2016学年高二数学同步习题：第3章《数系的扩充与复数的引入》（人教A版选修1-2）.doc在线文档共19页

方向发展，往往能使问题简捷获解例已知∈，且≠，求的值分析整体思考，乘以即可解决问题解因为例计算分析本题直接运用复数除法运算，比较繁琐，注意到分子分母中实部和虚部的关系，可将分子点评先化为同类项，再凑成形式注意的应用挖掘隐含条件所谓隐含条件，就是隐藏在题目之中但又没有明确说明的条件挖掘出这些隐含条件，往往能使解题变得事半功倍部分内容简介，，可以使些复数问题得到简捷快速的解决例计算分析本题考查复数的运算法则，运用，对式子进行化简解原式点评先化为同类项，再凑成形式注意的应用挖掘隐含条件所谓隐含条件，就是隐藏在题目之中但又没有明确说明的条件挖掘出这些隐含条件，往往能使解题变得事半功倍例计算分析本题直接运用复数除法运算，比较繁琐，注意到分子分母中实部和虚部的关系，可将分子分母同乘以来处理解差异分析通过分析条件和结论之间的差异，促使两者向统的方向发展，往往能使问题简捷获解例已知∈，且≠，求的值分析整体思考，乘以即可解决问题解因为，所以所以又≠，所以复数中的易错点对概念理解不清致误例给出下列命题若∈是纯虚数，则实数是虚数在复平面中，实轴上的点均表示实数，虚轴上的点均表示纯虚数其中真命题的个数为错解若∈是纯虚数，则，解得，故正确因为中含有，所以正确虚轴上所有点的横坐标都为，故正确所以选合情推理的妙用合情推理包括归纳推理和类比推理，在近几年的高考试题中，关于合情推理的试题多与其他知识联系，以创新题的形式出现在考生面前下面介绍些推理的命题特点，揭示求解规律，以期对同学们求解此类问题有所帮助归纳推理的考查数字规律周期性归纳例观察下列各式，„，则的末四位数字为解析，末四位数字为，末四位数字为，末四位数字为，末四位数字为，末四位数字为，„，由上可得末四位数字周期为，呈规律性交替出现，末四位数字为答案点评对于具有周期规律性的数或代数式需要多探索几个才能发现规律，当已给出事实与所求相差甚远时，可考虑到看是否具有周期性代数式形式归纳例设函数，观察„„根据以上事实，由归纳推理可得当∈且时，解析依题意，先求函数结果的分母中项系数所组成数列的通项公式，由„，可推知该数列的通项公式为又函数结果的分母中常数项依次为„，故其通项公式为所以当时，答案点评对于与数列有关的规律归纳，定要观察全面，并且要有取特殊值最后检验的习惯图表信息归纳例古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，比如图图他们研究过图中的„，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数类似的，称图中的„这样的数为正方形数下列数中既是三角形数又是正方形数的是分析将三角形数和正方形数分别视作数列，则既是三角形数又是正方形数的数字是上述两数列的公共项解析设图中数列„的通项公式为，其解法如下，„，故„，而图中数列的通项公式为，因此所给的选项中只有满足答案点评此类图形推理问题涉及的图形构成的元素般为点题目类型为已知几个图形，图形中元素的数量呈现定的变化，这种数量变化存在着简单的规律性，如点的数目的递增关系或递减关系，依据此规律求解问题，般需转化为求数列的通项公式或前项和等二类比推理的考查类比定义在求解类比种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解例等和数列的定义是若数列从第二项起，以后每项与前项的和都是同常数，则此数列叫做等和数列，这个常数叫做等和数列的公和如果数列是等和数列，且则数列的个通项公式是解析由定义，知公和为，且，那么推理证明中是常用的体验反证法的独到之处反证法作为种证明方法，在高考中，虽然很少单独命题，但是有时运用反证法的证明思路判断分析命题有独到之处下面举例分析用反证法证明问题的几个类型证明否定性问题例平面内有四个点，任意三点不共线证明以任意三点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形分析假设以四点中任意三点为顶点的三角形都是锐角三角形，先固定三点组成个三角形，则第四点要么在此三角形内，要么在此三角形外，且各个三角形的内角都是锐角，选取若干个角的和与些已知结论对照即得矛盾证明假设以任意三点为顶点的四个三角形都是锐角三角形，四个点为，考虑，则点有两种情况在内部和外部如果点在内部如图，根据假设知围绕点的三个角都小于，其和小于，这与个周角等于矛盾如果点在外部如图，根据假设知，都小于，即四边形的内角和小于，这与四边形内角和等于矛盾综上所述，可知假设，题中结论成立点评结论本身是否定形式唯性或存在性命