，即，所以可取设是平面则，，，，设是平面的法向量，则由于⊂平面，故⊥又，故因为⊥，且为的中点，所以又因为，所以≌，故⊥，从而两两互相垂因为为的中点，所以易知，别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，利用向量法可求解证明设，建立如图所示的空间直角坐标系，则的补角，要注意从图中分析两条异面直线所成角的范围直线与平面所成角的范围二面角的平面角的取值范围考点向量法证明平行与垂直命题角度主要以直棱柱棱锥或其组合体等易建立空间直角坐标系的几何体为载体，利用空间向量判断平行垂直如图，已知⊥平面，⊥平面，为等边三角形为的中点求证平面求证平面⊥平面思路点拨以点为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，利用向量法可求解证明设，建立如图所示的空间直角坐标系，则因为为的中点，所以易知因为∩，所以⊥平面由于⊂平面，故⊥又，故因为⊥，且为的中点，所以又因为，所以≌，故⊥，从而两两互相垂直以为坐标原点，的方向为轴轴轴的正方向，为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系因为，所以为等边三角形又则，，，，设是平面的法向量，则，即，所以可取设是平面的法向量，则同理可取则，所以二面角的余弦值为在本例第问条件下，求异面直线和所成角的余弦值求直线与平面所成角的正弦值解由本例解析知，，，所以所以异面直线和所成角的余弦值为因为，而平面的法向量所以直线与平面所成角的正弦值为山西省考前质量检测，如图，四棱锥中，底面为梯形，⊥底面，，⊥求证平面⊥平面设为上点，满足，若直线与平面所成的角的正切值为，求二面角的余弦值第讲空间向量与立体几何专题四立体几何考向导航空间向量在立体几何中的应用主要体现在利用空间向量解决立体几何中的位置关系空间角以及空间距离等问题，是每年高考的必考内容，并且以解答题的形式出现，其考查形式为题多问，分步设问，通常第问考查空间位置关系，第二三问考查空间角或距离，难度适中，为中档题利用空间向量求空间角仍然是重点，对探索点或线满足所给关系的问题也要引起足够的重视专题四立体几何活用公式与结论空间角的计算线线夹角设，的夹角为，则线面夹角设直线与平面的夹角为，则，面面夹角设平面的夹角为，则，辨明易错易混点求二面角时，两法向量的夹角有可能是二面角的补角，要注意从图中分析两条异面直线所成角的范围直线与平面所成角的范围二面角的平面角的取值范围考点向量法证明平行与垂直命题角度主要以直棱柱棱锥或其组合体等易建立空间直角坐标系的几何体为载体，利用空间向量判断平行垂直如图，已知⊥平面，⊥平面，为等边三角形为的中点求证平面求证平面⊥平面思路点拨以点为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，利用向量法可求解证明设，建立如图所示的空间直角坐标系，则因为为的中点，所以易知因为断平行垂直如图，已知⊥平面，⊥平面，为等边三角形直线与平面所成角的范围二面角的平面角的取值范围考点向量法证明平行与垂直命题角度主要以直棱柱棱锥或其组合体等易建立空间直角坐标系的几何体为载体，利用空间向量判，通常第问考查空间位置关系，第二三问考查空间角或距离，难度适中，为中档题利用空间向量求空间角仍然何专题四立体几何考向导航空间向量在立体几何中的应用主要体现在利用空间向量解决立体几何中的位置关系空间角以及空间距离等问题，是每年高考的必考内容，并且以解答题的形式出现，其考查形式为题多问，分步设问所以二面角的余弦值为在本例第问条件下，求异面直线和所成角的余弦值求直线与平面所成角的正弦值解由本例解析知，⊥求证平面⊥平面设为上点，满足所以直线与平面所成角的正弦值为山西省考前质量检测，如图，四棱锥中，底面为梯形，⊥底面，线线夹角设，的夹角为，则线面夹角设直线与平面的夹角为，则，所以所以异面，面面夹角设平面的夹角为，则，辨明易错易混点求二面角时，两法向量的夹角有可能是二面角的补角，要注意从图中分析两条异面直线所成角的范围直线与平面所成角的范围二面角的平面角的取值范围考点向量法证明平行与垂直命题角度主要以直棱柱棱锥或其组合体等易建立空间直角坐标系的几何体为载体，利用空间向量判断平行垂直如图，已知⊥平面，⊥平面，为等边三角形为的中点求证平面求证平面⊥平面思路点拨以点为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，利用向量法可求解证明设，建立如图所示的空间直角坐标系，则直以为坐标原点，的方向为轴轴轴的正方向，为单位长度，建立，故⊥又，故因为⊥，且为的中点，所以又因为，所以≌，故⊥，从而两两互相垂直以为坐标原点，的方向为轴轴轴的正方向，为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系因为，所以为等边三角形又则，，，，设是平面的法向量，则，即，所以可取设是平面的法向量，则同理可取则，所以二面角