为，，解得，故选如图，已知，分别是空间四边形的边，的中点，求证则向量在基底下的坐标是答案考点二空间向量的共线共面问题师生共研型解析设的和，可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和问题解决自我感悟解题规律调研已知是空间的个基底，是空间的另个基底，向量在基底下的坐标为向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求解题时应结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求若干个向量选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的用表示，则答案解析，如图所示，在长方体中，为的中点化简设是棱上的点，且为的中点，则答案解析如图所示，与所成角的大小为试题调研考点突破精研析巧运用全面攻克考点空间点坐标的探究自主练透型调研已知空间四边形中点在上，且，，则，，所以，所以⊥，故异面直线图，在正方体中分别是，的中点，则异面直线与所成角的大小是答案解析建立空间直角坐标系，如图，设正方体的棱长为，则是解析，⊥，即向量与的夹角为答案如，则，因为，所以故选已知则向量与的夹角，所以，正确对于选项，设，则因为，所以对于选项，设，因为，所以对于选项，设，则因为因为，所以对于选项，设，则因为，所以，正确对于选项，设，则因为，所以对于选项，设，则，因为，所以故选已知则向量与的夹角是解析，⊥，即向量与的夹角为答案如图，在正方体中分别是，的中点，则异面直线与所成角的大小是答案解析建立空间直角坐标系，如图，设正方体的棱长为，则，，则，，所以，所以⊥，故异面直线与所成角的大小为试题调研考点突破精研析巧运用全面攻克考点空间点坐标的探究自主练透型调研已知空间四边形中点在上，且，为的中点，则答案解析如图所示，如图所示，在长方体中，为的中点化简设是棱上的点，且，用表示，则答案解析，选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求解题时应结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求若干个向量的和，可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和问题解决自我感悟解题规律调研已知是空间的个基底，是空间的另个基底，向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是答案考点二空间向量的共线共面问题师生共研型解析设，，解得，故选如图，已知，分别是空间四边形的边，的中点，求证，四点共面平面证明连接，则，由共面向量定理的推论，知，四点共面因为，所以又⊂平面，⊄平面，所以平面空间共线向量定理共面向量定理的应用名师归纳类题练熟三点共线空间四点，共面对空间任点，对空间任点，对空间任点，对空间任点，好题研习已知向量其中，若，则的值为解析北京海淀区高三第二次模拟正方体的棱长为，若动点在线段上运动，则的取值范围是解析建立空间直角坐标系，如图，则，所以,因为动点在线段上运动，所以设所以，因为，所以，即的取值范围是,答案,如图所示，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为，且两两夹角为求的长求与的夹角的余弦值解记，则即的长为与夹角的余弦值为名师叮嘱素养培优学方法提能力启智培优典例已知向量并且，同向，则，的值分别为易错分析根据两向量平行的充要条件得出，之值后，得出两个向量的坐标，验证其方向是否相同答案,易错易误两向量平行与两向量同向混淆致误解析由题意，知，所以，即把代入，得，即，解得或当时当时，其中，当，时两向量，反向，不符合题意，所以舍去当，时与同向，所以，防范措施如果认为“同向”就是“平行”，那么将得出两组解导致错误两向量平行和两向量同向不是等价的，同向是平行的种情况两向量同向能推出两向量平行，但反过来不成立，也就是说，“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要条件跟踪训练与向量方向相同的单位向量是答案解析设与平行的单位向量为，且，则，且，联立解得，当时方向相同，故名师指导必明个易误点共线向量定理中⇔存在，使，易忽视共面向量定理中，注意有序实数对，是唯存在的个平面的法向量有无数个，但要注意它们是共线向量，不要误认为是共面向量必会种方法直线的方向向量与平面的法向量的确定直线的方向向量是空间直线是直线上任意两点，则称为直线的方向向量，与平行