1、“.....分别求与的数量积已知内接于以为圆心，为半径的圆，且⇒满足乘法结合律不满足乘法结合律向量数量积的运算已知当，⊥，与的反向⇔特别地或对任意两个向量有中很重要的个不等式，用它可研究几何问题若⊥，则反之，若的乘积物理意义力对物体做功，就是力与其作用下物体的位移的数量积数量积的性质若是单位向量，则向当时，与反向⊥任向量向量的数量积定义已知两个向量和，它们的夹角为，把叫作与的数量积或内积，记作......”。

2、“.....或的长度与在方向上射影的乘积物理意义力对物体做功，就是力与其作用下物体的位移的数量积数量积的性质若是单位向量，则若⊥，则反之，若，则⊥通常记作，为非零向量同向⇔反向⇔特别地或对任意两个向量有中很重要的个不等式，用它可研究几何问题中的些不等关系......”。

3、“.....⊥，与的夹角为时，分别求与的数量积已知内接于以为圆心，为半径的圆，且，求的值链接教材例解，若与同向，则若与反向，则，所以当⊥时，所以当与的夹角为时由，得，两边平方得，所以两边平方得，所以，所以方法归纳求向量数量积的方法及注意事项方法分别求出向量与向量的模及向量与向量夹角的余弦值......”。

4、“.....可以先展开，再求在中则等于若等边的边长为，平面内点满足，则解析由可得，在中在中，又等边中，则向量模的问题已知向量与的夹角为，且则设向量满足，⊥则链接教材习题组解析因为，所以，所以，又因为向量与的夹角为且从力做的功到向量的数量积第二章平面向量问题导航计算两个向量的数量积时......”。

5、“.....则这两个向量的夹角定是锐角吗若两个向量的数量积小于零，则这两个向量的夹角定是钝角吗例题导读例通过本例学习，学会计算两个向量的数量积试试教材习题组你会吗例通过本例学习，学会利用向量的数量积求解与三角形有关的问题试试教材习题组你会吗例通过本例学习，学会利用向量数量积证明几何中的垂直关系试试教材习题组你会吗例通过本例学习......”。

6、“.....那么力所做的功为，其中是与的夹角两个向量的夹角定义已知两个非零向量和，如图，作则叫作向量与的夹角范围垂直当时，称向量与互相垂直，记作规定零向量可与垂直特例当时，与同向当时，与反向⊥任向量向量的数量积定义已知两个向量和，它们的夹角为，把叫作与的数量积或内积，记作......”。

7、“.....或的长度与在方向上射影的乘积物理意义力对物体做功，就是力与其作用下物体的位移的数量积数量积的性质若是单位向量，则若⊥，则反之，若，则⊥通常记作，为非零向量同向⇔反向⇔特别地或对任意两个向量有当且仅当时等号成立⊥⇔向量数量积的运算定律已知向量与实数，则交换律结合律分配律乘法公式成立叫作向量在方向上向量在方向上的射影几何意义与的向量的数量积定义已知两个向量和，它们的夹角为，把叫作与的数量积或内积，记作......”。

8、“.....再求在中则等于若等边的边长为，平面内点满足，则若与反向，则，所以当⊥时，所以当与的夹角为时，的余弦值，然后根据数量积的定义求解注意事项要牢记数量积的运算公式要注意确定两个向量的夹角，所以方法归纳求向量数量积的方法及注意事项方法分别求出向量与向量的模及向量与向量夹角，在中，又等边中由，得，两边平方得则向量模的问题已知向量与的夹角为，且则设向量满足......”。

9、“.....所以，又因为向量与的夹角为且从力做的功到向量的数量积第二章平面向量问题导航计算两个向量的数量积时，需要确定哪几个量向量的数量积运算结果和向量的线性运算结果有什么区别若两个向量的数量积大于零，则这两个向量的夹角定是锐角吗若两个向量的数量积小于零，则这两个向量的夹角定是钝角吗例题导读例通过本例学习，学会计算两个向量的数量积试试教材习题组你会吗例通过本例学习......”。