1、为轴轴轴正半轴建立空间直角坐标系，则设，则，⊥平面，⊥，⊥，即，解得，即为所求如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，为侧棱上的点若⊥平面，问侧棱上是否存在点，使得平面若存在，求的值若不存在，试说明理由解析连结，设交于，由题意知⊥平面又为正方形，两两垂直，以为坐标原点，分别为轴轴轴正方向，建立空间直角坐标系，如图设底面边长，则高，于是假设在棱上存在点，使平面由题意知是平面的个法向量设，则，而，所以，所以，即当时，⊥，又不在平面内，所以当时，平面易混易错辨析在棱长为的正方体的棱，上是否分别存在点使得⊥平面，若存在，请证明你的结论，并求出，满足的条件若不存在，说明理由误解若在建系不恰当，则会导致运算烦琐，甚至出错，致使结论错误若不知如何把线面的位臵关系转化。

2、共线向量都平行于另个平面证明两个平面的法向量平行证明证法如图，以点,平面，平面，平面如图，在正方体中分别是正方体六个面的中心求⊥如图，设与的交点为，连接，则的底面的三边长，⊥，又⊥平面，两两垂直如图，以为坐标原点，直线分别为轴轴轴建立空间直角坐标系，则点，直线的方向向量，则如图，在直三棱柱中，点是的中点求证⊥求证平面证明直三棱柱可取直线的方向向量与平面的法向量，证明可在平面内取基向量证明存在实数使直线的方向向量，然后说明不在平面内即可在平面内若能找到两，即可用与线性表示，故与是共面向量平面，又⊄平面，即平面总结反思证明直线平面的方法⊥，⊄平面，平面证法二，，又⊄平面平面证法三由证法二知，的法向量是则，且，，取，得，又，轴轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则可求得，。

3、⊥，⊥由三垂线定理，得⊥同理⊥又∩，⊥平面证法二设，则，平面，又平面，平面⊥平面证法同证法，建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量是，则有⊥，⊥令，得即而显然是平面的个法向量这样，⊥，即平面的法向量与平面的法向量互相垂直，平面⊥平面总结反思证明面面垂直通常有两种方法，是利用面面垂直的判定定理，转化为线面垂直线线垂直去证明二是证明两个平面的法向量互相垂直如图，在五面体中，⊥平面，，⊥，为的中点，证明平面⊥平面证明⊥平面，⊥，⊥，又⊥，两两垂直如图，建立空间直角坐标系，点为坐标原点，设，依题意得，则，可得，因此⊥，⊥又∩，⊥平面又平面，平面⊥平面如图，在棱长，的长方体中，点是平面上的个动点，点是的中点试确定点的位置，使⊥平面探索性问题分析在平面中寻找两个向量，使其与的数量积为即可解析以点为原点，所在的射线分。

4、⊥平面证明⊥平面，⊥，⊥，又⊥，两两垂直如图，建立空间直角坐标系，点为坐标原点，设，依题意得，则，可得，因此⊥，⊥又∩，⊥平面又平面，平面⊥平面如图，在棱长，的长方体中，点是平面上的个动点，点是的中点试确定点的位置，使⊥平面探索性问题分析在平面中寻找两个向量，使其与的数量积为即可解析以点为原点，所在的射线分别为轴轴轴正半轴建立空间直角坐标系，则设，则，⊥平面，⊥，⊥，即，从而，得设，则设平面的法向量，则面又平面，平面，∩，平面平面证法二建立空间直角坐标系如证法中的图，设平面的法向量，则，，平面，平面平面，平面平面，平为坐标原点，分别以为正交基底建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为，则证平面平面面面平行分析用向量证明面面平行有两个途径利用面面平行的判定定理，即证明个平面内的两个不。

5、，则，，平面，平面平面，平面平面，平面又平面，平面，∩，平面平面证法二建立空间直角坐标系如证法中的图，设平面的法向量，则，从而，得设，则设平面的法向量，则，从而，得，设，则平面平面总结反思证明面面平行的向量方法有两种第种是分别求出两平面的法向量，再证明两法向量平行第二种是证明个平面有两不共线向量平行于另平面，转化为线面平行的问题在正方体中，分别为的中点求证平面平面证明以为原点，直线分别为轴轴轴建立空间直角坐标系则，，，设平面的个法向量，则，，又，，⊥，⊥，也是平面的个法向量，故平面平面在正方体中，分别是，的中点求证⊥平面分析可以从纯几何的角度和向量运算的角度进行证明线面垂直解析证法如图，取的中点，连接，则，⊥平面，⊥平面。

6、向量之间的关系，则本例无法继续求解正解建立如图空间直角坐标系，则设,则若⊥平面，则，即，，解得所以当，满足时，⊥平面总结反思准确确定点的坐标认真审题，分清题设条件，建立适当的空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标及合理设出待定点的坐标，本例中，要在正方体的棱上，其坐标必需满足条件，,合理转化已知条件根据题设条件，将几何关系转化为向量关系，准确运用向量运算解答例如本例中处的转化成才之路数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索北师大版选修空间向量与立体几何第二章用向量讨论垂直与平行第二章知识要点解读预习效果检测课堂典例讲练课时作业易混易错辨析课前自主预习课前自主预习垂直问题直线与直线垂直只要两直线的垂直，两直线必垂直直线与平面垂直直线的若与平面的平行，则直线与平面垂直反之亦成立平面与平面垂直平面与平。

