所以错显然正确使用反证法时，“反设”可以作为推理的条件应用，所以错答案教材习题改编已知实数满足，则的最小值为解析由柯西不等式得，所以答案已知都是正数则的最小值是解析答案广东深圳模拟记„，则与的大小关系是解析由于，„，„„，即答案设，则与的大小关系是解析从而答案考向比较法证明不等式高频考点命题视角利用比较法证明不等式是历年高考重点，主要命题角度作差与比当且仅当时取，为正数，由柯西不等式得又，所以知大于的正数满足求证求的最小值解证明由柯西不等式得个重要类型，重点要抓住算术几何平均不等式的结构特点和使用条件利用柯西不等式求最值，实质上是利用柯西不等式进行放缩，结合已知条件求出最值，但要注意检验等式成立的条件变式训练福建福州模拟已当时，等号成立规律方法利用算术几何平均不等式证明不等式或求最值问题，是不等式问题中的，当且仅当时取，为正数，由柯西不等式得当且仅最小值，并指出取得最小值时的值解证明何平均不等式柯西不等式的应用典例江苏高考已知，证明无锡调研已知均为正数，且求的也就是证明若，则所以若综上，从而考向算术几知，，求证解欲证成立，只要证，即要证的常见书面表达是“，”或“⇒”分析法是寻找结论成立的充分条件，证明思路是“执果索因”，其框图表示为⇐⇐⇐„得到个明显成立的条件变式训练苏中三市连云港联合调研已，即所以规律方法综合法证明的逻辑关系是⇒⇒⇒„⇒⇒为已知条件或数学定义定理公理，为要证结论，它由题设得，即所以，即因为，故综合法与分析法证明不等式典例课标全国卷Ⅱ设均为正数，且，证明解由得因为，所以，不同时为，故，所以，即有考向用设实数，满足，求证解作差得式两边为代数和形式时，通常采用作差把定量比较左右的大小转化为定性判定左右的符号，从而降低了问题的难度当要比较的两式呈幂的结构时，可结合函数的单调性，采用作商比较法证明变式训练江苏苏州检测式两边为代数和形式时，通常采用作差把定量比较左右的大小转化为定性判定左右的符号，从而降低了问题的难度当要比较的两式呈幂的结构时，可结合函数的单调性，采用作商比较法证明变式训练江苏苏州检测设实数，满足，求证解作差得因为，所以，不同时为，故，所以，即有考向用综合法与分析法证明不等式典例课标全国卷Ⅱ设均为正数，且，证明解由得由题设得，即所以，即因为，故，即所以规律方法综合法证明的逻辑关系是⇒⇒⇒„⇒⇒为已知条件或数学定义定理公理，为要证结论，它的常见书面表达是“，”或“⇒”分析法是寻找结论成立的充分条件，证明思路是“执果索因”，其框图表示为⇐⇐⇐„得到个明显成立的条件变式训练苏中三市连云港联合调研已知，，求证解欲证成立，只要证，即要证也就是证明若，则所以若综上，从而考向算术几何平均不等式柯西不等式的应用典例江苏高考已知，证明无锡调研已知均为正数，且求的最小值，并指出取得最小值时的值解证明，当且仅当时取，为正数，由柯西不等式得当且仅当时，等号成立规律方法利用算术几何平均不等式证明不等式或求最值问题，是不等式问题中的个重要类型，重点要抓住算术几何平均不等式的结构特点和使用条件利用柯西不等式求最值，实质上是利用柯西不等式进行放缩，结合已知条件求出最值，但要注意检验等式成立的条件变式训练福建福州模拟已知大于的正数满足求证求的最小值解证明由柯西不等式得又，所以当且仅当时取，为正数，由柯西不等式得当且仅当时，等号成立规律方法利用算术几何平均不等式证明不等式或求最值问题，是不等式问题中的个重要类型，重点要抓住算术几何平均不等式的结构特点和使用条件利用柯西不等式求最值，实质上是利用柯西不等式进行放缩，结合已知条件求出最值，但要注意检验等式成立的条件变式训练福建福州模拟已知大于的正数满足求证求的最小值解证明由柯西不等式得又，所以当且仅当时，等号成立由柯西不等式得，，又，得当且仅当时，等号成立，故所求的最小值是遵守种原则“正难则反”原则当直接证明有困难时，常采用反证法勿忘点注意利用算术几何平均不等式，柯西不等式求最值定注意等式成立的条件熟记种方法分析法⇐⇐⇐„⇐⇐结论步步寻求不等式成立的充分条件已知综合法⇒⇒⇒„⇒⇒已知逐步推演不等式成立的必要条件结论规范解答之算术几何平均不等式在证明不等式中的应用分已知均为正数，证明，并确定为何值时，等号成立规范解答示例因为均为正数，由算述几何平均不等式得分所以故分又，所以原不等式成立当且仅当时，式和式等号成立当且仅当时，式等号成立分即当且仅当时，原式等号成立分构建答题模板第步，分别用算术几何平均不等式⇓第二步相加后又构成用算术几何平均不等式的条件⇓第三步求出等号成立的条件智慧心语易错提示是多次运用算术几何平均不等式后化简错误是求解