的任意非零向量也是直线的方向向量平面的法向量可利用方程组求出设，是平面内两不共线向量，为平面的法向量，则求法向量的方程组为建立空间直角坐标系的原则合理利用几何体中的垂直关系，特别是面面垂直尽可能地让相关点落在坐标轴或坐标平面上利用空间向量坐标运算求解问题的方法用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题般用向量共线定理求两点间距离或线段的长度，般用向量的模来解决解决垂直问题般可转化为向量的数量积为零求异面直线所成的角，般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化第七章立体几何第六节空间向量及其运算考情展望考查空间向量基本定理及其意义考查空间向量的数量积及坐标运算利用向量的数量积判断向量的平行与垂直关系主干回顾基础通关固本源练基础理清教材空间直角坐标系及有关概念空间直角坐标系轴轴轴基础梳理名称内容空间直角坐标系以空间点为原点，具有相同的单位长度，给定正方向，建立三条两两垂直的数轴轴轴轴，这时建立了个空间直角坐标系坐标原点点坐标轴坐标平面通过每两个坐标轴的平面空间中点的坐标空间中点的坐标常用有序实数组来表示，记作，其中叫做点的，叫做点的，叫做点的空间两点间的距离设点则特别地，点与坐标原点的距离为设点，是空间中两点，则线段的中点坐标为横坐标纵坐标竖坐标空间向量的有关定理共线向量定理对空间任意两个向量，，的充要条件是存在实数，使得共面向量定理如果两个向量那么向量与向量，共面的充要条件是存在的有序实数对使空间向量基本定理如果三个向量，那么对空间任向量，存在有序实数组，使得其中，叫做空间的个基底不共线唯不共面空间向量的数量积及运算律空间向量的坐标运算，均为非零向量基础训练答案判断正误，正确的打，错误的打“”空间中任意两非零向量，共面若，是空间任意四点，则有对空间任意点与不共线的三点，若其中，则，四点共面已知则，夹角的余弦值为有以下命题如果向量，与任何向量不能构成空间向量的个基底，那么，的关系是不共线，为空间四点，且向量不能构成空间的个基底，那么点，定共面已知向量是空间的个基底，则向量也是空间的个基底其中正确的命题是解析对于，如果向量，与任何向量不能构成空间向量的个基底，那么，的关系定是共线，所以错误正确广东已知向量，则下列向量中与成夹角的是解析各选项给出的向量的模都是，对于选项，设，则，因为，所以对于选项，设，则因为，所以，正确对于选项，设，则因为，所以对于选项，设，则，因为，所以故选已知则向量与的夹角是解析，⊥，即向量与的夹角为答案如图，在正方体中分别是，的中点，则异面直线与所成角的大小是答案解析建立空间直角坐标系，如图，设正方体的棱长为，则，，则，，所以，所以⊥，故异面直线与所成角的大小为试题调研考点突破精研析巧运用全面攻克考点空间点坐标的探究自主练透型调研已知空间四边形中点在上，且，为的中点，则答案解析如图所示，如图所示，在长方体中，为的中点化简设是棱上的点，且，用表示，则，因为，所以对于选项，设，则因为，所以，正确对于选项，设，则因为，所以对于选项，设，则，因为，所以故选已知则向量与的夹角是解析，⊥，即向量与的夹角为答案如图，在正方体中分别是，的中点，则异面直线与所成角的大小是答案解析建立空间直角坐标系，如图，设正方体的棱长为，则，，则，，所以，所以⊥，故异面直线与所成角的大小为试题调研考点突破精研析巧运用全面攻克考点空间点坐标的探究自主练透型调研已知空间四边形中点在上，且，为的中点，则答案解析如图所示，如图所示，在长方体中，为的中点化简设是棱上的点，且，用表示，则答案解析，选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求解题时应结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求若干个向量的和，可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和问题解决自我感悟解题规律调研已知是空间的个基底，是空间的另个基底，向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是答案考点二空间向量的共线共面问题师生共研型解析设，，解得，故选如图，已知，分别是空间四边形的边，的中点，求证，四点共面平面证明连接，则，由共面向量定理的推论，知，四点共面因为，所以又⊂平面，⊄平面，所以平面空间共线向量定理共面向量定理的应用名师归纳类题练熟三点共线空间四点，共面对空间任点，对空间任点，对空间任点，对空间任点，好题研习已知向量其中，若，则的值为解析