数列满足与首末两项等“距离”的两项和相等或等于同常数,那么求这个数列的前项和,可用倒序相为的形式,常采用裂项相消法求和错位相减法若数列是等差数列,是等比数列,则求数列的前项和时,可采用错位相减法倒序相加法如果个能力突破点能力突破点二能力突破方略能力突破模型能力迁移训练能力突破点三数列求和的方法思考数列求和的常用方法有哪些应分别如何选取提示公式法若数列是等差或等比数列,则可直接由等差数列𝑛𝑛𝑛𝑛,则𝑛𝑛𝑛𝑛,𝑛𝑛𝑛案答案关闭解方程的两根为由题意得,设数列的公差为,则,故,从而所以的通项公式为设𝑎𝑛𝑛的前项和为,由知𝑎故的通项公式为由知𝑎𝑛𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛,从而数列𝑎𝑛𝑎𝑛的前项和为𝑛𝑛𝑛𝑛能力目标解读热点考题诠释课标全国Ⅰ高考,文已知是递增的等差数列是方程的根求的通项公式求数列𝑎𝑛𝑛的前项和命题定位本题考查了等差数列通项公式的求法,以及利用错位相减法求和的方法对于求和强化了运算能力和化归思想的考查答案答案关闭解方程的两根为由题意得,设数列的公差为,则,故,从而所以的通项公式为设𝑎𝑛𝑛的前项和为,由知𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛,则𝑛𝑛𝑛𝑛,𝑛𝑛𝑛𝑛两式相减,得𝑛−𝑛𝑛𝑛−𝑛𝑛所以𝑛𝑛能力突破点能力突破点二能力突破方略能力突破模型能力迁移训练能力突破点三数列求和的方法思考数列求和的常用方法有哪些应分别如何选取提示公式法若数列是等差或等比数列,则可直接由等差数列或等比数列的求和公式求和分组求和法个数列的通项公式是由几个等差或等比或可求和的数列的通项相加减而成,求和时可用分组求和法,即先分别求和,然后再合并裂项相消法若数列的通项能转化为的形式,常采用裂项相消法求和错位相减法若数列是等差数列,是等比数列,则求数列的前项和时,可采用错位相减法倒序相加法如果个数列满足与首末两项等“距离”的两项和相等或等于同常数,那么求这个数列的前项和,可用倒序相加法能力突破点能力突破点二能力突破方略能力突破模型能力迁移训练能力突破点三例设数列的前项和为𝑆𝑛𝑛求证数列为等差数列,并分别写出和关于的表达式设数列𝑎𝑛𝑎𝑛的前项和为,求的取值范围分析推理对于给出递推关系中含有和的数列问题,般考虑利用进行转化,对于本题最后化归为证明为常数即可若数列为等差数列,则构造的新数列𝑎𝑛𝑎𝑛的通项可裂项为𝑎𝑛𝑎𝑛𝑎𝑛𝑎𝑛𝑎𝑛𝑎𝑛,再利用裂项相消法求和答案答案关闭解由𝑆𝑛𝑛,得当时即,数列是以为首项,为公差的等差数列则,𝑎𝑎𝑛由题意𝑛𝑛又易知单调递增,故,的取值范围为能力突破点能力突破点二能力突破方略能力突破模型能力迁移训练能力突破点三点评利用裂项相消法求和时,应注意抵消后并不定只剩下第项和最后项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项即前后“对称”利用错位相减法求和时,应注意以下几点在写出与的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”,以便于下步准确写�𝑘−𝑘𝑛−𝑛𝑛−𝑛𝑛𝑛𝑛等能力突破点能力突破点二能力突破点三能力突破方略能力突破模型能力迁移训练例已知数列的各项均是正数,其前项的和为,且满足求数列的通项公式设𝑎𝑛,数列的前项和为,求证当时𝑛𝑛分析推理对于给出递推关系中含有和的数列问题,般考虑利用进行转化,对于本题最后变形为通项间的关系,再利用常见数列的结构形式求得要先明确数列的结构形式再选用合理方法求和有很多情况下,表面上是证明不等式,其