等号成立的的值时计算出错防范措施注意不等式成立的条件要善于对式子进行恰当的转化变形类题通关若正数满足，求的最小值解因为均为正数，且，所以则，当且仅当时，等号成立即，故的最小值为固基础自主落实提知能典例探究课后限时自测启智慧高考研析第二节不等式的证明与利用不等式求最大小值考纲传真要求内容不等式的证明比较法综合法分析法算术几何平均不等式与柯西不等式利用不等式求最大小值运用数学归纳法证明不等式证明不等式的基本方法比较法名称理论依据证明步骤作差比较法⇔⇒⇒综合法和分析法综合法的结构形式⇒⇒⇒„⇒已证过的不等式和不等式的性质所要证明的结论推导过程或等价变换分析法的结构形式⇐⇐⇐„所要证明的结论寻找结论成立的过程明显成立的条件充分条件算术几何平均不等式两个结论如果那么，当且仅当时，等号成立如果，那么，当且仅当时，等号成立定理若„，为正数，则„„，等号当且仅当„时成立柯西不等式定理设，均为实数，则，其中等号当且仅当时成立定理设，为平面上的两个向量，则，其中等号当且仅当，共线时成立定理设，，则，这个不等式称为三角形不等式利用不等式求最大小值利用算术几何平均不等式求最大小值利用柯西不等式求最大小值夯基释疑判断下列结论的正误正确的打，错误的打“”比较法最终要判断式子的符号得出结论综合法强调将问题进行合理变形转换，使之能运用定义公理定理性质推证命题分析法要强调书写步骤的合理性，注意逻辑上的充分条件，步步可逆不是指等价使用反证法时，“反设”不能作为推理的条件应用解析比较法包含求差与求商，所以错显然正确使用反证法时，“反设”可以作为推理的条件应用，所以错答案教材习题改编已知实数满足，则的最小值为解析由柯西不等式得，所以答案已知都是正数则的最小值是解析答案广东深圳模拟记„，则与的大小关系是解析由于，„，„„，即答案设，则与的大小关系是解析从而答案考向比较法证明不等式高频考点命题视角利用比较法证明不等式是历年高考重点，主要命题角度作差与比较作商与比较典例江苏高考已知，求证设，，求证思路点拨利用作差法证明利用作商法证明，由指数函数的性质当时当时，当时即同理可证通关锦囊当要证的不等式两边为代数和形式时，通常采用作差把定量比较左右的大小转化为定性判定左右的符号，从而降低了问题的难度当要比较的两式呈幂的结构时，可结合函数的单调性，采用作商比较法证明变式训练江苏苏州检测设实数，满足，求证解作差得因为，所以，不同时为，故，所以，即有考向用综合法与分析法证明不等式典例课标全国卷Ⅱ设均为正数，且，证明解由得由题设得，即所以，即因为，故式两边为代数和形式时，通常采用作差把定量比较左右的大小转化为定性判定左右的符号，从而降低了问题的难度当要比较的两式呈幂的结构时，可结合函数的单调性，采用作商比较法证明变式训练江苏苏州检测设实数，满足，求证解作差得因为，所以，不同时为，故，所以，即有考向用综合法与分析法证明不等式典例课标全国卷Ⅱ设均为正数，且，证明解由得由题设得，即所以，即因为，故，即所以规律方法综合法证明的逻辑关系是⇒⇒⇒„⇒⇒为已知条件或数学定义定理公理，为要证结论，它的常见书面表达是“，”或“⇒”分析法是寻找结论成立的充分条件，证明思路是“执果索因”，其框图表示为⇐⇐⇐„得到个明显成立的条件变式训练苏中三市连云港联合调研已知，，求证解欲证成立，只要证，即要证也就是证明若，则所以若综上，从而考向算术几何平均不等式柯西不等式的应用典例江苏高考已知，证明无锡调研已知均为正数，且求的最小值，并指出取得最小值时的值解证明，当且仅当时取，为正数，由柯西不等式得当且仅当时，等号成立规律方法利用算术几何平均不等式证明不等式或求最值问题，是不等式问题中的个重要类型，重点要抓住算术几何平均不等式的结构特点和使用条件利用柯西不等式求最值，实质上是利用柯西不等式进行放缩，结合已知条件求出最值，但要注意检验等式成立的条件变式训练福建福州模拟已知大于的正数满足求证求的最小值解证明由柯西不等式得又，所以当且仅当设实数，满足，求证解作差得综合法与分析法证明不等式典例课标全国卷Ⅱ设均为正数，且，证明解由得，即所以规律方法综合法证明的逻辑关系是⇒⇒⇒„⇒⇒为已知条件或数学定义定理公理，为要证结论，它知，，求证解欲证成立，只要证，即要证何平均不等式柯西不等式的应用典例江苏高考已知，证明无锡调研已知均为正数，且求的，当且仅当时取，为正数，由柯西不等式得当且仅个重要类型，重点要抓住算术几何平均不等式的结构特点和使用条件利用柯西不等式求最值，实质上是利用柯西不等式进行放缩，结合已知条件求出最值，但要注意检验等式成立的条件变式训练福建福州模拟已又，所以