则两条直线的平行垂直与其斜率大小间的关系两条直线平行对于两条不重合的直线其斜率分别为则有⇔当直线，的斜率都不存在时，与的关系为两条直线垂直如果两条直线，的斜率存在，设为则⊥⇔如果，中有条直线的斜率不存在，另条直线的斜率为时，与的关系为平行或重合垂直直线方程的五种形式名称已知条件方程适用范围点斜式斜率与点，不含直线斜截式斜率与直线在轴上的截距不含垂直于轴的直线两点式两点，不含直线和直线截距式直线在轴轴上的截距分别为，不含垂直于坐标轴和过原点的直线般式平面直角坐标系内的直线都适用基础训练答案，当且仅当，即时，取得最小值，此时直线的方程为视点二直线方程与平面向量的综合应用已知与相交的充，当且仅当时取等号，此时直线的方程为设直线的斜率为，则，直线的方程为，则所以行或垂直，或利用以下方法求解名师归纳类题练熟直线方程与垂直的充要条件与平行的充分条件两直线平行垂直的判断方法已知两直线的斜率存在两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于已知两直线的般方程可利用直线方程求出斜率，然后判断平平行，则的值是答案解析由曲线过点可得又，所以在点处的切线斜率为由解得所以，化简得考点二两直线平行垂直的位置关系师生共研型江苏在平面直角坐标系中，若曲线，为常数过点且该曲线在点处的切线与直线，则的方程是答案解析圆的圆心为点又因为直线与直线垂直，所以直线的斜率由点斜式得直线求解求倾斜角范围的两个关键点求求出斜率的取值范围看借助正切函数图象数形结合得到倾斜角的取值范围调研福建已知直线过圆的圆心，且与直线垂直取值范围的两种求法数形结合法作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定构建不等式法巧妙地利用不等式所表示的平面区域的性质，抓住斜率满足的不等关系，构造不等式斜率的求法定义法若已知直线的倾斜角或的种三角函数值，般根据求斜率公式法若已知直线上两点般根据斜率公式求斜率斜率范围变化时，斜率为正值且随倾斜角的增大而增大当直线的倾斜角在范围内变化时，斜率为负值且随着倾斜角的增大而增大自我感悟解题规律直线的斜率与倾斜角之间的关系不存在直线的斜率，且所以的最大值为，最小值为提醒直线的倾斜角和斜率不是对等的，当直线的倾斜角为时，直线的斜率不存在，在其他情况下，倾斜角的正切是直线的斜率当直线的倾斜角在，最小值为答案解析如图，设点因为，满足，且，所以点，在线段上移动，并且，两点的坐标分别是,因为的几何意义是，，，综上知，直线的倾斜角的取值范围是，故应选商丘模已知实数，满足，当时，的最大值为方程变为，其倾斜角为当时，由直线的方程，可得斜率,且，，，，即，，，又，线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是，，，，，答案解析当时，∩∅，则有两种情况集合表示的直线与集合所表示的直线平行，即，解得集合表示的直线过点即，解得，综上，或，故选贵阳模设直线∩∅，则有两种情况集合表示的直线与集合所表示的直线平行，即，解得集合表示的直线过点即，解得，综上，或，故选贵阳模设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是，，，，，答案解析当时，方程变为，其倾斜角为当时，由直线的方程，可得斜率,且，，，，即，，，又，，综上知，直线的倾斜角的取值范围是，故应选商丘模已知实数，满足，当时，的最大值为，最小值为答案解析如图，设点因为，满足，且，所以点，在线段上移动，并且，两点的坐标分别是,因为的几何意义是直线的斜率，且所以的最大值为，最小值为提醒直线的倾斜角和斜率不是对等的，当直线的倾斜角为时，直线的斜率不存在，在其他情况下，倾斜角的正切是直线的斜率当直线的倾斜角在范围变化时，斜率为正值且随倾斜角的增大而增大当直线的倾斜角在范围内变化时，斜率为负值且随着倾斜角的增大而增大自我感悟解题规律直线的斜率与倾斜角之间的关系不存在斜率的求法定义法若已知直线的倾斜角或的种三角函数值，般根据求斜率公式法若已知直线上两点般根据斜率公式求斜率斜率取值范围的两种求法数形结合法作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定构建不等式法巧妙地利用不等式所表示的平面区域的性质，抓住斜率满足的不等关系，构造不等式求解求倾斜角范围的两个关键点求求出斜率的取值范围看借助正切函数图象数形结合得到倾斜角的取值范围调研福建已知直线过圆的圆心，且与直线垂直，则的方程是答案解析圆的圆心为点又因为直线与直线垂直，所以直线的斜率由点斜式得直线，化简得考点二两直线平行垂直的位置关系师生共研型江苏在平面直角坐标系中，若曲线，为常数过点且该曲线在点处的切线与直线平行，则的值是答案解析由曲线过点可得又，所以在点处的切线斜率为由解得所以两直线平行垂直的判断方法已知两直线的斜率存在两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于已知两直线的般方程可利用直线方程求出斜率，然后判断平行或垂直，或利用以下方法求解名师归纳类题练熟直线方程与垂直的充要条件与平行的充分条件与相交的充，当且仅当时取等号，此时直线的方程为设直线的斜率为，则，直线的方程为，则所以，当且仅当，即时，取得最小值，此时直线的方程为视点二直线方程与平面向量的综合应用已知直线过点且与轴轴的正半轴分别相交于，两