【14页】河南省卢氏县第一高级中学2016年高考专题复习球与球体x

最小值，此时，是等边三角形，同样，都是等边三角形，得为等边三角形，边长等于球半径为的外接圆半径，，说明本题是近年来球这部分所出的最为综合，可作无数个大圆，故选例分析利用球的概念性质和球面距离的知识求解设球的半径为，小圆的半径为则截面与球心的距离，过点的截面圆半径，所以得例分析对球面上两点及球心这三点的位置关系进行讨论当三点不共线时，可以作个大圆当三点共线时部分内容简介求出球半径解，，，，是以为斜边的直角三角形的外接圆的半径为，即截面圆的半径，又球心到截面的距离为，，得球的表面积为说明涉及到球的截面的问题，总是使用关系式解题，我们可以通过两个量求第三个量，也可能是抓三个量之间的其它关系，求三个量练习由条件可抓住是正四面体，为球上四点，则球心在正四面体中心，设，则截面与球心的距离，过点的截面圆半径，所以得例分析对球面上两点及球心这三点的位置关系进行讨论当三点不共线时，可以作个大圆当三点共线时，可作无数个大圆，故选例分析利用球的概念性质和球面距离的知识求解设球的半径为，小圆的半径为，则，如图所示，设三点，为球心，又，是等边三角形，同样，都是等边三角形，得为等边三角形，边长等于球半径为的外接圆半径，，说明本题是近年来球这部分所出的最为综合全面的道题，除了考查常规的与多面体综合外，还考查了球面距离，几乎涵盖了球这部分所有的主要知识点，是道不可多得的好题例分析是球面上两点，球面距离为，转化为球心角，从而，由关系式，越小，越大，是过的球的截面圆的半径，所以为圆的直径，最小解球面上两点的球面的距离为，当成为圆的直径时，取最小值，此时，取最大值，，即球心与过的截面圆距离最大值为说明利用关系式不仅可以知二求，而且可以借此分析截面的半径与球心到截面的距离之间的变化规律此外本题还涉及到球面距离的使用，球面距离直接与两点的球心角有关，而球心角又直接与长度发生联系，这是使用或者求球面距离的条基本线索例分析此题欲计算所求值，应首先把它们放在个封闭的图形内进行计算，所以应引导学生构造熟悉的几何体并与球有密切的关系，便于将球的条件与之相联解以为从个顶点出发的三条棱，将三棱锥补成个长方体，则另外四个顶点必在球面上，故长方体是球的内接长方体，则长方体的对角线长是球的直径说明此题突出构造法的使用，以及渗透利用分割补形的方法解决立体几何中体积计算例分析首先抓好球与正方体的基本量半径和棱长，找出等量关系，再转化为其面积的大小关系解设球的半径为，正方体的棱长为，它们的体积均为，则由，，，由，得球正方体，即正方体球例分析先作出轴截面，弄清楚圆锥和球相切时的位置特征，利用铁球取出后，锥内下降部分圆台的体积等于球的体积，列式求解解如图作轴截面，设球未取出时水面高，球取出后，水面高，，则以为底面直径的圆锥容积为圆锥，球取出后水面下降到，水体积为水又球圆锥水，则，解得例分析此题求解的第个关键是搞清两个球的半径与正四面体的关系，第二个关键是两个球的半径之间的关系，依靠体积分割的方个球定组成正四面体的四个顶点且正四面体的棱长为两球半径之和解四球心组成棱长为的正四面体的四个顶点，则正四面体的高而第四个球的最高点到第四个球的球心距离为求的半径，且三个球心到桌面的距离都为，故第四个球的最高点与桌面的距离为例分析此题的关键在于作截面，个球在正方体内，学生般知道作对角面，而两个球的球心连线也应在正方体的体对角线上，故仍需作正方体的对角面，得如图的截面图，在图中，观察与和棱长间的关系即可解如图，球心和在上，过，分别作，的垂线交于，则由，得，，设两球体积之和为，则当时，有最小值当时，体积之和有最小值作业解如图，球是正三棱锥的内切球，到正三棱锥四个面的距离都是球的半径是正三棱锥的高，即是边中点，在上，的边长为，可以得到图由等体积法，得，球球说明球心是决定球的位置关键点，本题利用球心到正三棱锥四个面的距离相等且为球半径来求出，以球心的位置特点来抓球的基本量，这是解决球有关问题常用的方法分析首先画出球及它的外切圆柱等边圆锥，它们公共的轴截面，然后寻找几何体与几何体之间元素的关系解如图，等边为圆锥的轴截面，此截面截圆柱得正方形，截球面得球的大圆圆设球的半径，则它的外切圆柱的高为，底面半径为，，球，柱，锥，∶∶∶∶锥柱球分析可画出球的轴截面，利用球的截面性质，求球的半径解如图为球的轴截面，由球的截面性质知且若分别为两截面圆的圆心，则，设球的半径为，同理，设，则在中，在中，，，解得，，球球的表面积为高考真题解析由已知，故连结，则为等腰三角形，同理，且∥而，故，连结，有于是所以两点间的球面距离是答案答案解析设球半径为，则由球水柱可得，解得解析本小题考查球的截面圆性质球的表面积，基础题。

