二元函数的连续性PPT文档(定稿)

返回后页前页二元函数的连续性无论是单元微积分还是多元微积分，其中所讨论的函数，最重要的类就是连续函数二元函数连续性的定义比元函数更般化了些而它们的局部性质与在有界闭域上的整体性质，二者完全相同二元函数的连续性概念二有界闭域上连续函数的性质返回后页前页二元函数的连续性概念连续性的定义若只要，就有，续，其中，则复合函数在点也连续证由在点连续可知使得当，在点邻域内有定义，并在，点连续，在点，邻域内有定返回后页前页，时，有又由在点连续可知对上述使得当，时，有，，综合起来，当时，便有所以，在点连续，返回后页前页二有界闭域上连续函数性质本段讨论有界闭域上多元连续函数整体性质这可以看作闭区间上元连续函数性但由于，因此它在原点处对和对分别都连续例设在区域，上分别对和对都连续试证在下列条件之满足时在上处处连续对其中个变量例如满足李普希茨条件，即，恒有使得对任何返回后页前页对其中个变量连续关于另个变量是致，即只与有关而与无关当且时对切恒有参见本节习题第题这里不作证明证，因在连续故任给当时有，返回后页前页又当，时满足令则当，，且，，时又有返回后页前页在上处处连续，即在连续由任意性便知因在连续故当时有又由对连续关于是致，故，使，当且时有返回后页前页，令则当且时又有，这就证得在上处处连续连续函数局部性质以及相应有理运算各个法则下面只证明二元若二元函数在点连续，则与元函数样，可以证明它在这点近旁具有局部有界性局部保号性返回后页前页复合函数连续性定理，其余留给读者自己去练习定理复合函数连续性设函数，和义，并在点连续，其中，则复合函数在点也连续证由在点连续可知使得当，在点邻域内有定义，并在，点连续，在点，邻域内有定返回后页前页，时，有又由在点连续可知对上述使得当，时，有，，综合起来，当时，便有所以，在点连续，返回后页前页二有界闭域上连续函数性质本段讨论有界闭域上多元连续函数整体性质这可以看作闭区间上元连续函数性并设再在中取出与下标相同子列，则因，有最后，由在连续，得返回后页前页这与相矛盾，所以在上致连续定理介值性定理设函数在区域上连续，若，为中任意两点，且，则对任何满足不等式证作辅助函数实数，必存在点，使得返回后页前页，易见仍在上连续，且由式知道，下面证明必存在，使图返回后页前页由于为区域，我们可以用有限段都在中折线连结和如图若有个连接点所对应函数值为，则定理得证否则从端开始逐段检查，必定存在直线段，使得在它两端函数值异号不失般性，设连结，直线段含于，其方程为返回后页前页在此直线段上，变为关于复合函数由于为，上元连续函数且，因此由元函数根存在定理，在，内存在点，使得记则有，，使得，即返回后页前页有连通性界闭集证明过程无原则性变化但是介值性定理中所考察点集只能假设是区域，这是为了保证它具有连通性，而般开集或闭集是不定具续函数，则必定是个区间有限或无限注由定理又可知道，若为区域上连例，设在上连续，又有函数序列在上致收敛且注定理与中有界闭域可以改为有返回后页前页，试证在上也致收敛证由定理知道在上致连续，于是，当且，时总有又在上致收敛故当时对切有故又有返回后页前页这就证得，在上致收敛复习思考题在元函数连续性定义中，如何引入“孤立点必为这两种说法有何不同你喜欢哪种说法等函数都是在其定义区间上连续函数”当引入了“孤立点必为连续点”后，上述结论便可简单地说成是“任何初等函数在其定义域上处处连续”试讨论连续点”这个概念在讨论元初等函数时有个重要结论“任何初但由于，因此它在原点处对和对分别都连续例设在区域，上分别对和对都连续试证在下列条件之满足时在上处处连续对其中个变量例如满足李普希茨条件，即，恒有使得对任何返回后页前页对其中个变量连续关于另个变量是致，即只与有关而与无关当且时对切恒有参见本节习题第题这里不作证明证，因在连续故任给当时有，返回后页前页又当，时满足令则当，返回后页前页二元函数连续性无论是单元微积分还是多元微积分，其中所讨论函数，最重要类就是连续函数二元函数连续性定义比元函数更般化了些而它们局部性质与在有界闭域上整体性质，二者完全相同二元函数连续性概念二有界闭域上连续函数性质返回后页前页二元函数连续性概念连续性定义若只要，就有，则称关于集合在点连续在不致误解情形下，也称在点连续若在上任何点都关于集合连续，则称为上连续函数定义设为定义在点集上二元函数，返回后页前页由上述定义知道若是孤立点，则必定是连续点若是聚点，则关于集合在点连续等价于如果是聚点，而式不成立其含义与元函数对应情形相同，则称是不连续点或称间断点特别当式左边极限存在，但不等于如上节例给出函数在原点连续例是可去间断点时，返回后页前页给出函数在原点不连续又若把上述例函数改为上，这时由于，其中为固定实数，亦即函数只定义在返回后页前页，在坐标原点连续性，因此此时在原点连因此在原点沿着直线是连续例讨论函数解由于当且时，返回后页前页时续而当不存在，此时在原点间断全增量与偏增量，设，称量形式来描述连续性，即当为函数在点全增量和元函数样，可用增返回后页前页，时，在点连续，或如果在全增量中取则相应得到增量称为偏增量，分别记作，般说来，函数全增量并不等于相应两个偏增量之和返回后页前页若个偏增量极限为零，如，则表示当固定时，作为函数，它在连续同理，若则表示当容易证明当在其定义域内点连续时在与在都连续但是反过来，由二元函数对单个自变量都连续，般不能保证该函数连续性除非另外增加条件例如二元函数固定时在连续返回后页前页在原点处显然不连续，但由于，因此它在原点处对和对分别都连续例设在区域，上分别对和对都连续试证在下列条件之满足时在上处处连续对其中个变量例如满足李普希茨条件，即，恒有使得对任何返回后页前页对其中个变量连续关于另个变量是致，即只与有关而与无关当且时对切恒有参见本节习题第题这里不作证明证，因在连续故任给当时有，返回后页前页又当，时满足令则当，，且，，时又有返回后页前页在上处处连续，即在