，代表全矩阵，代表全矩阵，其中。度矩阵，其中，矩阵二〇四年六月三日星期二定理设为任意阶图，等于。由矩阵树定理可知当且仅当是连通的，据此，称为的代数连通度，记为。现在我们列出图的拉普拉斯矩阵的特征值的些简单性质，第章。定理设为个简单图。则的拉普拉斯矩阵为半正定矩阵。分支数目。图是连通的当且仅当。普拉斯矩阵为半正定矩阵。定理设为个简单图。则的拉部分内容简介等于。由矩阵树定理可知当且仅当是连通的，据此，称为的代数连通度，记为。现在我们列出图的拉普拉斯矩阵的特征值的些简单性质，第章。定理设为个简单图。则的拉普拉斯矩阵为半正定矩阵。的拉普拉斯算子的最小特征值等于，它的重数等于的连通分支数目。图是连通的当且仅当。定理设为任意阶图，。给出图与其补图谱之间的关系如下定理若的谱为，则。二〇四年六月三日星期二定理若为偶图，为的线图，的谱为，的邻接谱为，若，则，。本文主要结果本文着重研究了两个完全图的重组图的谱，然后研究了两个完全图的重组图删去条边所得的图的谱，通过谱之间的比较得出相应的结论，同时推广研究了个完全图的重组图的情形。二〇四年六月三日星期二第二章重组图的谱两个完全图的重组图的谱设为的顶点集。为连同，共有个点的完全图，其顶点集记为，为连同，共有个点的完全图，其顶点集记为。设表示完全图和在基础上的重组图，即，其中。定理，设重组图的谱为，则。证明图的邻接矩阵为，其中，代表全矩阵，代表全矩阵，其中。度矩阵，其中，矩阵二〇四年六月三日星期二的特征多项式为二〇四年六月三日星期二根据行列式的定义可以得到从而得重组图的谱为去掉两个完全图的重组图中内条边的情况定理，设重组图为，去掉内条边的所得到的图，其谱为，则，。证明图的邻接矩阵为，其中二〇四年六月三日星期二，度矩阵为，其中，，矩阵为谱为，则重组图的谱为个，个，个，个，，，。证明图的邻接矩阵为，其中，，度矩阵二〇四年六月三日星期二矩阵二〇四年六月三日星期二其中二〇四年六月三日星期二所以令并进行如下计算二〇四年六月三日星期二根据根的存在性定理可知和之间至少存在个根，和之间至少存在个根综上重组图的谱为个，个，个，个，，，。个完全图的重组图的情形由两个完全图的重组图谱的变化情况，我们可以推广得到个完全图的重组图的情形。定理，设重组图的谱为，则谱为个，个，个，个，个，个，个。定理，设重组图为去掉内条边的所得到的图，则其谱为其中包括个，个，个，个，个，个，个，个。定理，设重组图为去掉中条边所得到的图，则其谱为个，个，个，个，个，个，个，个。定理，设重组图为去掉与之间条边所得到的图，其谱为，则重组图的谱为个，个，个，个，个，个，，。二〇四年六月三日星期二第三章归纳下表是各种情况下重组图的拉普拉斯谱个数分布的情况，，不去边无无无内去边无无无内去边无无无与间去边无无无通过上表，我们可以发现比较定理和定理，去掉重组图中内条边，重组图的谱半径和代数连通度均未发生改变，只是定理比定理增加了这个特征值，及特征值的重数发生了改变。比较定理和定理，去掉重组图中内条边，重组图的代数连通度未发生改变，谱半径发生了变化，需要根据和的大小来确定。比较定理和定理，去掉重组图中与之间的条边，重组图的谱半径不变，代数连通度发生改变，有三个特征值的大小较难确定，只能给出大概的范围。特征值个数不同情况二〇四年六月三日星期二参考文献，，，，二〇四年六月三日星期二致谢本文是在导师吕大梅讲师的悉心指导下完成的，从最初的定题到资料搜集，再到论文的写作修改和定稿，她都给了我细心的指导和耐心的帮助。她踏实的科学态度和严谨的治学精神及精益求精的工作作风时刻激励着我前进，让我受益无穷。在此，我向她表示我最真挚的感谢与真诚的敬意。二〇四年六月三日星期二本科毕业论文题目重组图的拉普拉斯谱作者唐晶专业数学与应用数学师范指导教师吕大梅完成日期年月二〇四年六月三日星期二南通大学本科毕业论文题目重组图的拉普拉斯谱姓名唐晶指导教师吕大梅专业数学与应用数学师范南通大学理学院年月二〇四年六月三日星期二摘要设，是个顶点集为，，边集为的阶简单图。用表示中与之间的边数，称为的邻接矩阵，矩阵的特征值就称为的邻接谱，度矩阵为的顶点度数构成的对角矩阵。图的拉普拉斯矩阵定义为。矩阵的研究是代数图论的重要组成部分。本文着重研究了两个完全图的重组图的谱，然后研究了两个完全图的重组图删去条边所得的图的谱，通过谱之间的比较得出相应的结论，同时推广研究了个完全图的重组图的情形。关键词谱，重组图，完