解设球半径为，圆的半径为，则，即由题得，所以。

答案解析由，由勾股定理在中则有，又则所以在则，那么由弧长公式得解如图，易得，，，则此球内接长方体三条棱长为的对边与圆中为等边三角形为半径，两点间的球面距离等长，从而球外接圆的直径为，则与球心构成的大圆如图，因为为正三角形，则，两点间的球面距离是。

解析易求得到球心的距离分别为，类比平面内圆的情形可知当与球心共线时，取最大值。

解析本小题主要考查立体几何球面距离及点到面的距离。

设球的半径为，则，设两点对球心张角为，则，，，为所在平面的小圆的直径，，设所在平面的小圆圆心为，则球心到平面的距离为答案解析由得，所以，表面积为解析本小题主要考查球的内接几何体体积计算问题。

其关键是找出球心，从而确定球的半径。

由题意，三角形，三角形都是直角三角形，且有公共斜边。

所以边的中点就是球心到四点距离相等，所以球的半径就是线段长度的半。

年高考专题复习球与球体典型例题球的截面例球面上有三点组成这个球的个截面的内接三角形三个顶点，其中，，球心到这个截面的距离为球半径的半，求球的表面积练习过球表面上点引三条长度相等的弦，且两两夹角都为，若球半径为，求弦的长度典型例题球面距离例过球面上两点作球的大圆，可能的个数是有且只有个个或无穷多个无数个以上均不正确例球面上有个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过个点的小圆的周长为，求这个球的半径例是半径为的球的球面上两点，它们的球面距离为，求过的平面中，与球心的最大距离是多少典型例题其它问题例自半径为的球面上点，引球的三条两两垂直的弦，求的值例试比较等体积的球与正方体的表面积的大小典型例题球与几何体的切接问题例个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内注入水，并放入个半径为的铁球，这时水面恰好和球面相切问将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高是多少例设正四面体中，第个球是它的内切球，第二个球是它的外接球，求这两个球的表面积之比及体积之比例把四个半径都是的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离例如图所示，在棱长为的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切求两球半径之和球的半径为多少时，两球体积之和最小作业正三棱锥的高为，底面边长为，正三棱锥内有个球与其四个面相切求球的表面积与体积求球与它的外切圆柱外切等边圆锥的体积之比在球心同侧有相距的两个平行截面，它们的面积分别为和求球的表面积高考真题四川理数半径为的球的直径垂直于平面，垂足为，是平面内边长为的正三角形，线段分别与球面交于点那么两点间的球面距离是湖北文数圆柱形容器内盛有高度为的水，若放入三个相同的珠球的半么与圆柱的底面半径相同后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径是全国卷Ⅰ文已知为球的半径，过的中点且垂直于的平面截球面得到圆，若圆的面积为，则球的表面积等于陕西卷文如图球的半径为，圆是小圆是圆上两点，若，则，两点间的球面距离为安徽卷理文已知，在同个球面上平面，若，，，则，两点间的球面距离是江西卷文连结球面上两点的线段称为球的弦半径为的球的两条弦的长度分别等于，每条弦的两端都在球面上运动，则两弦中点之间距离的最大值为辽宁卷理文在体积为的球的表面上有三点两点的球面距离为，则球心到平面的距离为天津卷理个正方体的各顶点均在同球的球面上，若该球的体积为，则该正方体的表面积为浙江卷理文如图，已知球点面上四点，平面，则球点体积等于。

年高考专题复习球与球体例分析求球的表面积的关键是求球的半径，本题的条件涉及球的截面，是截面的内接三角形，由此可利用三角形求截面圆的半径，球心到截面的距离为球半径的半，从而可由关系式求出球半径解，，，，是以为斜边的直角三角形的外接圆的半径为，即截面圆的半径，又球心到截面的距离为，，得球的表面积为说明涉及到球的截面的问