似三角形面积的比等于相似比相似比相似比别要注意对应角和对应边相似三角形的性质可用来证明线段成比例角相等也可间接证明线段相等广东卷如下图，在平行四边形中，点在上且，与交于点，则的和中，，，故，则，于是，所以判定两个三角形相似要注意结合图形特征灵活选择判定定理，特答案例如图，弦与相交于内点，过作的平行线与的延长线交于点已知，求的值相似三角形的判定与性质解由知，在延长，交于点，作⊥于点，得得梯形，梯形，梯形梯形于三角形的边，是否过边的中点如图，在梯形中，，分别为，上的点，且，，则梯形与梯形的面积比为解析如图，首先要观察平行线组，再确定所截直线，进而确定比例线段及比例式，同时注意合比性质等比性质的运用平行线分线段成比例定理及推论是证明两条线段相等的重要依据，特别是在应用推论时，定要明确哪条线段平行灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边相似三角形的性质可用来证明设，又，所以所以所以利用平行线分线段成比例定理来计算或证明，在和中，，，故，则，于是，所以判定两个三角形相似要注意结合图形特征形梯形答案例如图，弦与相交于内点，过作的平行线与的延长线交于点已知，求的值相似三角形的判定与性质解由知，解析如图，延长，交于点，作⊥于点，得得梯形，梯形，梯要明确哪条线段平行于三角形的边，是否过边的中点如图，在梯形中，，分别为，上的点，且，，则梯形与梯形的面积比为例定理来计算或证明，首先要观察平行线组，再确定所截直线，进而确定比例线段及比例式，同时注意合比性质等比性质的运用平行线分线段成比例定理及推论是证明两条线段相等的重要依据，特别是在应用推论时，定求的长平行线分线段成比例定理的应用解因为，为的中点，所以，设，又，所以所以所以利用平行线分线段成比则考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”热点命题突破考点突破解码命题例如图，已知为中边的中点，，交于，交延长线于，若形的性质构造比例或利用中间比求解判定两个三角形相似的常规思路先找两对对应角相等若只能找到对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否例，在运用平行线分线段成比例定理时要注意平行线的不同位置，以及在三角形与四边形中的灵活应用证明线段成比例，若已知条件中没有平行线，但有三角形相似的条件如角相等，有相等的比例式等，常考虑相似三角，得，由射影定理，答案运用平行线分线段成比例定理的注意点平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例，得，由射影定理，答案运用平行线分线段成比例定理的注意点平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例，在运用平行线分线段成比例定理时要注意平行线的不同位置，以及在三角形与四边形中的灵活应用证明线段成比例，若已知条件中没有平行线，但有三角形相似的条件如角相等，有相等的比例式等，常考虑相似三角形的性质构造比例或利用中间比求解判定两个三角形相似的常规思路先找两对对应角相等若只能找到对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”热点命题突破考点突破解码命题例如图，已知为中边的中点，，交于，交延长线于，若求的长平行线分线段成比例定理的应用解因为，为的中点，所以，设，又，所以所以所以利用平行线分线段成比例定理来计算或证明，首先要观察平行线组，再确定所截直线，进而确定比例线段及比例式，同时注意合比性质等比性质的运用平行线分线段成比例定理及推论是证明两条线段相等的重要依据，特别是在应用推论时，定要明确哪条线段平行于三角形的边，是否过边的中点如图，在梯形中，，分别为，上的点，且，，则梯形与梯形的面积比为解析如图，延长，交于点，作⊥于点，得得梯形，梯形，梯形梯形答案例如图，弦与相交于内点，过作的平行线与的延长线交于点已知，求的值相似三角形的判定与性质解由知，在和中，，，故，则，于是，所以判定两个三角形相似要注意结合图形特征灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边相似三角形的性质可用来证明设，又，所以所以所以利用平行线分线段成比例定理来计算或证明，首先要观察平行线组，再确定所截直线，进而确定比例线段及比例式，同时注意合比性质等比性质的运用平行线分线段成比例定理及推论是证明两条线段相等的重要依据，特别是在应用推论时，定要明确哪条线段平行于三角形的边，是否过边的中点如图，在梯形中，，分别为，上的点，且，，则梯形与梯形的面积比为解析如图，延长，交于点，作⊥于点，得得梯形，梯形，梯形梯形答案例如图，弦与相交于内点，过作的平行线与的延长线交于点已知，求的值相似三角形的判定与性质解由知，在和中，，，故，则，于是，所以判定两个三角形相似要注意结合图形特征灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边相似三角形的性质可用来证明线段成比例角相等也可间接证明线段相等广东卷如下图，在平行四边形中，点在上且，与交于点，则的周长的周长题图题图陕西卷如上图，中以为直径的半圆分别交，于点若，则解析，又四边形为平行四边形，，的周长的周长由圆内接四边形的性质，可知，，所以所以又因为所以答案