题时，常用反证法证明至多至少唯仅仅等问题例是定义在，上且满足如下两个条件的函数组成的集合对任意的∈都有∈存在常数这与题设中矛盾，所以原假设不成立故得证点评若直接证明，往往思路不明确，而运用反证法则能迅速找到解题思路，从而简便得证证明较复杂的问题例如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则和都是锐角三角形和都是钝角三角形是钝角三角形，是锐角三角形是锐角三角形，是钝角三角形解析因为正弦值在内是正值，所以的三个内角的余弦值均大于因此是锐角三角形假设也是锐角三角形，并设，则所以同理设则有又即这与三角形内角和等于矛盾，所以原假设不成立，故选答案例已知求证分析若从正面证明，比较复杂，需要考虑的方面比较多，故采用反证法来证明证明假设，知，知，于是矛盾故同理可证小结至于什么情况下用反证法，应依问题的具体情况而定，切忌滥用反证法般说来，当非命题比原命题更具体更明确更简捷，易于推出矛盾时，才便于用反证法运用反证法证题时，还应注意以下三点必须周密考察原结论，防止否定有所遗漏推理过程必须完全正确，否则，不能肯定非命题是的在推理过程中，可以使用已知条件，推出的矛盾必须很明确，毫不含糊另外，反证法证题的首要环节就是对所证结论进行反设，因此大家必须掌握些常见关键词的否定形式关键词否定是不是都是不都是等于不等于≠大于不大于小于不小于能不能至少有个个也没有至多有个至少有两个至少有个至多有个至多有个至少有个任意存在存在任意正解若∈是纯虚数，则且≠，解得，所以是实数，所以除原点外虚轴上的点均表示纯虚数，原点对应的复数为，所以故答案为点评将复数化为标准代数形式，并正确理解复数是实数虚数和纯虚数的条件，以及复数的几何意义是避免此类的关键忽视题中的隐含条件致误例取何值时，复数∈是实数错解要使为实数，需，解得或，即或时，是实数错因分析未注意分式的分母中含有参数正解要使为实数，需，≠，解得即时，是实数点评研究个复数在什么情况下是实数虚数时，要注意复数的实部虚部有意义这隐含条件忽视复数相等的前提条件致误例已知∈求错解由复数相等的定义，得解得错因分析未注意∈，误把看成，∈的标准形式，错用复数相等的前提条件正解原方程可化为，即，故或，解得或点评复数相等的充要条件的用途非常广泛，是复数问题实数化的主要途径，但应用其解题时，需审清题意，注意复数相等的前提条件，并将复数化为标准代数形式忽视复数不定能比较大小致误例求使不等式，∈⇒，且正解因为不等式两边必须都是实数，所以有，解得点评虚数不能比较大小，两个复数能比较大小的前提条件是它们均是实数在解决这类问题时，要注意挖掘表达式中的隐含条件五误用实数中的运算律例式子的化简结果是错解，故选错解，故选错因分析实数中的幂的运算法则是在条件∈限制下进行的，在复数集中是在条件，∈限制下进行的，所以不能盲目推广正解故选点评实数中的有些运算律和常用结论在复数范围内要慎用六误用实系数方程例已知关于的元二次方程，∈有实数根，求点，的轨迹方程错解方程有实根，，且点，的轨迹为直线的部分错因分析只有在实系数元二次方程中才能利用判别式讨论方程根的个数，本题正确的处理方法是首先设出方程根的形式，然后利用复数相等的充要条件转化为实数问题求解正解设实根为，则，即，根据复数相等的充要条件得由得，代入得，即，所求点的轨迹方程为，轨迹是以，为圆心，为半径的圆点评对于复系数元二次方程为复数，讨论其根的个数时，需先设，∈，将上述方程利用复数相等的充要条件转化为实系数方程后再处理复数中的数学思想数学思想是从数学内容中提炼出来的数学知识的精髓，又是将知识转化为能力的桥梁，掌握以下两种数学思想方法，有利于复数问题的解决化归与转化思想复数集是由实数集扩充而来的，因此实数集内的些性质在复数集内仍然成立利用复数的代数形式将复数问题转化为实数问题是种最常见的解题方法例设，∈，若为实数，则≠≠解析由已知，得因为为实数，所以虚部，即答案点评这里先把分母实数化，即分子分母同乘以分母的共轭复数，这是解决复数问题的常见思路数形结合思想由于复数既可以用代数形式也可以用几何形式表示，因此解复数题常以形助数，数形结合例求满足条件，且的复数的集合解因为，所以在复平面内对应的点在单位圆上又，所以在复平面内对应的点在直线上，如图所示由图形可知只有点，所表示的复数满足条件易得点，的坐标分别为，所以点，所对应的复数分别为和故复数的集合是，点评本题充分挖掘出复数所隐含的几何因素，通过构造图形，借助几何计算，有效地实现了复数问题实数化怎样学好复数复数系是高中阶段对原有的实数系的次大扩充，为了帮助同学们更好地把握复数的概念复数的运算及其几何意义，现从以下几方面加以总结个核心复数问题实数化是解决复数问题的基本原则，即最终