类型三向量的夹角问题例已知单位向量，求，求解析由已知即，由得，面向量数量积的逆运用特别地，若，则若，则若，则，运用这结论不仅可以判断三角形的形状，还忘记开方向量数量积有关模的性质及作用或可进行向量的运算及求向量的模根据平面向量数量积的定义可知，结合律分配律讲重点平面向量数量积性质的应用利用性质，可以解决关于两个非零向量垂直的问题由⊥，可得反之，由，可得⊥利用影可正可负如图所示，即为，它的符号取决于角的范围知识点向量的数量积的性质设与都是非零向量，为与的夹角若是单位向量，则若⊥，则反之，若，则⊥通常记作⊥⇔对任意两个向量有知识点向量数量积的运算律交换律结合律分配律讲重点平面向量数量积性质的应用利用性质，可以解决关于两个非零向量垂直的问题由⊥，可得反之，由，可得⊥利用或可进行向量的运算及求向量的模根据平面向量数量积的定义可知，利用这关系，可求两个平面向量与的夹角，称为夹角公式，它的实质是平面向量数量积的逆运用特别地，若，则若，则若，则，运用这结论不仅可以判断三角形的形状，还忘记开方向量数量积有关模的性质及作用或性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化变式训练已知，与的夹角为，且求已知求解析由已知即，由得，类型三向量的夹角问题例已知单位向量，求思维启迪解析，，，又求夹角题般有两种思路类是数量积与模积好求解类是与不好求，可采用寻求两者关系，无论哪类型，都用变形公式变式训练已知，是非零向量且满足⊥，⊥，则与的夹角是已知且，求与夹角已知，求向量与的夹角解析由题可得，即，即，所以，设向量与的夹角为，则，所以向量与的夹角为，由，得，展开得，即已知所以，所以与的夹角为答案类型四向量数量积的综合运用例已知⊥，且若对两个不同时为零的实数，使得与垂直，试求的最小值思维启迪转化向量条件，建立与的函数关系，利用函数性质求其最小值解析⊥又由已知得，故当时，取最小值根据题设条件，通过向量运算将变量从向量背景中分离出来，就形成了个函数问题，这是个数学问题的提炼过程若⊥，则变式训练已知向量，的夹角为设当为何值时，与垂直解析由已知得，若⊥，则，而即当时，与垂直知识点向量的夹角如图，已知两个非零向量和，作则叫作向量与的夹角，其范围是，当时，与同向当时，与反向当时，与垂直，记作⊥规定零向量可与任向量垂直知识点向量的数量积已知两非零向量与，它们的夹角为，则把叫做与的数量积或内积，记作，即知识点射影向量在方向上的射影为，向量在方向上的射影为知识点的几何意义与的数量积等于的长度与在方向上射影的乘积，或的长度与在方向上射影的乘积讲重点对平面向量的数量积的理解两向量与的数量积是个实数，不是个向量，其值可以为正当，,时，也可以为负当，,时，还可以为当或或时两向量的数量积是两个向量之间的乘法，它与以前学过的数的乘法是有区别的，在书写时，定要把它们严格区分开来，决不可混淆向量在上的投影不是向量而是数量，其值为也可写成，投影可正可负如图所示，即为，它的符号取决于角的范围知识点向量的数量积的性质设与都是非零向量，为与的夹角若是单位向量，则若⊥，则反之，若，则⊥通常记作⊥⇔对任意两个向量有知识点向量数量积的运算律交换律结合律分配律讲重点平面向量数量积性质的应用利用性质，可以解决关于两个非零向量垂直的问题由⊥，可得反之，由，可得⊥利用或可进行向量的运算及求向量的模根据平面向量数量积的定义可知，利用这关系，可求两个平面向量与的夹角，称为夹角公式，它的实质是平面向量数量积的逆运用特别地，若，则若，则若，则，运用这结论不仅可以判断三角形的形状，还可以判断与是否共线或垂直等性质是个与不等式有关的性质，可以用来证明不等式或求有关函数的最值讲拓展的推广以上结论仍可作为公式使用类型向量数量积的运算例已知当，⊥，与的夹角是时，分别求在，，求思对任意两个向量有识点向量的数量积的性质设与都是非零向量，为与的夹角若是单位向量，则若⊥，则反之，若，则⊥通常记作⊥⇔个不同时为零的实数，使得与垂直，试求的最小值思维启迪转化向量条件得，展开得，即已知所以，所以与的夹角为答案类型四向量数量积的综合运用例已知⊥，且若对两，又求夹角题般有两种思路类是数量积与模积好求解类是与不好求，可采用寻求两者关系，所以向量与的夹角为求与夹角已知，求向量与的夹角解析由题可得，即，即，所以，设向量与的夹角为，则，故当时，取最小值根据题设条件，通过向量运算将变量从，无论哪类型，都用变形公式变式训练已知，是非零向量且满足向量背景中分离出来，就形成了个函数问题，这是个数学问题的提炼过程若⊥，则变式训练已知向量，的夹角为设当为何值时，与垂直解析由已知得，若⊥，则，而即当时，与垂直知识点向量的夹角如图，已知两个非零向量和，作则叫作向量与的夹角，其范围是，当时，与同向当时，与反向当时，与垂直，记作⊥规定零向量可与任向量垂直知识点向量的数量积已知两非零向量与，它们的夹角为，则把叫做与的数量积或内积，记作，即知识点射影向量在方向上的射影为，向量或性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化变式训练已知反之，由，可得⊥利用或可进行向量的运算及求向量的模根据平面向量数量积的定义可知，利用这关系，可求两个平面向量与的夹角，称为夹角公式，它的实质是平面向量数量积的逆运用特别地，若，则若，则若，则，运用这结论不仅可以判断三角形的形状，还忘记开方向量数量积有关模的性质及作用或性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化变式训练已知，与的夹角为，且求已知求解析由已知即，由