1、“.....⊥，⊥，⊥，⊥由已知得⊥，⊥，⊥平面，⊥又⊥，∩，⊥平面，⊥，⊥，即是二面角平面角设，则，而⊥，⊥在中，，，即二面角大小为当堂检测二面角是指个平面绕这个平面内条直线旋转所组成图形个半平面与另个半平面组成图形从条直线出发两个半平面组成图形两个相交平行四边形组成图形答案以下角异面直线所成角直线和平面所成角二面角平面角，可能为钝角有个个个个答案如图，已知⊥矩形所在平面，则图中互相垂直平面有对对对对答案解析平面和平面平面和平面平面和平面平面和平面平面和平面，故选如图，正方体中，截，即二面角大小是如图所示，已知三棱锥，，为中点，且是正三角形，⊥求证平面⊥平面求二面角，⊥又，，在中，在中，连接设，⊥，⊂，⊥又∩，⊥平面而⊂平面，⊥，是二面角平面角由⊥，⊂，⊂知⊥，，求二面角大小分析在内过作⊥，连接⊥为二面角平面角解求角解析如图所示，在平面内，过作⊥，垂足为，相等或互补大小关系不确定答案解析可作出这两个二面角平面角，易知这两个平面角两边分别平行......”。

2、“.....斜边⊂，点∉，⊥，为垂足，角两个半平面产生交线，这两条交线所成角，即为二面角平面角如图所示，为二面角平面角如果个二面角两个半平面与另个二面角两个半平面分别平行，则这两个二面角大小关系是相等互补垂线法过二面个面内点作另个平面垂线，过垂足作棱垂线，利用线面垂直可找到二面角平面角或其补角如图所示，为二面角平面角方法三垂面法过棱上点作棱垂直平面，该平面与二面小步骤简称为“作二证三求”作平面角时，定要注意顶点选择作二面角平面角方法方法定义法在二面角棱上找个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱射线如图所示，为二面角平面角方法二，所以所以，所以所以所以所以二面角平面角度数为规律总结求二面角大≌所以，且所以为二面角平面角又⊥平面，所以⊥又⊥，∩，所以⊥平面所以⊥设，则为正方形，所以所以二面角平面角度数为作⊥于，连接且与交于点，连接，如图由题意知≌，则，从而所以为二面角平面角又由题意知，所以二面角平面角度数为因为⊥平面，所以⊥......”。

3、“.....所以⊥又∩，所以⊥平面又⊂平面，所以平面⊥平面所以二面角平面角度数为因为⊥平面，所以⊥，⊥二面角平面角度数求二面角平面角度数求二面角大小探究求二面角平面角大小，先找二面角平面角，然后在三角形中求解解析因为⊥平面，所以⊥因为四边形以⊥平面因为⊂平面，所以平面⊥平面四边形是正方形，⊥平面，且求二面角平面角度数求二面角平面角度数求中点证明取中点，连接，因为所以⊥因为，所以又所以≌，所以，即⊥所中，，为所在平面外点，求证平面⊥平面分析设在平面内射影为，为外心，即中中，，为所在平面外点，求证平面⊥平面分析设在平面内射影为，为外心，即中点证明取中点，连接，因为所以⊥因为，所以又所以≌，所以，即⊥所以⊥平面因为⊂平面，所以平面⊥平面四边形是正方形，⊥平面，且求二面角平面角度数求二面角平面角度数求二面角平面角度数求二面角平面角度数求二面角大小探究求二面角平面角大小，先找二面角平面角，然后在三角形中求解解析因为⊥平面，所以⊥因为四边形为正方形，所以⊥又∩......”。

4、“.....所以平面⊥平面所以二面角平面角度数为因为⊥平面，所以⊥，⊥所以为二面角平面角又由题意知，所以二面角平面角度数为因为⊥平面，所以⊥，⊥所以为二面角平面角又四边形为正方形，所以所以二面角平面角度数为作⊥于，连接且与交于点，连接，如图由题意知≌，则，从而≌所以，且所以为二面角平面角又⊥平面，所以⊥又⊥，∩，所以⊥平面所以⊥设，则，所以所以，所以所以所以所以二面角平面角度数为规律总结求二面角大小步骤简称为“作二证三求”作平面角时，定要注意顶点选择作二面角平面角方法方法定义法在二面角棱上找个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱射线如图所示，为二面角平面角方法二垂线法过二面个面内点作另个平面垂线，过垂足作棱垂线，利用线面垂直可找到二面角平面角或其补角如图所示，为二面角平面角方法三垂面法过棱上点作棱垂直平面，该平面与二面角两个半平面产生交线，这两条交线所成角，即为二面角平面角如图所示，为二面角平面角如果个二面角两个半平面与另个二面角两个半平面分别平行......”。

5、“.....易知这两个平面角两边分别平行，故这两个二面角相等或互补已知，斜边⊂，点∉，⊥，为垂足，，，求二面角大小分析在内过作⊥，连接⊥为二面角平面角解求角解析如图所示，在平面内，过作⊥，垂足为，连接设，⊥，⊂，⊥又∩，⊥平面而⊂平面，⊥，是二面角平面角由⊥，⊂，⊂知⊥，⊥又，，在中，在中，，即二面角大小是如图所示，已知三棱锥，，为中点，且是正三角形，⊥求证平面⊥平面求二面角正弦值若为中点，求三棱锥体积线面面面垂直综合问题探索延拓探究本题题设条件有三个是直角三角形，⊥是正三角形是中点，解答本题，只需证线面垂直，进而由线面垂直证明面面垂直，对于首先应作出二面角平面角，然后求其正弦值，解答小题关键是用等体积法求解解析证明是中点，是正三角形，⊥又⊥，∩，⊥平面又⊂平面，⊥又⊥，∩，⊥平面又⊂平面，平面⊥平面⊥，且⊥，是二面角平面角由知⊥平面，则⊥，为中点，为中点，綊，且，由知⊥平面，⊥平面辽宁如图......”。