7、是设平面向量，⊥课堂典例讲练如图所示，在正方体中，分别是的中点求证平面线面平行证明证法如图所示，以为原点，所在直线分别为轴答案若直线的方向向量为，平面的法向量为，则⊥与斜交答案解析，为平面的法已知，分别是直线，的方向向量，若，则答案在空间直角坐标系中，平面的个法向量是,已知，分别是直线，的方向向量，若，则答案在空间直角坐标系中，平面的个法向量是答案若直线的方向向量为，平面的法向量为，则⊥与斜交答案解析，为平面的法向量，⊥课堂典例讲练如图所示，在正方体中，分别是的中点求证平面线面平行证明证法如图所示，以为原点，所在直线分别为轴轴轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则可求得，于是设平面的法向量是则，且，，取，得，又，⊥，⊄平面，平面证法二，，又。

8、平面的法向量是否共线关于三垂线定理的理解三垂线定理叙述的是平面内直线与平面的斜线，及斜线在平面内的投影三者之间的垂直关系这里与可以相交，可以异面三垂线定理是判断或证明空间中线线垂直的主要依据，三垂线定理跨越了线面垂直，直接由线线垂直到线线垂直，为解决线线垂直提供了条捷径直线的方向向量与平面法向量在确定直线平面的平行关系中的应用若两直线，的方向向量分别是则⇔若两平面，的个法向量分别是则⇔若直线的方向向量是，平面的个法向量是，则⇔⊥⇔判定空间线面垂直关系时，直线的方向向量与平面的法向量的确定方法在实际解题过程中，需要确定直线的方向向量和平面的法向量，通常是先确定直线上两点的坐标，从而求出直线的方向向量平面的法向量则通常需要确定平面内不共线的三个点的坐标，然后确定平面内两条直线的方向向量，最后用待定系数法求出平面法向量预习。

9、平面平面证法三由证法二知，即可用与线性表示，故与是共面向量平面，又⊄平面，即平面总结反思证明直线平面的方法可取直线的方向向量与平面的法向量，证明可在平面内取基向量证明存在实数使直线的方向向量，然后说明不在平面内即可在平面内若能找到两点，直线的方向向量，则如图，在直三棱柱中，点是的中点求证⊥求证平面证明直三棱柱的底面的三边长，⊥，又⊥平面，两两垂直如图，以为坐标原点，直线分别为轴轴轴建立空间直角坐标系，则⊥如图，设与的交点为，连接，则,平面，平面，平面如图，在正方体中分别是正方体六个面的中心求证平面平面面面平行分析用向量证明面面平行有两个途径利用面面平行的判定定理，即证明个平面内的两个不共线向量都平行于另个平面证明两个平面的法向量平行证明证法如图，以点为坐标原点，分别以为正交基底建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长。

10、较特殊能够建立空间直角坐标系时，坐标运算更为简单确定平面的法向量平面的法向量就是平面法线的方向向量，因此可以先确定平面的法线，再取它的方向向量也可以直接判定向量与平面内的两条相交直线垂直，而得到平面的法向量确定平面的法向量通常有两种方法几何体中已经给出有向线段，只需证明线面垂直几何体中没有具体的直线，此时可以采用待定系数法求解平面的法向量般采用以下步骤来求法向量建立空间直角坐标系，设法向量找出平面内的两个不共线的向量的坐标，建立方程组解方程组，由于解不确定，只取其中组解，也就求出此平面的个法向量对于空间中平行关系的向量表示的三点说明直线与直线平行关键看直线的方向向量是否共线直线与平面平行关键看直线的方向向量与平面的法向量是否垂直或者看直线的方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量是否共面平面与平面平行关键看。

11、果检测设两条直线所成角为为锐角，则直线的方向向量的夹角与相等互补互余相等或互补答案设的方向向量为，的方向向量为，若⊥，则等于答案已知，分别是直线，的方向向量，若，则答案在空间直角坐标系中，平面的个法向量是答案若直线的方向向量为，平面的法向量为，则⊥与斜交答案解析，为平面的法向量，⊥课堂典例讲练如图所示，在正方体中，分别是的中点求证平面线面平行证明证法如图所示，以为原点，所在直线分别为轴轴轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则可求得，于是设平面的法向量是则，且，，取，得，又，⊥，⊄平面，平面证法二，，又⊄平面平面证法三由证法二知，即可用与线性表示，故与是共面向量平面，又⊄平面，即平面总结反思证明直线平面的方法可取直线的方向向量与平面的法向量，证明可在平面内。

12、垂直的充要条件是方向向量方向向量法向量两平面的法向量互相垂直平行问题直线与直线平行只要两条直线的直线与平面平行直线的若与平面的垂直直线不在平面内，则直线与平面平行平面与平面平行当两平面的两平面不重合时两平面平行方向向量平行且这两条直线不共线即可方向向量法向量法向量平行三垂线定理三垂线定理若平面内的条直线垂直于平面外的条直线在该平面上的，则这两条直线垂直三垂线定理的逆定理若平面内的条直线垂直于平面外的条直线，则这条直线也垂直于直线在该平面内的投影投影知识要点解读确定直线的方向向量设是直线的方向向量，则是个非零向量直线的方向向量有无数多个，它们都与向量平行给定空间中任意点和非零向量，就可以确定唯条过点且平行于向量的直线在解立体几何题时，直线的方向向量般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标运算，在给出的几何体比。

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