实质仍是数列的求和问题,当没有对应的求和公式直接套用时,不妨将数列中的项灵活放缩,使其利于求和答案答案关闭解当时当时整理得,所以数列是以为首项,为公比的等比数列,所以𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛当时𝑛𝑛𝑛−𝑛−𝑛−𝑛𝑛−𝑛𝑛𝑛𝑛故当时𝑛𝑛能力突破点能力突破点二能力突破点三能力突破方略能力突破模型能力迁移训练点评数列与不等式相结合的问题是近几年高考的热点,常见题型是数列前项的和与常数或式的不等关系问题,或证明或求值证不等式常用方法有作差作商比较判断数列的单调性,根据数列的取值范围证明不等式合理利用放缩法求值问题则常常转化为解不等式来解决能力突破点能力突破点二能力突破点三能力突破方略能力突破模型能力迁移训练设数列的前项和为,满足,,且成等差数列求的值求数列的通项公式证明对切正整数,有𝑎𝑎𝑎𝑛能力突破点能力突破点二能力突破点三能力突破方略能力突破模型能力迁移训练解在中,令,得,令,得,解得又,解得解由得又,也满足,对成立能力突破点能力突破点二能力突破点三能力突破方略能力突破模型能力迁移训练证明,𝑎𝑛𝑎𝑛当时𝑎𝑎累乘得𝑎𝑛𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛能力突破点能力突破点二能力突破点三能力突破方略能力突破模型能力迁移训练数列与函数结合的问题思考数列与函数交汇问题的常见处理方法有哪些提示若已知数列满足的函数关系,般利用函数的解析式沟通数列的通项与和,再利用函数的图象性质研究数列问题若已知数列条件,解决函数问题时,般要充分利用数列的特征通项求和等,另外还要注意数列是种特殊的函数例已知点,是函数,且的图象上点,数列的前项和求数列的通项公式若,求数列的前项和分析推理当点满足函数解析式时,般要选择将点代入,进而利用求出通项公式注意涉及的前项和,注意观察数列特点,利用错位相减法求解能力突破点能力突破点二能力突破点三能力突破方略能力突破模型能力迁移训练答案答案关闭把点,代入函数得所以数列的前项和为当时,当时,对时也适合,由,得,所以,由得,所以能力突破点能力突破点二能力突破点三能力突破方略能力突破模型能力迁移训练点评对于数列与函数的交汇问题,定要充分利用函数的解析式和性质来解题解决此题的关键是点的代入和利用导数工具求过曲线上点的切线方程此题目的主体还是数列问题,只不过用到了函数导数中的些辅助知识专题数列求和及综合应用能力目标解读热点考题诠释本部分主要考查数列的各种求和方法及等差等比数列的综合应用通过历年的高考试卷分析,求和方法的考查在主客观题中均有出现,数列作为解答题和解三角形部分的解答题在高考中出现了交替考查现象本部分考查内容主要是以等差等比数列为载体,考查数列通项求和利用递推关系求数列的通项前项和该部分的重点是等差等比数列的基本公式常用性质和各种求和方法该部分的难点是数列与其他知识点的交汇问题如数列中的给定信息题探索题证明题恒成立问题等能力目标解读热点考题诠释大纲全国高考,文设等比数列的前项和为若则命题定位本题考查了等比中项的应用与等比数列前项和的性质,若选用方法不当,将会导致计算量偏大答案解析解析关闭由等比数列前项和的性质,得成等比数列即,解得,故选答案解析关闭能力目标解读热点考题诠释课标全国Ⅱ高考,文等差数列的公差为,若成等比数列,则的前项和𝑛𝑛𝑛𝑛命题定位本题考查等比数列的概念,等差数列的通项公式和求和公式,充分体现了用基本量法解题的基本能力答案解析解析关闭成等比数列,即,解得𝑛𝑛故选答案解析关闭四川高考,文设等差数列的公差为,点,在函数的图象上证