点，为坐标原点求当取得最小值时，直线的方程解析设，直线的方程为，所以故，，当且仅当时取等号，此时直线的方程为含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过两条定直线交点的直线系，即能够看出“动中有定”求解与直线方程有关的最值问题，先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值多维思考技法提炼名师叮嘱素养培优学方法提能力启智培优易错易误对直线的斜率截距等情况讨论不全致误规范解答解当直线过原点时，该直线在轴和轴上的截距为方程即为当直线不经过原点时，截距存在且均不为，即，方程为将的方程化为，，或综上可知的取值范围为，典例设直线的方程为若在两坐标轴上截距相等，求的方程若不经过第二象限，求实数的取值范围防范措施在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距为零的情形，导致产生漏解常见的与截距问题有关的易误点有“截距互为相反数”“截距是另截距的几倍”等，解决此类问题时，要先考虑截距为的情形，注意分类讨论思想的运用跟踪训练常州模拟过点,且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为答案或解析当截距不为时，设所求直线方程为，即点,在直线上，所求直线的方程为当截距为时，设所求直线方程为，则有，即，此时直线的方程为，即综上，直线的方程为或名师指导必明个易误点利用两点式计算斜率时易忽视时斜率不存在的情况用直线的点斜式求方程时，在斜率不明确的情况下，注意分存在与不存在两种情况讨论，否则会造成失误直线的截距式中易忽视截距均不为这条件，当截距为时可用点斜式由般式确定斜率时易忽视判断是否为，当时，不存在当时，必会种方法求斜率可用，其中为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割牢记“斜率变化分两段是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论”求直线方程的般方法直接法根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时，应注意各种形式的方程的适用范围，必要时要分类讨论待定系数法，具体步骤为设所求直线方程的种形式由条件建立所求参数的方程组解这个方程组求出参数把参数的值代入所设直线方程第八章平面解析几何第节直线的倾斜角与斜率直线的方程考情展望考查直线的有关概念，如直线的倾斜角斜率截距等考查不同条件下求直线的方程点斜式两点式及般式等题型多为客观题，多与两直线的位置关系直线与圆的位置关系及圆锥曲线结合交汇命题主干回顾基础通关固本源练基础理清教材基础梳理表示直线方向的两个量直线的倾斜角定义直线向上的方向与轴正向的夹角特别地，若直线与轴平行或重合时规定倾斜角为范围，直线的斜率定义若直线的倾斜角不是，则其斜率计算公式若由，确定的直线不垂直于轴，则两条直线的平行垂直与其斜率大小间的关系两条直线平行对于两条不重合的直线其斜率分别为则有⇔当直线，的斜率都不存在时，与的关系为两条直线垂直如果两条直线，的斜率存在，设为则⊥⇔如果，中有条直线的斜率不存在，另条直线的斜率为时，与的关系为平行或重合垂直直线方程的五种形式名称已知条件方程适用范围点斜式斜率与点，不含直线斜截式斜率与直线在轴上的截距不含垂直于轴的直线两点式两点，不含直线和直线截距式直线在轴轴上的截距分别为，不含垂直于坐标轴和过原点的直线般式平面直角坐标系内的直线都适用基础训练答案判断正误，正确的打，错误的打“”当直线和斜率都存在时，定有⇒如果两条直线与垂直，则它们的斜率之积定等于经过定点，的直线都可以用方程表示经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程表示过点,的直线的斜率等于，则的值为或或解析，直线为常数的倾斜角为解析由直线方程得，所以斜率，设倾斜角为，所以，又因为，所以已知直线经过点且斜率为，则直线的方程为解析由，得，故选已知直线的倾斜角满足，且它在轴上的截距为，则直线的方程是答案解析由，得，直线的斜率为又直线在轴上的截距为，直线与轴的交点为直线的方程为，即试题调研考点突破精研析巧运用全面攻克答案考点直线的倾斜角与斜率自主练透型调研湖南八市联考已知，且∩∅，则或解析由题可知，集合表示过点,且斜率为的直线，但除去点而集合表示条直线，该直线的斜率为，且过点若∩∅，则有两种情况集合表示的直线与集合所表示的直线平行，即，解得集合表示的直线过点即，解得，综上，或，故选贵阳模设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是，，，，，答案解析当时，方程变为，其倾斜角为当时，由直线的方程，可得斜率,且，，，，即，，，又，，综上知，直线的倾斜角的取值范围是，故应选商丘模已知实数，满足，当时，的最大值为，最小值为答案解析如图，设点因为，满足，且，所以点，在线段上移动，并且，两点的坐标分别是,因为的几何意义是直线∩∅，则有两种情况集合表示的直线与集合所表示的直线平行，即，解得集合表示的直线过点即，解得，综上，或，故选贵阳模设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是，，，，，答案解析当时，