换，广义的初等变换分为的秩，则例设，分别为，阶矩阵，则的行线性相关即的充要条件是存在使证明充分性设的列线性相关，由定理，存在使，作，，则，故必要性设有，，，为的列向量且，使，即，，因，由定理可知，的列线性无关类似可证例矩阵列线性无关，，求证列线性无关的充要条件是列线性无关证明充分性要使，即，记，则因列无关，须，即，又列无关，须，从而列无关二〇〇七年七月十三日星期五必要性要使，两边左乘，则，即，又列无关，即，则列无关矩阵的列行向量相关与无关性的问题很多都会涉及到利用分块矩阵，因为矩阵的行列都可以看作是矩阵的子块，在处理矩阵的分解问题时也是样，在线性代数中还有很常见的分块方法有四种二〇〇七年七月十三日星期五列向量分法，，，，则推论设，都是阶方阵，则有二〇〇七年七月十三日星期五证明根据性质并应用于列的情况，有，根据性质有，则推论设，都是阶方阵，则有证明作阶行列式，由拉普拉斯展开定理得又根据性质并应用于列的情况，有，则推论设，都是阶方阵，其中，并且，则有证明根据性质，由知存在，并由，用乘矩阵的第行后加到第二行去得，从而分，从而分块矩阵常见的分块方法矩阵的分块技巧较强，因此要根据不同的问题进行不同的分块，推论设，都是阶方阵，其中，并且，则有证明根据性质，由都是阶方阵，则有证明作阶行列式，由拉普拉斯展开定理得又根据性质并应用于列的情况，有，则部分内容简介时当为奇数时性质设是由如下的分块矩阵组成，其中都是矩阵，又是任阶方阵对于矩阵，则推论设，都是阶方阵，则有二〇〇七年七月十三日星期五证明根据性质并应用于列的情况，有，根据性质有，则推论设，都是阶方阵，则有证明作阶行列式，由拉普拉斯展开定理得又根据性质并应用于列的情况，有，则推论设，都是阶方阵，其中，并且，则有证明根据性质，由知存在，并由，用乘矩阵的第行后加到第二行去得，从而分块矩阵常见的分块方法矩阵的分块技巧较强，因此要根据不同的问题进行不同的分块，常见的分块方法有四种二〇〇七年七月十三日星期五列向量分法，，，为的列向量行向量分法，，为的行向量分成两块，其中，分别为的若干列，或其中，分别为若干行分成四块对分块矩阵还可以进行广义的初等变换，广义的初等变换分为三种交换分块矩阵的两行列用可逆阵乘以分块矩阵的行列用矩阵乘行列加到另行列根据广义初等变换的类型对应三种广义初等阵，均为可逆矩阵，分块矩阵在证明方面的应用分块矩阵在矩阵的相关的秩的相关证明中的应用定理，分别为矩阵，的秩，则例设，分别为，阶矩阵，则证明构造分块矩阵，对进行广义初等变换，则二〇〇七年七月十三日星期五，根据矩阵初等变换的性质有，而，所以利用分块矩阵证明矩阵秩的问题，般采用两种方法，种是利用已知矩阵作为元素来拼成高阶数的矩阵来证明，另种方法就是将已知矩阵拆成阶数较低的矩阵来证明这两种方法在证明问题时都是很有效的，很大部分相关矩阵秩的问题，都可以用分块矩阵来证明分块矩阵在线性相关性及矩阵的分解中的应用分块矩阵在线性性及矩阵的分解中有着广泛的应用，但要达到运用自如却非易事，其基础知识抽象，解题方法技巧性强，稍有不慎就会陷入困境作为线性代数的个重要内容和工具的矩阵，我们往往容易忽略它重要的点矩阵分块的作用下面就通过些例子介绍下它在线性相关性及矩阵的分解证明中的应用定理矩阵列线性无关的充要重要条件是只有零解推论设，则的列线性相关即的充要条件是存在使的行线性相关即的充要条件是存在使证明充分性设的列线性相关，由定理，存在使，作，，则，故必要性设有，，，为的列向量且，使，即，，因，由定理可知，的列线性无关类似可证例矩阵列线性无关，，求证列线性无关的充要条件是列线性无关证明充分性要使，即，记，则因列无关，须，即，又列无关，须，从而列无关二〇〇七年七月十三日星期五必要性要使，两边左乘，则，即，又列无关，即，则列无关矩阵的列行向量相关与无关性的问题很多都会涉及到利用分块矩阵，因为矩阵的行列都可以看作是矩阵的子块，在处理矩阵的分解问题时也是样，在线性代数中还有很多问题也可以分块矩阵来解决例设，则，使得，使得证明，，使，将与作如下的分块，则，因，令，，即得分块矩阵在相似问题中，，，，，因为，所以是可逆矩阵，则，从而由定理中的得二〇〇七年七月十三日星期五设，其中由于，从推论知行列式的计算是线性代数中的个重要内容，利用分块矩阵，求解行列式时应具体问题具体对待，从而简化行列式的计算过程，达到快速解决问题的目的分块矩阵在求逆矩阵方面的应用求分块矩阵的逆矩阵可以用伴随矩阵或初等变换的方法来解决，而此类方法对阶数较高的矩阵运算量比较大，对些矩阵可以适当分块后再进行运算，可以起到事半功倍的作用定理设是个四分块矩阵，其中为阶方阵，当与都是可逆矩阵时，则是可逆矩阵，且，特别地当，，与都可逆时，有当，，与都可逆时，有当，，与都可逆时，有定理设是个四分块矩阵，其中为阶矩阵，为阶矩阵，当与都是可逆矩阵时，则是可逆矩阵，且二〇〇七年七月十三日星期五，特别地当，，与都是可逆时，有当，，与都是可逆时，有当，，与都是可逆时，有例求矩阵的逆矩阵解令，，则原矩阵，由定理中知先求出矩阵，的逆矩阵，从而得到，，则二〇〇七年七月十三日星期五注在用分块矩阵求逆矩阵时，常常针对几种特殊的情形，对般矩阵而言，此种方法并没有多大的实用价值,相比较而言，初等变换更具优势这启示我们要具体问题具体分析，培养求简的数学精神和实事求是的科学态度分块矩阵在求解矩阵方程方面的应用设矩阵方程形如，其中，分别为，阶可逆矩阵，求我们容易知道解为，对此我们需要先求得，，再求得有时这样计算比较复杂，对此我们需要个简便的方法由于，同时取行列式可得，即，对此我们可以用分块矩阵的方法构建个行列式，可得，其对应的矩阵为，经过广义的初等变换可得，即但此方法仍比较繁琐，对此我们需要对此进行简化，由初等变换我们知道矩阵中的第二行和第二列以及都对初等变换没有作用，可以说是多余的，去掉第二行和第二列，的位置用代替，这样我们得到了个新的矩阵，在经过系列初等变换得到，即由此我们就可以通过构造分块矩阵然后通过初等变换求得例求解满足条件的解构造分块矩阵得二〇〇七年七月十三日星期五系列初等变换系列初等变换，故分块矩阵在求解非齐次线性方程组中的应用定理如果是个阶非奇异矩阵，，将进行分块，其中，分别是，矩阵，若是非奇异方阵，那么定存在个上三角分块矩阵，使得，其中，且是非奇异阵对于该结论用来解决个方程的非齐次线性议程组是比较方便的设非齐次线性方程组为，该方程组可写成矩阵方程其中为系数矩阵，若，则该方程组有唯定解现将矩阵分块，，并注意使，同时将及进行分块，令，