明数列为等比数列若,函数的图象在点,处的切线在轴上的截距为,求数列𝑏𝑛的前项和命题定位本题重点考查等差等比数列的定义通项公式和前项和公式及错位相减法求和等知识,本题侧重考查运用基本量法处理数列问题的能力,数列求和问题侧重类型的判断及公式的合理选取能力目标解读热点考题诠释答案解析解析关闭分析利用点,在函数图象上建立与的关系式,然后利用等差数列和等比数列的定义证明结论先利用导数几何意义求出函数的图象在点,处的切线方程,根据已知截距求出的值,从而求出数列𝑏𝑛的通项公式,然后根据通项的结构特征利用错位相减法求和答案解析关闭证明由已知当时,𝑏𝑛𝑏𝑛𝑎𝑛𝑎𝑛所以,数列是首项为𝑎,公比为的等比数列解函数在,处的切线方程为𝑎𝑎,它在轴上的截距为由题意,解得所以𝑏𝑛于是,因此,𝑛𝑛所以,𝑛𝑛能力目标解读热点考题诠释课标全国Ⅰ高考,文已知等差数列的前项和满足,求的通项公式求数列𝑎𝑛𝑎𝑛的前项和命题定位本题主要考查等差数列的通项公式前项和公式及裂项法求和的技巧,题目强调通性通法,难度不高答案答案关闭解设的公差为,则𝑛𝑛由已知可得𝑎解得,故的通项公式为由知𝑎𝑛𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛,从而数列𝑎𝑛𝑎𝑛的前项和为𝑛𝑛𝑛𝑛能力目标解读热点考题诠释课标全国Ⅰ高考,文已知是递增的等差数列是方程的根求的通项公式求数列𝑎𝑛𝑛的前项和命题定位本题考查了等差数列通项公式的求法,以及利用错位相减法求和的方法对于求和强化了运算能力和化归思想的考查答案答案关闭解方程的两根为由题意得,设数列的公差为,则,故,从而所以的通项公式为设𝑎𝑛𝑛的前项和为,由知𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛,则𝑛𝑛𝑛𝑛,𝑛𝑛𝑛𝑛两式相减,得𝑛−𝑛𝑛𝑛−𝑛𝑛所以𝑛𝑛能力突破点能力突破点二能力突破方略能力突破模型能力迁移训练能力突破点三数列求和的方法思考数列求和的常用方法有哪些应分别如何选取提列是方程的根求的通项公式求数列𝑎𝑛𝑛的前项和命题定位本�𝑛𝑛𝑛𝑛,从而数列𝑎𝑛𝑎𝑛的前项和为𝑛𝑛𝑛𝑛能力目标解读热点考题诠释课标全国Ⅰ高考,文已知是递增的等差数的取值范围为能力突破点能力突破点二能力突破方略能力突破模型能力迁移训练能力突破𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛又易知单调递增,故,的前项和为𝑆𝑛𝑛求证数列为等差数列,并分别写出和关于的表达式设数列𝑎𝑛𝑎𝑛的前项和为,求的取值范围分析时即,数列是以�𝑛的通项可裂项为𝑎𝑛𝑎𝑛𝑎𝑛𝑎𝑛𝑎𝑛𝑎𝑛,再利用裂项相消法求和答案答案关闭解由𝑆𝑛𝑛,得当后面也剩两项即前后“对称”利用错位相减法求和时,应注意以下几点在写出与的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”,以便于下步准确写�𝑘−𝑘𝑛−𝑛推理对于给出递推关系中含有和的数列问题,般考虑利用进行转化,对于本题𝑛−𝑛𝑛𝑛𝑛等能力突破点能力突破点二能力突破点三能力突破方略能力突破模型能力迁移训练例已知数列的各项均是正数,其前项的和为,且满足求数列的通项公式设𝑎𝑛,数列的前项和为,求证当时𝑛𝑛分析推理对于给出递推关系中含有和的数列问题,般考虑利用进行转化,对于本题最后变形为通项间的关系,再利用常见数列的结构形式求得要先明确数列的结构形式再选用合理方法求和有很多情况下,表面上是证明不等式,其实质仍是数列的求和问题,当没有对应的求和公式直接套用时,不妨将数列中的项灵活放缩,使其利于求和答案答案关