的应用例已知平面上定点，和直线，为该平面上动点，作，垂足为，且，所以，又，所以又，则化简得答案，考点三向量在解析几何中此式可化为，解得舍去或，所以长为法如图，所以，解得若，则长为已知菱形的边长为，，点，分别在边，若，则的值为填“重心”“垂心”“内心”“外心”解析即边的高所在直线同理故为垂心答案垂心考点平面向量在平面几何中的应用例在平行四边形中，为中点若直角三角形答案直角三角形在四边形中，则该四边形的面积为解析则故四边形的对角线互相垂直，面积答案泰州模在梯形中为梯形所在平面上点，且满足为边的个动点，则的最小值为解析设点为，则四边形为平行四边形，且所以三点共线又，所以，要使最小，即此时答案在，若，则点是填“重心”“垂心”“内心”“外心”解析即边的高所在直线同理故为垂心答案垂心考点平面向量在平面几何中的应用例在平行四边形中，为中点若，则长为已知菱形的边长为，，点，分别在边，若，则的值为解析由题意，可知因为，所以，即因为，，所以，因此式可化为，解得舍去或，所以长为法如图，所以，解得若，则角的大小为解析由⊥得，即，即，即又，且所以，又，所以又，则化简得答案，考点三向量在解析几何中的应用例已知平面上定点，和直线，为该平面上动点，作，垂足为，且求动点的轨迹方程若圆的任条直径，求的最值解设则，由，得，即，化简得所以点在椭圆上，其方程为因，是椭圆上的任点，设，则有，即又所以因所以当时，取得最大值，故最大值为当时，取得最小值为此时，故最小值为规律方法向量在解析几何中的作用载体作用，向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离斜率夹角轨迹最值等问题工具作用，利用⊥⇔⇔，可解决垂直平行问题，特别地，向量垂直平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直平行问题是种比较可行的方法训练南京盐城模拟已知向量且三点共线，当时，若为直线的斜率，则过点，的直线方程为设为坐标原点，为圆的圆心，且圆上有点，满足，则解析且，解得或当时可知，则过点，且斜率为的直线方程为，即，圆的切线，设方程为由，得，即答案思想方法这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决些函数问题向量为载体求相关变量的取值范围是向量与函数不等式三角函数等相结合的类综合问题将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的般方法量的两个作用载体作用关键是利用向量的意义作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题工具作用利用向量可解决些垂直平行夹角与距离问题易错防范四心”的意义不明，向量关系式的变换出错，向量关系式表达的向量之间的相互位置关系判断错误等意向量夹角和三角形内角的关系，两者并不等价意向量共线和两直线平行的关系两向量，不等价第讲平面向量应用举例考试要求知识梳垂直平移全等相似长度夹角等问题证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理⇔⇔证明垂直问题，常用数量积的运算性质⊥⇔⇔求夹角问题，利用夹角公式为与的夹角解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式向量模向量夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识是以解析几何中的坐标为背景的种向量描述进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体自测判断正误在括号内打或“”若则三点共线解析几何中的坐标直线平行垂直长度等问题都可以用向量解决实现平面向量与三角函数平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算在，若，则为钝角三角形已知平面直角坐标系内有三个定点若动点满足，，则点的轨迹方程是则这个三角形是，直角三角形答案直角三角形在四边形中，则该四边形的面积为解析则故四边形的对角线互相垂直，面积答案泰州模在梯形中为梯形所在平面上点，且满足为边的个动点，则的最小值为解析设点为，则四边形为平行四边形，且所以三点共线又，所以，要使最小，即此时答案在，若，则点是填“重心”“垂心”“内心”“外心”解析即边的高所在直线同理故为垂心答案垂心考点平面向量在平面几何中的应用例在平行四边形中，为中点若，则长为已知菱形的边长为，，点，分别在边，若，则的值为解析由题意，可知因为，所以，即因为，，所以，因此式可化为，解得舍去或，所以长为法如图，所以，解得法二建立如图所示平面直角坐标系，的坐标分别为，，解得由题意知，由答案规律方法用平面向量解决平面几何问题时，在便于建立直角坐标系的情况下建立平面直角坐标系，这样可以使，则的最小值为解析设点为，则四边形为平行四边形，且所以三点共则该四边形的面积为解析则故四边形的对角线互相垂直，面积答案泰州模在梯形中为梯形所在平面上点，且满足为边的个动点，解得或当时可知，则过点，且斜率为的直线方程为为直线的斜率，则过点，的直线方程为设为坐标原点，为圆的圆心，且圆上有点，满足，则解析且设则，由，得，即，化简得所以点在椭圆上，其方程为因，是椭圆上的任点，设，则有，即又所以平行问题，特别地，向量垂直平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直平行问题是种比较可行的方法问题时关键是利用向量的意义运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离斜率夹角轨迹最值等问题工具作用，利用⊥⇔⇔，可解决垂直思想方法这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决些函数问题向量为载体求相关变量的取值范围是向量与函数不等式三角函数等相结合的类综合问题将问题转化为解不等式或因所以当时，取得最大值，故最大值为当时，取得最小值为此时，故最小值求函数值域，是解决这类问题的般方法量的两个作用载体作用关键是利用向量的意义作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题工具作用利用向量可解决些垂直平行夹角与距离问题易错防范四心”的意义不明，向量关系式的变换出错，向量关系式表达的向量之间的相互位置关系判断错误等意向量夹角和三角形内角的关系，两者并不等价意向量共线和两直线平行的关系两向量，不等价第讲平面向量应用举例考试要求知识梳垂直平移全等相似长度夹角等问题证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理⇔⇔证明垂直问题，常用数量积的运算性质⊥⇔⇔求夹角问题，利用夹角公式为与的夹角解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式向量模向量夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识，则角的大小为解析由⊥得，即，即，或，所以长为法如图，所以，解得若，则角的大小为解析由⊥得，即，即，即又，且所以，又，所以又，则化简得答案，考点三向量在解析几何中的应用例已知平面上定点，和直线，为该平面上动点，作，垂足为，且求动点的轨迹方程若圆的任条直径，求的最值解设则，由