6、“.....垂直圆所在平面，是圆上点求证平面⊥平面若，求二面角余弦值分析要证面面垂直，只要证明平面内直线垂直于平面要求二面角余弦值，先作出它平面角，再证明，最后计算解析证明由是圆直径，得⊥，由⊥平面，⊂平面，得⊥又∩，⊂平面，⊂平面，所以⊥平面因为⊂平面，所以平面⊥平面如图所示，过作⊥于，因为⊥平面，⊂平面，所以⊥，故⊥平面过作⊥于，连接，得⊥，所以为二面角平面角在中，由得在中，由得因为，所以，故又在中故所以二面角余弦值为易错点不能正确找出二面角平面角误区警示如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，⊥平面，且求二面角大小错解过在底面内作⊥于，连接⊥平面，⊂平面，⊥又∩，⊥平面又⊂平面，⊥，为二面角平面角以下略错因分析点，在中，，即二面角大小是如图所示，已知三棱锥，，为中点，且是正三角形，⊥求证平面⊥平面求二面角正弦值若为中点，求三棱锥体积线面面面垂直综合问题探索延拓探究本题题设条件有三个是直角三角形，⊥是正三角形是中点，解答本题，只需证线面垂直......”。

7、“.....对于首先应作出二面角平面角，然后求其正弦值，解答小题关键是用等体积法求解解析证明是中点，是正三角形，⊥又⊥，∩，⊥平面又⊂平面，⊥又⊥，∩，⊥平面又⊂平面，平面⊥平面⊥，且⊥，是二面角平面角由知⊥平面，则⊥，为中点，为中点，綊，且，由知⊥平面，⊥平面辽宁如图，是圆直径，垂直圆所在平面，是圆上点求证平面⊥平面若，求二面角余弦值分析要证面面垂直，只要证明平面内直线垂直于平面要求二面角余弦值，先作出它平面角，再证明，最后计算解析证明由是圆直径，得⊥，由⊥平面，⊂平面，得⊥又∩，⊂平面，⊂平面，所以⊥平面因为⊂平面，所以平面⊥平面如图所示，过作⊥于，因为⊥平面，⊂平面，所以⊥，故⊥平面过作⊥于，连接，得⊥，所以为二面角平面角在中，由得在中，由得因为，所以，故又在中故所以二面角余弦值为易错点不能正确找出二面角平面角误区警示如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，⊥平面，且求二面角大小错解过在底面内作⊥于，连接⊥平面，⊂平面，⊥又∩，⊥平面又⊂平面，⊥......”。

8、“.....而不是盲目地按三垂线法直接作出在找二面角平面角时，般按照先找后作原则，避免盲目地按三垂线法作二面角平面角正解，，，即⊥又⊥平面，⊂平面，⊥又∩，⊥平面又⊂平面，⊥，是二面角平面角在中，⊥，故二面角大小为如图所示，在中，⊥，⊥平面，垂直平分，且分别交，于点又求二面角大小解析⊥平面，⊥，⊥，⊥，⊥由已知得⊥，⊥，⊥平面，⊥又⊥，∩，⊥平面，⊥，⊥，即是二面角平面角设，则，而⊥，⊥在中，，，即二面角大小为当堂检测二面角是指个平面绕这个平面内条直线旋转所组成图形个半平面与另个半平面组成图形从条直线出发两个半平面组成图形两个相交平行四边形组成图形答案以下角异面直线所成角直线和平面所成角二面角平面角，可能为钝角有个个个个答案如图，已知⊥矩形所在平面，则图中互相垂直平面有对对对对答案解析平面和平面平面和平面平面和平面平面和平面平面和平面，故选如图，正方体中，截面与底面所成二面角正切值等于答案解析连交于点，连，为中点，在中......”。

9、“.....⊥，为二面角平面角设，则，如图，在四棱锥中，若⊥平面且是菱形求证平面⊥平面分析证明本题关键是在其中个平面内找条直线垂直于另个平面证明⊥平面，⊂平面，⊥是菱形，⊥又∩，⊥平面又⊂平面，平面⊥平面点评证明平面与平面垂直方法面面垂直定义法证明平面角为直角面面垂直判定定理在个面内找另个面垂线根据面面垂直定义判定两平面垂直实质上是把问题转化成了求二面角平面角，通常情况下利用判定定理要比定义简单些，即要证明面面垂直，只要转证线面垂直，其关键与难点是在其中个平面内寻找直线与另平面垂直成才之路数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教版必修点直线平面之间位置关系第二章直线平面垂直判定及其性质第二章平面与平面垂直判定高效课堂课后强化作业优效预习当堂检测优效预习直线与平面垂直判定方法定义判定定理即⊥，⊥，⊂，⊂则⊥两平面位置关系角定义从平面内点出发两条所成图形线面角定义条直线与它在平面内所成锐角或直角知识衔接∩平行与相交射线射影正方体中，直线与平面所成角等于答案如右图......”。