1、“.....该级数是收敛的，我们后面的讨论也是在的范围内进行的，这样可以省略式次方以上的项，得到,将式代入式中得已有文献得到在大角度和有阻尼时单摆的运动方程的解析式为对式求阶和二阶导数式中的，，可知和的指数函数取右端的部分，它们在，取值，故在误差范围内误差比较小，可以的运动方程为式中为不存在阻尼是系统的固有频率，称为阻尼系数。两边同时乘以并积分得设初始条件为，，......”。

2、“.....当，且时，由上式得上式中的正负号表示，当摆锤从最高点以释放时，有两种可能的运动状态，正号表示逆时针方向旋转，负号表示顺时针方向旋转。类似地，当，时，由式得到上式表明在，的初始条件下，单摆运动到最高点时，其后的运动也具有沿正反两个方向旋转的可能性。式和均运动在状态空间出现了不同的分支，并且有定的随机性。有阻尼单摆的振动在有阻尼的情况下，单摆的运动也具有沿正反两个方向旋转的可能性。类似地，当，时，由式得到上式表明在，的初始条件下，单摆运动到最高点时，其后部分内容简介上式两边同时乘以并积分得设初始条件为，，，则将上式代入式得上式又可写为所以，当，且时，由上式得上式中的正负号表示......”。

3、“.....有两种可能的运动状态，正号表示逆时针方向旋转，负号表示顺时针方向旋转。类似地，当，时，由式得到上式表明在，的初始条件下，单摆运动到最高点时，其后的运动也具有沿正反两个方向旋转的可能性。式和均说明，在确定的条件下，运动不再是唯的，运动在状态空间出现了不同的分支，并且有定的随机性。有阻尼单摆的振动在有阻尼的情况下，单摆的运动方程为式中为不存在阻尼是系统的固有频率，称为阻尼系数。该方程的解分三种情况欠阻尼状态当阻力很小，以致，由式可求出单摆此时的运动方程为其中而周期，，很显然，即弱阻尼情况下单摆振动周期变长，如图所示。上式说明，当阻尼不大时，系统仍做周期性振动，但振幅系统不再具有振动特性随时间按指数衰减。过阻尼状态如阻力很大，以致......”。

4、“.....上式表明，随时间的推移单摆单调趋于平衡位置，单摆的振动不仅是非周期的，甚至不是往复的。所以过阻尼振动状态下，系统不可能发生振动，而是更为缓慢的逼近平衡位置，如图所示。临界阻尼状态如阻尼界于前两者之间，且，此时，所以周期，即系统不再具有振动特性，阻尼的作用使物体刚回到平衡位置，速度即变为零，不可能在越过平衡位置而发生振动，如图所示。图单摆阻尼运动三种情况的比较考虑空气阻力时大角度单摆的运动当考虑空气阻力及单摆运动的角度较大，单摆在收受到阻力驱动力下由牛顿第二定理可知运动学方程为公式中为阻尼系数......”。

5、“.....该级数是收敛的，我们后面的讨论也是在的范围内进行的，这样可以省略式次方以上的项，得到,将式代入式中得已有文献得到在大角度和有阻尼时单摆的运动方程的解析式为对式求阶和二阶导数式中的，，可知和的指数函数取右端的部分，它们在，取值，故在误差范围内误差比较小，可以近似得到分别将式和式代入式近似得到又因为将式代入式进行近似得到然后将及式起代入式可得到右端的部分，它们在，取值，故在误差范围内误差比较小......”。

6、“.....可以得到在考虑空气阻力下大角度单摆的周期为在理想情况下单摆的周期为在考虑空气阻力时大角度单摆的周期与理想情况下单摆的周期的比值为从公式我们可以定性的分析此结果的正确性，理想情况下不考虑空气阻力，，而我们考虑的是有空气阻力，且，这样我们得到的周期应该比理想情况下大，而，说明在考虑空气阻力，且时得到的周期应该比理想情况下大，这样正好证明了所得结果是正确的。同样当我们进步考察个受周期性驱动力作用的阻尼单摆时，则进步发现虽然系统仍具有确定的运动方程，但在定的初始条件下，其解具有完全不可预测的随机性......”。

7、“.....即运动方程不再是简单的线性方程时，这系统的运动形式将不再是唯确定的，有时甚至是完全不可预测的，表现出运动的随机性。这种由于系统本身的非线性性质给系统运动带来的不确定性不仅对振动系统是这样的，而且对于任何个确定性运动系统都是如此。确定系统中的内在随机性上面所指出的是非线性单摆，无论是单摆还是受周期性策动力和阻尼作用的单摆，描述它们运动的方程都是确定的。也就是说支配整个系统运动的因素是有严格确定的规律的，系统完全不存在随机力的作用。然而就是在这些确定的系统中，决定性的规律能产生随机行为按定的规律运动的物体，经过时间的演化过程便会产生出完全不可预测的极为复杂的结果来，最后得到条完全随机的运动轨道。这是由简单规律反复作用而形成的复杂的不可预测的现象，是决定性规律产生的随机行为。换句话说，这是由于系统的非线性性质所引起的，与外界施予的各随机因素无关......”。

8、“.....结论单摆在小角的情况下单摆的线性运动具有简谐振动的特征，单摆的振动也就成为最简单的简谐振动。但当摆角可取任意值时，单摆的运动方程不再是线性的，其所描述的运动也不再是简单的简谐振动。本文推出了单摆在阻尼作用下和大角度单摆的运动学方程的近似解，从而将其运动学方程用数学方法来简化，运用导数和微分的方法来计算单摆的运动学方程，通过严格的数学推导得到其周期，当然近似解与精确解相比还存在定的误差，这也是今后需要努力改进的，有待于我们进步的研究。从整个自然界来讲，我们实际上生活在个非线性的世界中，以往只是由于认识手段和认识水平的限制才使我们对非线性的规律知之甚少。现在随着科技知识和认识水平的提高，人类正在努力探索非线性领域中的种种规律，以使人类对自然界和社会的认识迈向新的高度。非线性理论涉及许多高度复杂的数理理论......”。

9、“.....对其进步的学习还有待于更雄厚的数理基础。参考文献朱峰大学物理北京高等教育出版社，曹刚，任晓荣，王贵珍，等单摆的非线性振动山东轻工业学院报熊化高，陈浩有阻尼单摆的冲击波解大学物理肖波齐考虑空气阻力时大角度单摆的周期研究陕西科技大学报漆安慎，杜婵英力学第二版北京高等教育出版社，陈在锋浅析单摆的非线性新乡师院高等专科学校学报何松林弱阻尼非线性单摆的周期研究大学物理刘国越，龚劲涛，吴英，等单摆振动的非谐振和弱阻尼修正绵阳师范学院学报，马文蔚物理学下北京高等教育出版社，吕中荣，刘济科摆的振动分析暨南大学学报周衍柏理论力学教程北京人民教育出版社，陈予恕，季进臣。非线性振动系统动力学行为的实验研究力学进展董永水类特殊非线性阵子周期运动的分析物理与工程邓法金大学物理学第二版北京科学出版社，严燕来大学物理拓宽与应用北京高等教育出版社......”。