例如上图，在中，，⊥于点，⊥于点，⊥于点，求证射影定理的应用由三角形为直角三角形，因此可以利用射影定理，寻找边与之间的关系，同理可以得到边与之间的关系，再根据，，得到有关比例式，最终得到所求证的结果证明由直角三角形射影定理知，由，得，由，得利用直角三角形的射影定理解决问题首先确定直角边与其射影，再就是要善于将有关比例式进行适当的变形转化，有时还要将等积式转化为比例式或将比例式转化为等积式，并且注意射影定理的其他变式如图所示，圆上点在直径上的射影为，则圆的半径等于题图题图如图所示，在中，，⊥于，是的平分线，交于，求证解析在中，由射影定理得，所以圆的半径等于证明由三角形的内角平分线定理得，在中在中，在中，由射影定理知，即由得，由得答案见解析课堂实效检测当堂检验小试牛刀如图，在中分别是，的中点交于点，那么与面积的比是解析，分别是中点，故綊，，答案如图所示，已知，∶∶，则∶，∶解析，∶∶，∶∶同理，得∶∶，即，即即∶∶答案∶∶如图，在直角梯形中，，⊥，点分别为线段的中点，则解析连接和，依题知，为平行四边形，⊥，⊥，又是的中点，故分别是的中点，答案已知圆的直径，为圆上点，过作⊥于，若，则解析如图，连接是的直径，设，⊥于，由射影定理得，即，得，答案如图，已知圆上的弧︵︵，过点的圆的切线与的延长线交于点，证明证明因为︵︵，所以又因为与圆相切于点，故，所以因为，，所以，故，即选考部分选修几何证明选讲第节相似三角形的判定及有关性质课堂实效检测课时作业主干知识整合热点命题突破主干知识整合要点梳理追根求源平行线等分线段定理如果组在条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也平行线平行截割定理相等平行线分线段成比例定理定理三条平行线截两条直线，所得的成比例推论平行于三角形边的直线截其他两边或两边的延长线所得的成比例对应线段对应线段平行线分线段成比例定理的推论的逆命题正确吗提示正确如果条直线截三角形的两边或两边的延长线所得的对应线成比例，那么这条直线平行于三角形的第三条边，该命题正确如图，已知，直线，分别与交于点和，如果则解析由平行线等分线段定理可直接得到答案答案相似三角形的判定定理两角对应的两个三角形相似两边对应并且夹角的两个三角形相似三边对应的两个三角形相似相似三角形的判定与性质相等成比例相等成比例相似三角形的性质定理相似三角形对应高的比对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似三角形周长的比等于相似三角形面积的比等于相似比相似比相似比的平方相似三角形是否有传递性提示相似三角形有传递性如图，⊥，则解析在中依题意得，可得答案如图，，，是中点，⊥于，则与的相似比是解析为中点即，在中，又，相似比为故与的相似比为答案直角三角形斜边上的高是在斜边上射影的比例中项两直角边分别是它们在上射影与的比例中项直角三角形的射影定理两直角边斜边斜边如图，在中，是斜边上的高，则有如图，在中，，⊥于点，则，解析在中，得又由射影定理，得，由射影定理，答案运用平行线分线段成比例定理的注意点平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例，在运用平行线分线段成比例定理时要注意平行线的不同位置，以及在三角形与四边形中的灵活应用证明线段成比例，若已知条件中没有平行线，但有三角形相似的条件如角相等，有相等的比例式等，常考虑相似三角形的性质构造比例或利用中间比求解判定两个三角形相似的常规思路先找两对对应角相等若只能找到对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”热点命题突破考点突破解码命题例如图，已知为中边的中点，，交于，交延长线于，若求的长平行线分线段成比例定理的应用解因为，为的中点，所以，设，又，所以所以所以利用平行线分线段成比例定理来计算或证明，首先要观察平行线组，再确定所截直线，进而确定比例线段及比例式，同时注意合比性质等比性质的运用平行线分线段成比例定理及推论是证明两条线段相等的重要依据，特别是在应用推论时，定要明确哪条线段平行于三角形的边，是否过边的中点如图，在梯形中，，分别为，上的点，且，，则梯形与梯形的面积比为，得，由射影定理，答案运用平行线分线段成比例定理的注意点平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例，在运用平行线分线段成比例定理时要注意平行线的不同位置，以及在三角形与四边形中的灵活应用证明线段成比例，若已知条件中没有平行线，但有三角形相似的条件如角相等，有相等的比例式等，常考虑相似三角形的性质构造比例或利用中间比求解判定两个三角形相似的常规思路先找两对对应角相等若只能找到对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”热点命题突破考点突破解码命题例如图，已知为中边的中点，，交于，交延长线于，若求的长平行线分线段成比例定理的应用解因为，为的中点，所以，设，又，所以所以所以利用平行线分线段成比例定理来计算或证明，首先要观察平行线组，再确定所截直线，进而确定比例线段及比例式，同时注意合比性质等比性质的运用平行线分线段成比例定理及推论是证明两条线段相等的重要依据，特别是在应用推论时，定要明确哪条线段平行于三角形的边，是否过边的中点如图，在梯形中，，分别为，上的点，且，